度量空間中六個(gè)映象的一個(gè)新的公共不動(dòng)點(diǎn)定理

余 靜，谷 峰

（杭州師范大學(xué)理學(xué)論，浙江杭州 310036）

度量空間中六個(gè)映象的一個(gè)新的公共不動(dòng)點(diǎn)定理

余 靜，谷 峰＊

（杭州師范大學(xué)理學(xué)論，浙江杭州 310036）

在完備度量空間中，利用自映象對的相容和次相容性條件，討論了一類φ－型壓縮映象的公共不動(dòng)點(diǎn)的存在性和唯一性問題，證明了一個(gè)新的公共不動(dòng)點(diǎn)定理.文章結(jié)果改進(jìn)和發(fā)展了Jungck，Diviccaro和Sessa，Kang，Cho和Jungck以及Ding的相關(guān)結(jié)果.

公共不動(dòng)點(diǎn)；相容映象；次相容映象

0 引 言

在Jungck［1］中引入了相容映象的概念，它是可交換映象的推廣.Park和Bae［2］擴(kuò)展了具有相容性映象的一些公共不動(dòng)點(diǎn)理論.Jungck［3］利用4個(gè)函數(shù)把Singh和Singh［4］的結(jié)果從交換映象拓廣至相容映象.另一方面，Diviccaro和Sessa［5］利用Meade和Singh［6］中的壓縮條件和Sessa［7］中的弱交換概念證明了四個(gè)映象的公共不動(dòng)點(diǎn)定理.1990年，Kang，Cho和Jungck［8］利用映象的相容性證明了一個(gè)φ－型壓縮型映象的公共不動(dòng)點(diǎn)定理.同年，劉立山教授［9］引進(jìn)了次相容映象對的概念，證明了幾個(gè)公共不動(dòng)點(diǎn)定理.

該文是上述工作的繼續(xù)，利用自映象對的相容和次相容性條件，討論了一類φ－型壓縮型條件下六個(gè)映象的公共不動(dòng)點(diǎn)問題，證明了一個(gè)新的公共不動(dòng)點(diǎn)定理.該文的結(jié)果改進(jìn)和發(fā)展了Jungck［3］，Diviccaro和Sessa［5］，Kang，Cho和Jungck［8］以及Ding［10］的相關(guān)結(jié)果.

定義2［9］集合X上的自映象對（f，g）稱為是次相容的，如果

注1 由定義易知，可交換映象對必是相容映象對，而相容映象對也必是次相容映象對，但反之不真.反例可見［10］.

1 主要結(jié)果

1）φ是非減的且關(guān)于每個(gè)變元是上半連續(xù)的；

定理1 設(shè)（X，d）是完備度量空間，A，B，S，T，P和Q是X上的六個(gè)自映象，并有以下條件成立：

如果以下條件之一被滿足，則A，B，S，T，P和Q有唯一公共不動(dòng)點(diǎn)z.且z也分別是映象對（A，SP）和（B，TQ）的唯一公共不動(dòng)點(diǎn).

1）A，SP之一連續(xù)，且（A，SP）相容，（B，TQ）次相容；

2）B，TQ之一連續(xù)，且（B，TQ）相容，（A，SP）次相容；

3）S，T之一為滿射，且（A，SP）和（B，TQ）都次相容.

證明 設(shè)x0∈X.因A（X）?TQ（X），B（X）?SP（X），?x1∈X，使得y1＝TQx1＝Ax0；?x2∈X，使得y2＝SPx2＝Bx1；…，歸納可得到X中的序列｛xn｝和｛yn｝，滿足

下證｛yn｝是X中的柯西列，為此只需證明｛y2n｝是X中的柯西列即可.事實(shí)上，假設(shè)｛y2n｝不是X中的柯西列，則必存在ε＞0，使得對任意偶數(shù)2k，存在偶數(shù)2m（k）和2n（k），使得

對任意偶數(shù)2k，設(shè)2m（k）是大于2n（k）且滿足式（9）的最小偶數(shù)，即

則對任意偶數(shù)2k，有ε＜d（y2n（k），y2m（k））≤d（y2n（k），y2m（k）－2）＋d2m（k）－2＋d2m（k）－1，

由式（8）和（10），得

由三角不等式可得

于是由式（8）和（11）可得

再由式（2）和（3）得

在式（12）中令k→∞，并注意到為φ的上半連續(xù)性得

此為矛盾.因此｛yn｝是X中的柯西列.由X的完備性，不妨設(shè)yn→z∈X（n→∞），則子列｛Ax2n｝，｛SPx2n｝，｛Bx2n－1｝和｛TQx2n－1｝也都收斂到z.

1）設(shè)A，SP之一連續(xù)，且（A，SP）相容，（B，TQ）次相容.

先設(shè)SP是連續(xù)的.因?yàn)椋ˋ，SP）是相容的，從而由引理1有

由式（2）得

在式（14）中令n→∞，并注意到式（13），得

于是，由函數(shù)ψ的性質(zhì)得d（SPz，z）＝0，即z＝SPz.再由式（2）得

在式（15）中令n→∞得

由函數(shù)ψ的性質(zhì)得d（Az，z）＝0，即使得Az＝z.

因?yàn)锳（X）?TQ（X），z∈TQ（X），因此存在u∈X，使得z＝Az＝TQu.于是由式（2）得

由函數(shù)ψ的性質(zhì)，這意味著d（z，Bu）＝0，即z＝Bu，從而z＝Bu＝TQu.由（B，TQ）的次相容性得TQz＝（TQ）Bu＝B（TQ）u＝Bz.

再由式（2）得

由函數(shù)ψ的性質(zhì)可得d（z，TQz）＝0，即z＝TQz，進(jìn)而有z＝TQz＝Bz.

綜上可知，z＝Az＝Bz＝SPz＝TQz，即z是A，B，SP和TQ的公共不動(dòng)點(diǎn).

下面證明z＝Sz＝Pz＝Tz＝Qz.事實(shí)上，由AP＝PA，SP＝PS可得APz＝PAz＝Pz，（SP）Pz＝P（SP）z＝Pz.由式（2），并注意到z＝TQz＝Bz可得

由函數(shù)ψ的性質(zhì)可得d（Pz，z）＝0，即Pz＝z.又因?yàn)镾Pz＝z，故得Sz＝z.即z＝Sz＝Pz.

由BQ＝QB，TQ＝QT可得BQz＝QBz＝Qz，（TQ）Qz＝Q（TQ）z＝Qz.于是，由式（2）可得

由函數(shù)ψ的性質(zhì)可得d（z，Qz）＝0，即z＝Qz.又因?yàn)門Qz＝z，故得Tz＝z.即z＝Tz＝Qz.

綜上得到z＝Az＝Bz＝Sz＝Pz＝Tz＝Qz，即點(diǎn)z是A，B，S，T，P和Q在X上的公共不動(dòng)點(diǎn).

當(dāng)A連續(xù)時(shí)，因?yàn)锳和SP是相容的，引理1意味著｛A2x2n｝和｛（SP）Ax2n｝收斂到Az.由不等式（2）得

在式（16）中令n→∞得d（Az，z）≤φ（0，0，d（Az，z），d（Az，z），d（z，Az））≤ψ（d（Az，z）），

由函數(shù)ψ的性質(zhì)可得d（Az，z）＝0，即Az＝z.

因?yàn)锳（X）?TQ（X），故存在v∈X，使得TQv＝Az＝z.由不等式（2）得

在式（17）中令n→∞得

由函數(shù)ψ的性質(zhì)可得d（z，Bv）＝0，即Bv＝z，進(jìn)而TQv＝Bv＝z.因?yàn)锽和TQ是次相容的，所以有（TQ）Bv＝BTQv，這意味著TQz＝Bz.再由不等式（2）得

在式（18）中令n→∞，并注意到TQz＝Bz得d（z，Bz）≤φ（0，0，d（z，Bz），d（z，Bz），d（Bz，z））≤ψ（d（z，Bz）），

由函數(shù)ψ的性質(zhì)可得d（z，Bz）＝0，所以z＝Bz＝TQz.

因?yàn)锽（X）?SP（X），所以存在w∈X，使得SPw＝Bz＝z.由不等式（2）得

由函數(shù)ψ的性質(zhì)可得d（Aw，z）＝0，即Aw＝z.進(jìn)而SPw＝Aw＝z.因?yàn)锳和SP是相容的，由引理1得（SP）Aw＝ASPw，這意味著SPz＝Az.

綜上可知，z＝Az＝Bz＝SPz＝TQz，即z是A，B，SP和TQ的公共不動(dòng)點(diǎn).

同SP連續(xù)時(shí)相應(yīng)部分的證明類似可證z＝Sz＝Pz＝Tz＝Qz，這樣就證明了點(diǎn)z是A，B，S，T，P和Q在X上的公共不動(dòng)點(diǎn).

下證點(diǎn)z是A，B，S，T，P和Q在X上唯一的公共不動(dòng)點(diǎn)，且z也分別是映象對（A，SP）和（B，TQ）的唯一公共不動(dòng)點(diǎn).

設(shè)z′≠z，z′∈X也是映象對（A，SP）在X中的一個(gè)公共不動(dòng)點(diǎn)，由不等式（2）得

由函數(shù)ψ的性質(zhì)可得d（z′，z）＝0，即z′＝z.因此z是映象對（A，SP）在X上唯一的公共不動(dòng)點(diǎn).同理可證z是映象對（B，TQ）在X上唯一的公共不動(dòng)點(diǎn).于是點(diǎn)z是A，B，S，T，P和Q在X上唯一的公共不動(dòng)點(diǎn).

2）當(dāng)B，TQ之一連續(xù)，且（B，TQ）相容，（A，SP）次相容時(shí)，類似1）同理可證.

3）設(shè)SP，TQ之一為滿射，且（A，SP）和（B，TQ）都次相容.

如果SP是滿射，則對z∈X，?μ∈X，使SPμ＝z.由不等式（2）得

在式（19）中令n→∞得d（Aμ，z）≤φ（d（Aμ，z），0，0，d（Aμ，z），0）≤ψ（d（Aμ，z）），

由函數(shù)ψ的性質(zhì)可得d（Aμ，z）＝0，即Aμ＝z.進(jìn)而Aμ＝SPμ＝z.又（A，SP）次相容的，故有SPz＝（SP）Aμ＝A（SP）μ＝Az.在式（19）中以z代替μ可得

在式（20）中令n→∞得d（Az，z）≤φ（d（Az，z），0，0，d（Az，z），0）≤ψ（d（Az，z）），

由函數(shù)ψ的性質(zhì)可得d（Az，z）＝0，即得Az＝z.進(jìn)而Az＝SPz＝z.類似1）中相應(yīng)部分的證明可證z是A，B，S，T，P和Q在X上唯一的公共不動(dòng)點(diǎn).且z也分別是映象對（A，SP）和（B，TQ）的唯一公共不動(dòng)點(diǎn).

當(dāng)TQ是滿射時(shí)同理可證z是A，B，S，T，P和Q在X上唯一的公共不動(dòng)點(diǎn).且z也分別是映象對（A，SP）和（B，TQ）的唯一公共不動(dòng)點(diǎn).

注2 定理1在以下三個(gè)方面改進(jìn)和推廣了Kang，Cho和Jungck［8］的相關(guān)結(jié)果：

1）把四個(gè)映象推廣至六個(gè)映象；

2）把兩對映象都相容減弱為一對相容另一對次相容；

3）定理1中的第3種情況并不要求任何一個(gè)映象連續(xù).

推論1 設(shè)（X，d）是完備度量空間，A，B，S，T，P和Q是X上的六個(gè)自映象，并有以下條件成立：

（i）A（X）?TQ（X），B（X）?SP（X）；

（ii）AP＝PA，SP＝PS，BQ＝QB，TQ＝QT；

（iii）?x，y∈X，有

其中函數(shù)ψ滿足以下條件：

（a）φ是非減的且關(guān)于每個(gè)變元是上半連續(xù)的；

（b）對任意t＞0，ψ（t）＝max｛φ（t，t，t，t，t），φ（t，t，t，2t，0），φ（t，t，t，0，2t）｝＜t.

如果以下條件之一被滿足，則A，B，S，T，P和Q有唯一公共不動(dòng)點(diǎn)z.且z也分別是映象對（A，SP）和（B，TQ）的唯一公共不動(dòng)點(diǎn).

1）A，SP之一連續(xù)，且（A，SP）相容，（B，TQ）次相容；

2）B，TQ之一連續(xù)，且（B，TQ）相容，（A，SP）次相容；

3）S，T之一為滿射，且（A，SP）和（B，TQ）都次相容.

定理2 設(shè)（X，d）是完備度量空間，A，B，S和T是X上的四個(gè)自映象，且有下面的條件成立：

（i）A（X）?T（X），B（X）?S（X）；

（ii）?x，y∈X，有

如果以下條件之一被滿足，則A，B，S和T在X中有唯一的公共不動(dòng)點(diǎn)z，且z也分別是映象對（A，S）和（B，T）的唯一公共不動(dòng)點(diǎn).

1）A，S之一連續(xù)，且（A，S）相容，（B，T）次相容；

2）B，T之一連續(xù)，且（B，T）相容，（A，S）次相容；

3）S，T之一為滿射，且（A，S）和（B，T）都次相容.

證明 在定理1中取P＝Q＝I即得定理2.

注3 定理2在以下二個(gè)方面改進(jìn)和推廣了Kang，Cho和Jungck［4］的相關(guān)結(jié)果：

1）把兩對映象都相容減弱為一對相容另一對次相容；

2）定理2中的第3種情況并不要求任何一個(gè)映象連續(xù).

推論2 設(shè)（X，d）是完備度量空間，A，B，S和T是X上的四個(gè)自映象，且有下面的條件成立：

（i）A（X）?T（X），B（X）?S（X）；

（ii）?x，y∈X，有

其中函數(shù)φ滿足以下條件：

（a）φ是非減的且關(guān)于每個(gè)變元是上半連續(xù)的；

（b）對任意t＞0，ψ（t）＝max｛φ（t，t，t，t，t），φ（t，t，t，2t，0），φ（t，t，t，0，2t）｝＜t.

如果以下條件之一被滿足，則A，B，S和T在X中有唯一的公共不動(dòng)點(diǎn)z，且z也分別是映象對（A，S）和（B，T）的唯一公共不動(dòng)點(diǎn).

1）A，S之一連續(xù)，且（A，S）相容，（B，T）次相容；

2）B，T之一連續(xù)，且（B，T）相容，（A，S）次相容；

3）S，T之一為滿射，且（A，S）和（B，T）都次相容.

對任意的t1，t2，t3，t4，t5∈［0，∞）5和h∈［0，1），則相應(yīng)結(jié)果是Jungck［3］中主要結(jié)果的改進(jìn)和發(fā)展.

注5 定理1、2和推論1、2也改進(jìn)和發(fā)展了Diviccaro和Sessa［5］，Jungck［8］以及Ding［10］的相關(guān)結(jié)果，不僅用自映象對的相容和次相容性條件取代了可交換和弱交換條件，而且減弱了映象的連續(xù)性要求.

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A New Common Fixed Point Theorem for Six Mappings in Metric Space

YU Jing，GU Feng

（College of Scionce，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

In the complete metric space，by using the compatibility and weak compatibility condition of self－mapping pair，the paper discussed the existence and uniqueness of the common fixed point of a class ofφ－type contraction mapping and obtained a new common fixed point theorem.These results improve and develop the relevant results of Jungck，Diviccaro and Sessa，Kang，Cho and Jungck and Ding.

common fixed point；compatible maps；weakly compatible maps.

O177.91 MSC2010：47H06；47H10；47H17

A

1674－232X（2011）05－0393－06

10.3969/j.issn.1674－232X.2011.05.002

2011－01－11

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11071169）；浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（Y6110287）；杭州師范大學(xué)研究生教改項(xiàng)目；杭州師范大學(xué)研究生創(chuàng)新基金項(xiàng)目.

余 靜（1986—），女，浙江慈溪人，應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生，主要從事非線性泛函分析及其應(yīng)用的研究.

＊通信作者：谷 峰（1960—），男，遼寧沈陽人，教授，主要從事非線性泛函分析及其應(yīng)用的研究.E－mail：gufeng99＠sohu.com