素?cái)?shù)分布的一種新篩法

管訓(xùn)貴

（泰州師范高等專科學(xué)校 數(shù)理系，江蘇泰州 225300）

素?cái)?shù)分布的一種新篩法

管訓(xùn)貴

（泰州師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)理系，江蘇泰州 225300）

通過給出奇合數(shù)的分解公式，揭示了奇合數(shù)與奇素?cái)?shù)的構(gòu)成規(guī)律，并在此基礎(chǔ)上提出了尋求素?cái)?shù)分布的一種簡(jiǎn)便易行的新篩法。

奇合數(shù)；奇素?cái)?shù)；分解公式；篩法

1 引言

素?cái)?shù)的性質(zhì)及其分布是數(shù)論研究的核心內(nèi)容之一。國(guó)外許多數(shù)論專家，如：P. Fermat、Eratosthenes、Euler、C. Goldbach、J. Wilson、V. Brun、D. N. Lehmer、J. E. Littlewood、E. Landau、D. Hilbert、G. H. Hardy、J. Hadamard等長(zhǎng)期從事這一領(lǐng)域的研究工作[1,2]。我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚、陳景潤(rùn)、王元、潘承洞、潘承彪等也都有許多建樹[3-7]。尤其是陳景潤(rùn)教授于1966年對(duì)篩法作了新的重要改進(jìn)之后，在解決哥德巴赫猜想的問題上取得了重大的突破，他證明了“每一個(gè)充分大的偶數(shù)都是一個(gè)素?cái)?shù)與一個(gè)素因數(shù)個(gè)數(shù)不超過 2的殆素?cái)?shù)之和”[8]。盡管如此，這一領(lǐng)域的研究已進(jìn)入“山重水復(fù)疑無(wú)路”的境地。文[9]給出了一種篩法，其計(jì)算步驟仍比較繁瑣復(fù)雜。本文另辟蹊徑，提出尋求素?cái)?shù)分布的一種簡(jiǎn)便易行的新篩法。

2 奇合數(shù)與奇素?cái)?shù)的構(gòu)成規(guī)律

正整數(shù)不是奇數(shù)便是偶數(shù)，而奇數(shù)又可分為奇合數(shù)與奇素?cái)?shù)兩大類。設(shè)m是奇合數(shù)，則m必有分解式

其中i,j均為正整數(shù)。由此可以推出奇合數(shù)與奇素?cái)?shù)的構(gòu)成規(guī)律如下：

定理1 設(shè)i,j為正整數(shù)，對(duì)于給定的不小于9的整數(shù)N，若

則(2i + 1)(2j+1)取遍不小于9而不超過N的全體奇合數(shù)；并且 (2i+ 1)(2 j+1)除9到N之間的奇合數(shù)外，無(wú)其它數(shù)。

證明 由算術(shù)基本定理知，任一不小于9且不超過N的奇合數(shù)A均可表示為

這里pt是互異的奇素?cái)?shù)，at為正整數(shù)，t =1,…,k，k≥2。

由(1)知任意一個(gè)奇合數(shù)均可表示為 (2i+1)(2 j +1)的形式。換言之，不小于 9且不超過N的奇合數(shù)全部包含在(2i+ 1)(2j+1)中。

另一方面， (2i+ 1)(2 j+1)僅包含不小于9且不超過N的奇合數(shù)。事實(shí)上， (2i+ 1)(2 j+1)首先是奇數(shù)，其次不可能是素?cái)?shù)（因?yàn)橛?2a+1＞1和 2b+ 1＞ 1兩個(gè)因數(shù)）。既是奇數(shù)又非素?cái)?shù)的數(shù)必是奇合數(shù)。

定理1得證。

定理2 對(duì)任意的正整數(shù)i,j，若正整數(shù)

則

為奇素?cái)?shù)；否則，

為奇合數(shù)。

證明 假設(shè)

表示奇合數(shù)，則存在正整數(shù)u,v，使

即

令u=i，v=j，則

與已知矛盾，故

為奇素?cái)?shù)。反之，若

則

為奇合數(shù)。

定理2得證。

定理3 若給定正整數(shù)n（n≥4），則不等式組

中，i系數(shù)為奇合數(shù)的不等式的正整數(shù)解均包含在i系數(shù)為奇素?cái)?shù)的不等式的正整數(shù)解之中。

證明 在

中，當(dāng)2k+1為奇素?cái)?shù)時(shí)，不必討論；當(dāng)2k+1為奇合數(shù)時(shí)，根據(jù)算術(shù)基本定理，必有

即

令2s+1為2k+1的最小素因數(shù)，并將(3)代入(2)得

令

則(4)式轉(zhuǎn)化為

定理3得證。

3 素?cái)?shù)分布的一種新篩法

令

其中n,i,j均為正整數(shù)，可得不超過N的所有素?cái)?shù)的篩法步驟如下：

（1）考慮到 aij= aji，不妨設(shè)j≤i。依據(jù)且2j+1為素?cái)?shù)求出全部的aij（i,j為滿足條件的正整數(shù)）。

若

即

則此過程結(jié)束。然后計(jì)算

此時(shí)

是不超過N的全體奇合數(shù)。

（2）按從小到大的順序列出不超過N的奇數(shù)序列

1，3，5，7，9，...，N。

（3）從上述序列中劃去（1）中求出的每一個(gè)奇合數(shù)Aij及1，再添上2，即得不超過N的全部素?cái)?shù)。

4 應(yīng)用舉例

作為上述篩法的應(yīng)用，我們來(lái)求不超過N=199的全部素?cái)?shù)。

（1）由 2n+ 1= 199知，n=99，此時(shí)j≤7。

j=1時(shí)， 2j+1=3為素?cái)?shù)， ai1= 3i +1，由

知，1≤i≤32，可算出

ai1=4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，55，58，61，64，67，70，73，76，79，82，85，88，91，94，97。

j =2時(shí)， 2j+1=5為素?cái)?shù)， ai2= 5i +2，由

知，2≤i≤19，可算出

ai2=12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，62，67，72，77，82，87，92，97。

j=3時(shí)， 2j+1= 7為素?cái)?shù)， ai3= 7 i+3，由

知，3≤i≤13，可算出

ai3=24，31，38，45，52，59，66，73，80，87，94。

j =4時(shí)， 2j+ 1= 9為合數(shù)，不必考慮。

j =5時(shí)， 2j+1= 11為素?cái)?shù)， ai5= 11i +5，由

知，5≤i≤8，可算出 ai5=60，71，82，93。

j =6時(shí)， 2j+1= 13為素?cái)?shù)， ai6= 13i +6，由

知，6≤i≤7，可算出 ai6=84，97。

j =7時(shí)， 2j+ 1= 15為合數(shù)，不必考慮。

綜上，aij等于

4，7，10，12，13，16，17，19，22，24，25，27，28，31，32，34，37，38，40，42，43，45，46，47，49，52， 55，57，58，59，60，61，62，64，66，67，70，71，72，73，76，77，79，80，82，84，85，87，88，91，92，93，94，97。

此時(shí)，Aij等于

9，15，21，25，27，33，35，39，45，49，51，55，57，63，65，69，75，77，81，85，87，91，93，95，99，105，111，115，117，119，121，123，125，129，133，135，141，143，145，147，153，155，159，161，165，169，171，175，177，183，185，187，189，195。

（2）列出不超過199的奇數(shù)序列

1，3，5，7，9，...，197，199.

（3）從上述序列中劃去1）中求出的每一個(gè)奇合數(shù)Aij及1，再添上2，即得不超過199的全部素?cái)?shù)為：

2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113，127，131，137，139，149，151，157，163，167，173，179，181，191，193，197，199。

[1] 王元.談?wù)勊財(cái)?shù)[M].上海：上海教育出版社,1978.

[2] 左宗明.世界數(shù)學(xué)名題選講[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1990.

[3] 華羅庚.數(shù)論導(dǎo)引[M].北京：科學(xué)出版社,1979.

[4] 陳景潤(rùn).初等數(shù)論(I)[M].北京：科學(xué)出版社,1978.

[5] 陳景潤(rùn).初等數(shù)論(II)[M].北京：科學(xué)出版社,1980.

[6] 王元.論哥德巴赫猜想[M].山東：山東教育出版社,1999.

[7] 潘承洞,潘承彪.哥德巴赫猜想[M].北京：科學(xué)出版社, 1981.

[8] 陳景潤(rùn).大偶數(shù)表為一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過二個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和[J].科學(xué)通報(bào),1966,17：385-386

[9] 侯紹勝,王順慶.奇合數(shù)的分解公式、素?cái)?shù)分布及篩法[J].西北民族學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2002,23(2)：1-6.

（責(zé)任編輯、校對(duì)：趙光峰）

A New Sieving Method for Seeking Prime Number Distribution

GUAN Xun-gui

(Mathematics & Physics of Taizhou Normal College, Taizhou 225300, China)

The composing law of odd integer numbers and odd prime numbers were revealed in the paper by giving the sieving equation of odd integer numbers. On the basis of these, a new simple sieving method for seeking prime number distribution was also put out.

odd integer; odd prime number; sieving equation; sieving method

2011-06-08

管訓(xùn)貴（1963-），男，江蘇興化人，泰州師范高等?？茖W(xué)校副教授，研究方向?yàn)榛A(chǔ)數(shù)論。

O156.4

A

1009-9115(2011)05-0012-03