李華星, 林 機
(浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院,浙江金華 321004)
光波在布拉格光柵中傳播時,因其具有較大的群速度色散和非線性效應而可以形成孤立子.Eggleton等[1]和Taverner等[2]分別在實驗中發(fā)現(xiàn)了布拉格孤子和帶隙孤子,其中后者是布拉格孤子頻譜在光子帶隙內時的特殊情況;而在理論上,文獻[3]首先提出了帶隙孤子的概念;de-Sterke等[4]給出了光波在布拉格光柵中傳播所遵循的耦合方程組,給出了相應的帶隙孤子解,并分析了其性質.目前,布拉格光柵中帶隙孤子的傳播和穩(wěn)定性也受到人們的廣泛關注[5-6].此外,由于布拉格光柵的色散效應,帶隙孤子的速度可以遠小于光速,在此基礎上,學者們[7-9]深入分析了帶隙孤子抑制光速的原因.
近幾年來,光聲相互作用引起人們廣泛的關注[10-12].考慮電致伸縮的情況下[13-16],在布拉格光柵中光波帶隙孤子可以與聲波耦合,從而形成一種新的帶隙孤子——光聲孤立子.光聲孤立子的概念最早是由Tasgal等[17]提出的,并給出了光波和聲波在布拉格光柵中傳播所遵循的耦合方程組,在電致伸縮對介質密度的影響下,發(fā)現(xiàn)孤子的速度可以減小到接近聲速.可見,光聲孤立子也可以抑制光傳播的速度.然而,Tasgal等只是在特殊情況下給出了單光聲孤立子解析解,并且用數(shù)值方法給出了孤子的裂變圖像,并沒有給出更多的解析解.目前對此方程的解析解研究也很少,原因是方程不可積,一般的孤子理論方法難以運用此方程,尋找一般情況解是很困難的.文獻[18]運用多重尺度方法分析了玻色-愛因斯坦凝聚中的暗孤子解及其碰撞,這種方法思路簡單,過程簡潔,而且把復雜的耦合方程組轉化成已經有解或容易求解的簡單方程.因此,本文運用多重尺度方法簡化在布拉格光柵中的光聲耦合方程組,并得到了方程的近似解,如單孤子解、二孤子解,并分析了解的性質.
在布拉格光柵中,光聲耦合方程組有如下形式:
其中:下標表示對時間變量t和空間變量z的求導;k'0=dk/dω(ω=ω0)表示光波的群速度;κ是布拉格反射率;κ*是κ的復共軛;c代表光速;i表示虛數(shù)單位;χχ和χs分別表示交叉相位調制和自相位調制系數(shù);A代表波導的有效區(qū)域;λ和χes分別表示由能量密度和波矢變化引起的電致伸縮系數(shù);βs是聲速;Γ為聲波的粘滯系數(shù);u=u(z,t)和v=v(z,t)表示反向傳輸?shù)墓獠òj函數(shù),w=w(z,t)表示聲波區(qū)域介質的密度波動.
首先,運用多重尺度方法對方程組的光場量和聲場量漸近展開為:
其中:u(j),v(j),w(j)是多尺度變量(z,t,ξ= ε(z-cst),τ =ε2t)的函數(shù);ε 為無窮小參量.然后,把這些未知函數(shù)代入方程式(1)~式(3),令各階ε的系數(shù)為零,在第1階(j=1)時,可得到:
由式(7)和式(8)可以給出:
和線性色散關系
式(10)~式(12)中:F是多尺度變量ξ=ε(z-cst);τ=ε2t的函數(shù);k和ω分別表示光波的波數(shù)和載波的中心頻率.并且式(10)、式(11)滿足式(9).在第2階(j=2),有:
由此可以給出:
其代表波包的群速度.而且u(j)和v(j)(j=1,2)滿足方程(15).在第3階(j=3),可給出:
由式(19)、式(20)得出:
式(23)中:B,C,D,F(xiàn)是與方程(1)~(3)中參數(shù)有關的常數(shù).
然后,由u(j),v(j)和式(21)可以得到
因此,式(23)可以化簡為
然后,作變換把式(26)還原成關于z,t的方程,設G=εF和作變換
由ξ和τ的定義,式(26)可化為
這就是標準的非線性薛定諤方程,是一個完全可積方程,因此,可以通過這樣的近似簡化,給出光聲耦合方程組的近似解.
式(27)的單孤子解為[19]
孤子解由如下參數(shù)表征:cs代表孤子的速度;A1決定孤子的寬度和振幅;A3與孤子的寬度有關.而且,上文給出了A1和A3的具體表達式.對于單孤子解的圖像,演化比較簡單,這里不予給出.當βs=0.2,且有以下參數(shù)取值時:k=0.25,k'0=κ=1,由式(18)得到光孤子的速度cs=0.27,容易看出光波的速度與聲速很接近,可見光聲孤立子的相互作用可以產生抑制光速的效果.
同樣地,可得出光聲耦合方程組的二孤子碰撞的解[20]為:
其中:
圖1給出了光聲耦合方程組的二孤子碰撞的圖像,具體參數(shù)取值如下:
可以看出,二孤子穩(wěn)定地傳播,碰撞后其形狀和速度不發(fā)生變化.
運用多重尺度方法研究了光聲耦合方程組,將其約化為標準的非線性薛定諤方程.利用非線性薛定諤方程的解,得到了原方程組的單孤子解、二孤子解,并且借助計算機描述了孤子解的圖像.根據(jù)孤子速度的表達式,看到光聲孤立子也可以抑制光傳播的速度.人們普遍認為,由于在頻率等參數(shù)上有很大差別,光聲相互作用是非常微弱的,然而,由以上分析可以清楚地看到光波和聲波的相互作用.但是,如果想更深入地理解光聲作用的內在機制,必須更好地理解電致伸縮效應所起的作用.
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