蔣衛(wèi)建 胡 昉 方本民

(浙江大學寧波理工學院公共基礎部,浙江寧波 315100)

在大學物理課程中利用Excel電子表格作數值計算

蔣衛(wèi)建 胡 昉 方本民

(浙江大學寧波理工學院公共基礎部,浙江寧波 315100)

在大學物理課程中,通常均要求作解析計算,而不涉及數值計算.本文以簡諧振動、行星運動、雙星系統(tǒng)的運動、限制性三體等問題為例介紹了用 Excel電子表格作數值計算,求解運動方程的辦法.數值計算的思路簡單明了,更有助于理解物理知識.隨著計算機普及,學生利用計算機的能力提高,在大學物理課程中介紹利用 Excel作數值計算是有益的.

Excel;數值計算;大學物理;運動方程

1 引言

大學物理課程中所涉及的計算,例如應用牛頓定律求解運動方程等,均要求作解析計算.這樣存在一定的弊病,一方面,大學生剛開始接觸微積分,解析計算能力較差,求解微分方程有困難,影響對物理知識的理解.另一方面,有一些物理內容簡單但解析計算困難的問題,大學物理課程就不能涉及了.另外,物理學是實驗科學,計算結果的檢驗最終是要與實驗比較,完全精確解的意義不大.所以,在大學物理課程中,可以適當引入數值計算.

在20世紀60年代,電子計算器剛開始普及,個人計算機剛出現,費恩曼物理學講義[1]中,就列出表格,用計算尺或計算器作數值計算,幫助理解運動方程的含義,并指出可以用同樣的方法來計算太陽系中行星的運動.如今,計算機已十分普及.大學生幾乎人人有計算機,能使用微軟公司的Office軟件.可以利用Office軟件的組件之一,電子表格軟件 Excel,遵循費恩曼的方法,在大學物理課程中引入數值計算.

2 牛頓定律求解運動方程的含義

如果知道t時刻物體的位置和速度,就可以算出t+Δt時刻物體的位置.當Δt很小時,可以采用以下近似公式

如果還知道 t時刻物體的質量和所受的力,根據牛頓第二定律,F=ma,就可以求得 t時刻的加速度,也就可以根據加速度來求得 t+Δt時刻的速度.在Δt很小時,可以采用以下近似公式

這樣,有了t+Δt時刻的物體的位置和速度,由此重復,可以計算出 t+2Δt,t+3Δt,…時刻物體的位置和速度,也即所有時刻物體的位置和速度.這就是用牛頓定律求解運動方程的含義.

為了減少計算的次數,增加準確度,再仔細地分析一下以上的計算過程.以上近似公式(1)中,采用的是t時刻的速度來計算t+Δt時刻物體的位置.但是,因為加速度不為零,所以在 t～t+Δt這段時間內速度是在不停地變化的.應該采用其間哪個時刻的速度呢?可以采用 t+Δt/2時刻的速度.這樣有

同樣,計算速度時采用 t+Δt/2時刻的加速度,有

最后,對于初始時刻,已知 t=0時的位置和速度,可以用一個特殊的公式來計算 v(Δt/2),即

3 簡諧振動

先來看簡諧振動,假設 k/m=1,有

在 Excel表格中依次輸入表1的內容,包括公式[2].

Wij表示元素組Ci和Cj之間元素的相對重要度矩陣。以元素組Cj的元素ejl (l=1,2，…，n)為準則，構造判斷矩陣，將元素組Ci中的各元素與ejl的重要度進行比較。通過一致性檢驗，即得到網絡元素的權重向量，從而形成矩陣Wij。例如，矩陣Wij中的第一列表示Ci中各元素相對于Cj中第一個元素的重要度歸一化后的結果。如果Ci和Cj之間無影響，則Wij = 0。

表 1

Excel表格中,每一個格子稱為單元格,用表1中第一列的1,2,3,…表示行數,第一行A,B,C,…表示列數.例如表1中選中的是C2單元格,其內容是“0”.單元格中既可以輸入數字,如單元格B2;也可以輸入字符,如單元格 G1;還可以輸入公式,如單元格 D2、C3等.公式的特點是以“=”號作為起始符號.就是要利用其可以利用公式作計算的功能.注意,在 Excel表格中輸入公式后,將直接顯示計算結果,如表2所示.若要查看某單元格公式,可以用鼠標選中后,在表中頂端 fx后的空格內查看.D2單元格的公式表示引用B2單元格的值,即為“1”.若改變B2單元格的內容,D2單元格的值也會隨之變化.

還要用到自動填充功能.選中某個單元格,把鼠標移到單元格右下角方框的位置,這時鼠標會變成一個黑色的十字,按住鼠標左鍵向下拖動,就可以實現自動填充.表1中,第4、5行的公式,就是根據第3行的公式自動填充的.注意到,F4、F5單元格的公式中,Excel自動把F3單元格引用D3改成了引用 D4、D5;而 C3單元格的公式中,“＄B＄1”表示絕對引用,在自動填充到C4、C5單元格時,不會改變.

用C列表示時間,D列表示位置,E列表示速度,F列表示加速度.單元格 E2的公式表示式(5);D3的公式表示式(3);E3的公式表示式(4);F2的公式表示式(6);……

取Δt=0.100作計算,所有的結果都保留到小數點后三位.結果如表2所示.

?

最后一列是完全準確的解析解.可以做一個比較,我們發(fā)現僅在小數點后第三位上偶有一個單位的差別.

利用 Excel的作圖功能,我們可以作出 x-t圖.用鼠標左鍵依次點擊插入、圖表、XY散點圖,選擇第一類散點圖,根據提示,將C列作為橫坐標,D列作為縱坐標,所得 x-t圖如圖1所示.

利用 Excel的添加趨勢線功能,作曲線多項式擬合,并給出擬合公式.可以看出結果和精確解

可以改變初始位置(單元格B2)和初始速度(單元格B3),改變時間間隔(單元格B1),其他所有的計算結果會自動改變.例如在B2中輸入“0”,B3中輸入“1”,則 x-t圖就會自動變成正弦曲線.這相當于在做“數學實驗”.

4 行星的運動

再來看恒星系中行星的運動.假設 GM=1,行星的質量比恒星小很多,可以認為恒星是不動的,以恒星為原點,建立直角坐標系,有矢量方程

寫成分量形式

取行星的初始位置為(0.5,0),初始速度為(0,1.63),取Δt=0.100.

在Excel中的輸入如表3所示.所得結果如表4所示.同樣可以做出 x-y圖,如圖2.

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?

大致可以看出,運動軌跡是橢圓,原點即恒星所在位置是焦點.每個點表示相等時間間隔行星的位置,所以越稀表示速度越快,越密表示速度越慢.開始時運動較快,到末尾時運動較慢.還可計算周期、長軸、偏心率等.

有了 Excel作數值計算這一工具,還可以研究更復雜的情況.

5 雙星系統(tǒng)的運動

考慮一個雙星系統(tǒng),其中一顆恒星A的質量M是另一顆恒星B的兩倍.假設 GM=1;恒星A的初始位置為(-0.167,0),初始速度為(0,-0.543);恒星B的初始位置為(0.334,0),初始速度為(0,1.086).取以上數值,是為了保證雙星系統(tǒng)的質心在原點,并保持不動;恒星B相對于恒星A的初始位置和初始速度與前面討論的情況相同,以便比較.取Δt=0.010作計算.經過 Excel表格計算所得結果如圖3所示,系列1表示恒星A,系列2表示恒星B.可以看出,雙星各自繞它們共同的質心作橢圓運動[3].

圖3

將在質心系中B的位置減去A的位置,并作出 y-x圖,如圖4所示.此即跟隨恒星 A,看到的恒星B的運動的情況.可以看出恒星B繞恒星A作橢圓運動,但是周期、長軸、偏心率均有變化.

圖4

6 限制性三體問題

再來考慮“限制性三體問題”[3].以上的雙星系統(tǒng)中,另有一顆宇宙塵埃,假設塵埃的質量很小,不會影響雙星的運動,考察宇宙塵埃在這兩個恒星的引力場中的運動,此即“限制性三體問題”.三體問題是沒有解析解的,限制性三體問題中的宇宙塵埃的運動具有混沌特性.我們可以利用Excel表格計算每個時刻宇宙塵埃的位置,畫出y-x圖,體會混沌運動的特點.

取塵埃不同的初始位置、初始速度,不同的時間間隔,Excel表格計算所得結果如圖5所示.圖中系列3表示宇宙塵埃位置.

圖5

綜合以上幾個結果,可以看出,雖然塵埃運動的動力學規(guī)律是確定的,但其運動卻對初始值、時間間隔相當的敏感,微小的擾動會產生極大的變化.此即混沌運動的特點.

還可以注意到塵埃經過雙星附近時,速度變化明顯,此為“彈弓”效應[4].

7 結論

數值計算的思路簡單明了,可用于求解運動方程、計算積分等,有助于理解物理知識,隨著計算機普及,學生利用計算機的能力提高,在大學物理課程中推廣利用 Excel作數值計算,學生能夠也樂于接受.

[1] [美]費恩曼等著.費恩曼物理學講義(第一卷)[M].鄭永令等譯.上海:上海科技出版社,2005.95～101

[2] [美]John Walkenbach著.Execl公式與函數應用寶典[M].邱燕明等譯.北京:電子工業(yè)出版社,2004.21～38

[3] 趙凱華,羅蔚茵.新概念物理教程力學[M].北京:高等教育出版社,2004.275～278,326～329

[4] 張三慧編著.大學物理學 力學、熱學[M].北京:清華大學出版社,2008.135～137

2010-09-06)