歐 輝 李代緒，楊向群

(1.湖南師范大學數(shù)學與計算機科學學院，中國 長沙 410081；2.長沙商貿(mào)旅游職業(yè)技術(shù)學院，中國 長沙 410004)

重設(shè)型熊市認售權(quán)證作為單點重置期權(quán)的一個應(yīng)用，由Gray及Whaley[1-2]介紹，由國際財務(wù)公司于1996年創(chuàng)新發(fā)行，并在紐約股票交易市場及芝加哥期權(quán)交易市場兩地交易．它以S&P500指數(shù)作為標的資產(chǎn)，但它可于發(fā)行后3個月重設(shè)履約價．也就是說，從原發(fā)行日后滿3個月的交易日，若當天S&P500指數(shù)的收盤價格高于原履約價，則該權(quán)證的履約價重設(shè)為當日指數(shù)的收盤價格．這與一般不可重設(shè)履約價的指數(shù)認售權(quán)證不同，因含有重設(shè)履約價的特征，重設(shè)型熊市認售權(quán)證的價值高于一般的指數(shù)認售權(quán)證．重設(shè)型熊市認售權(quán)證可應(yīng)用于組合避險，保護投資組合(或共同基金)的價值不因股價下跌遭受損失．但若股價指數(shù)不跌反而上升時保險的面額可隨著指數(shù)價位上升而重設(shè)為當時指數(shù)價位所代表的價值．這種重設(shè)特征提供投資組合更有價值的保護，是一般認售權(quán)證所不及之處，因此吸引了很多投資者的興趣．文獻[3]中推導了當無風險利率、股票指數(shù)的連續(xù)紅利率及瞬時波動率都是常數(shù)時重設(shè)型熊市認售權(quán)證的定價公式，但是其中的計算過程有很多處錯誤，導致最后結(jié)果也是錯誤的．本文推導了當無風險資產(chǎn)—零息票債券的價格過程滿足一個由布朗運動驅(qū)動的隨機微分方程時，重設(shè)型熊市認售權(quán)證的定價公式．

1 模型介紹

重設(shè)型熊市認售權(quán)證實際上是一種特殊的歐式重置賣權(quán).本文中規(guī)定：期權(quán)到期日為T(T>0)，標的資產(chǎn)為股票指數(shù)，其價格過程為S(t)(0 ≤t≤T)，原履約價為K，事先指定的可重設(shè)履約價的時點為τ，即在τ時刻，期權(quán)持有者可以將原履約價K重設(shè)為S(τ)，當然也可以選擇不重設(shè)．

設(shè)t時刻股票指數(shù)價格S(t)(0 ≤t≤T)滿足隨機微分方程：

dS(t)=[μ(t)-q(t)]S(t)dt+σ(t)S(t)dW1(t).

市場上存在一種無風險資產(chǎn)：零息票債券．t時刻其價格B(t)(0 ≤t≤T)滿足隨機微分方程：

dB(t)=r(t)B(t)dt+δ(t)B(t)dW2(t),

其中μ(t)，q(t)，σ(t)分別是股票指數(shù)的期望收益率，連續(xù)紅利率和瞬間波動率，r(t)，δ(t)分別為債券的期望收益率和瞬時波動率，它們都是時間t的確定性函數(shù)，B(T)=1．

{Wi(t)，0 ≤t≤T}(i=1,2)是定義在概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上的兩個一維標準布朗運動，P為市場概率測度，dW1(t)dW2(t)=ρdt，ρ為正常數(shù)．

重設(shè)型熊市認售權(quán)證的到期價值CT可以用公式表示如下：

其中α為任意常數(shù)．

2 風險中性概率測度的轉(zhuǎn)換

dS*(t)=μ(t)S*(t)dt+σ(t)S*(t)dW1(t).

定義測度Q如下：

且令

則在Q測度下Z(t)滿足

令

則WQ(t)為Q下的標準布朗運動，且

令

定義測度R滿足

令

dWR(t)=dWQ(t)-θ(t)dt,

則WR(t)為等價鞅測度R下的標準布朗運動，且在R下

3 模型定價

定理1債券的價格過程受布朗運動驅(qū)動時，重設(shè)型熊市認售權(quán)證在t時刻(t<τ)的價格C(t)為：

其中N(x)為一維標準正態(tài)分布累積分布函數(shù)，N(x,y,ρ)為二維標準正態(tài)分布累積分布函數(shù)．

證根據(jù)風險中性定價原則，期權(quán)在t時刻(t<τ)的價格為：

C(t)=B(t)ER[CT|Ft]=

利用測度的轉(zhuǎn)換和鞅的性質(zhì)，第一部分C1計算如下：

C1=αB(t)ER[I{S(τ)>K,S(T)K,S(T)

αB(t)PR{S(τ)>K|Ft}PR{S(T)

其中第3個等式利用了布朗運動的獨立增量性．

且

在R測度下用類似的方法求C3：

C3=αB(t)ER[I{S(τ)≤K,S(T)

所以當債券的價格過程受布朗運動驅(qū)動時，重設(shè)型熊市認售權(quán)證在t時刻(t<τ)的價格C(t)為：

證畢．

定理2當債券的價格過程受布朗運動驅(qū)動時，重設(shè)型熊市認售權(quán)證在t時刻(t≥τ)的價格C(t)為：

其中

證當t≥τ時，S(τ)已知，所以期權(quán)履約價是否被重設(shè)也已知．因為期權(quán)為賣權(quán)，若S(τ)≤K，則履約價不被重設(shè)，因此

若S(τ)>K，則期權(quán)履約價被重設(shè)為S(τ)，因此

證畢．

鑒于篇幅，文中將很多具體的運算過程都省略了.文中用到的鞅方法定價，是一種很巧妙的方法，現(xiàn)在也很流行，這種方法比起解隨機偏微分方程要簡單多了，而且對于奇異期權(quán)的定價也能得出一個顯示表達式．同樣的方法我們也可以求出在零息票債券價格過程服從由布朗運動驅(qū)動的隨機微分方程的情形下，重設(shè)型牛市認購權(quán)證的定價公式(只不過重設(shè)型牛市認購權(quán)證是看漲期權(quán)，到期價值的表達形式有點不同，但計算方法和技巧都是一樣的，有興趣的讀者可以計算一下，鑒于篇幅，這里不再闡述)．

參考文獻：

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[2] GRAY S F, WHALEY R E. Reset put options: valuation, risk characteristics and an application[J]. Australian J Management, 1999, 24(1): 1-20.

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