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      關(guān)于r次可加補數(shù)的一些復合函數(shù)的均值性質(zhì)*

      2011-12-17 09:42:08朱偉義
      關(guān)鍵詞:正整數(shù)實數(shù)均值

      金 晶, 朱偉義

      (浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院,浙江金華 321004)

      0 引言

      定義[10]設r≥2為任意給定的正整數(shù).一完全r次冪的最小非負整數(shù),則稱可加補數(shù),即

      1 預備知識

      首先給出一些主要結(jié)果證明中需要用到的引理.

      引理1[1]設k為給定的正整數(shù),則對任意的實數(shù)x>1,有漸近公式

      引理5 設h(n)為非負的算術(shù)函數(shù),且h(0)=0,給定正整數(shù)r≥2,則對任意實數(shù)x≥1,有漸近公式

      其中:

      引理5證畢.

      2 主要結(jié)果

      定理1 設k為給定的正整數(shù),則給定正整數(shù)r≥2,對任意實數(shù)x≥2,有漸近公式

      證明 對任意的實數(shù)x≥2,設M為一個固定的正整數(shù),且滿足

      因為

      因此,

      所以,結(jié)合式(5)和式(6)可得

      由式(4)和式(7)可得

      定理2 設k為給定的正整數(shù),則給定正整數(shù)r≥2,對任意實數(shù)x≥2,有漸近公式

      證明 類似于定理1的證明,根據(jù)ar(n)和V(n)的定義及引理5,并利用估計式V(n)?nε(ε為任一固定的正數(shù)),得

      由式(8)和式(10)可得

      定理3 給定正整數(shù)r≥2,對任意實數(shù)x≥1,有漸近公式

      結(jié)合式(6)和式(12)可得

      由式(11)和式(13)易知

      定理3證畢.

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      [9]Yao Weili.On the k-power complement sequence[M]//Zhang Wenpeng.Research on Smarandache promblems in number theory.Phoenix:Hexis,2004:43-46.

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