三正數(shù)可構(gòu)成銳角三角形三邊長的幾個(gè)等價(jià)命題

● (廣州大學(xué)附屬中學(xué) 廣東廣州 510050)●

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 廣東廣州 510631)

三正數(shù)可構(gòu)成銳角三角形三邊長的幾個(gè)等價(jià)命題

●鄭慧娟(廣州大學(xué)附屬中學(xué) 廣東廣州 510050)●吳康

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 廣東廣州 510631)

熟知對任意正數(shù)a，b，c可構(gòu)成三角形的等價(jià)條件為a+b>c，b+c>a，c+a>b.判定3個(gè)正數(shù)是否可作為三角形3條邊的等價(jià)命題很多，例如：

正數(shù)a，b，c可構(gòu)成三角形的等價(jià)條件有：

(2)2ab>|a2+b2+c2|；

本文對任意正數(shù)a，b，c能構(gòu)成銳角三角形3條邊長的等價(jià)條件進(jìn)行探索，并得到了以下幾個(gè)等價(jià)命題.

命題1正數(shù)a，b，c能構(gòu)成銳角三角形3條邊的充要條件是

(b2+c2-a2)(a2+c2-b2)(a2+b2-c2)>0.

(1)

證明必要性：在銳角△ABC中，設(shè)∠A,∠B,∠C所對的邊分別為a，b，c，則

cosAcosBcosC>0,

代入余弦公式可得

(b2+c2-a2)(a2+c2-b2)(a2+b2-c2)>0.

充分性：若對正數(shù)a,b,c，則

(b2+c2-a2)(a2+c2-b2)(a2+b2-c2)>0，

即

b2+c2>a2,a2+c2>b2,a2+b2>c2.

否則b2+c2-a2,a2+c2-b2,a2+b2-c2中有2個(gè)為負(fù)數(shù).不妨設(shè)b2+c2-a2<0，a2+c2-b2<0，相加可得2c2<0，產(chǎn)生矛盾.因此

同理可得

b+c>a，c+a>b,

從而正數(shù)a，b，c能構(gòu)成三角形的3條邊長.又由

命題2正數(shù)a，b，c能構(gòu)成銳角三角形3條邊長的充要條件是2a2b2>|a4+b4-c4|(或2b2c2>|b4+c4-a4|或2c2a2>|c4+a4-b4|).

證明由式(1)可得

(a2+b2+c2)(b2+c2-a)(a2+c2-b2)(a2+b2-c2)>0

?

[(a2+b2)2-c4)][c4-(a2-b2)2]>0

?

4a4b4-(a4+b4-c4)2>0

(2)

?

2a2b2>|a4+b4-c4|.

同理可得

2b2c2>|b4+c4-a4|，2c2a2>|c4+a4-b4|.

命題3正數(shù)a,b,c能構(gòu)成銳角三角形3條邊長的充要條件是

證明式(2)等價(jià)于

4a4b4-a8-b8-c8-2a4b6+2b4c4+2a4c4>0，

即

2(a4b4+b4c4+a4c4)>a8+b8+c8，

(4)

等價(jià)于

(a4+b4+c4)2>2(a8+b8+c8),

得

命題4正數(shù)a，b，c能構(gòu)成銳角三角形3條邊長的充要條件是

證明式(3)等價(jià)于

4(a4b4+b4c4+a4c4)>a8+b8+c8+2(a4b4+b4c4+a4c4),

即

4(a4b4+b4c4+a4c4)>(a4+b4+c4)2,

于是

[1] 蘇化明.三正數(shù)可作為三角形三邊的幾個(gè)命題[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),1990(7)：21-22.