喻力華,陳昌勝,劉書龍,項(xiàng)林川

(華中科技大學(xué),湖北武漢 430074)

用Matlab軟件模擬振動(dòng)實(shí)驗(yàn)

喻力華,陳昌勝,劉書龍,項(xiàng)林川

(華中科技大學(xué),湖北武漢 430074)

采用Matlab軟件求解簡(jiǎn)諧振動(dòng)、阻尼振動(dòng)與受迫振動(dòng)的微分方程,通過得到的位移-時(shí)間關(guān)系,來(lái)分析不同振動(dòng)方式的物理特征。

Matlab軟件;簡(jiǎn)諧振動(dòng);阻尼振動(dòng);受迫振動(dòng)

振動(dòng)是“大學(xué)物理”課程中的一個(gè)重要教學(xué)內(nèi)容,在實(shí)際的課堂教學(xué)中通常采用一些演示實(shí)驗(yàn)來(lái)說明所涉及的物理概念,例如用關(guān)聯(lián)單擺來(lái)演示共振現(xiàn)象,但某些重要的振動(dòng)特性卻較難通過實(shí)驗(yàn)來(lái)清晰地演示,如阻尼力對(duì)共振條件的影響等。由于振動(dòng)的許多特征是由運(yùn)動(dòng)微分方程的解在不同參數(shù)的情況下表現(xiàn)出來(lái)的,而在“大學(xué)物理”課程中通常直接給出物體振動(dòng)的位移表達(dá)式,因此,為了較清晰地演示和說明振動(dòng)的特點(diǎn),本文采用Matlab數(shù)學(xué)軟件中的符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱(SymbolicMathToolbox)求解振動(dòng)微分方程,并且利用軟件的作圖功能直觀地將振動(dòng)的位移-時(shí)間關(guān)系顯示出來(lái),從而清晰地展示了許多振動(dòng)的物理特征,這種方法是課堂演示實(shí)驗(yàn)的一種很好的補(bǔ)充。

1 振動(dòng)微分方程的求解

以機(jī)械振動(dòng)為例,物體振動(dòng)微分方程的一般形式為[1]:

式中:x為物體的位移,t為時(shí)間,ω0為振動(dòng)的固有圓頻率,β為阻尼因子,反映阻尼力的大小(由阻尼系數(shù)和振子質(zhì)量決定),h反映外強(qiáng)迫力的大小(由外強(qiáng)迫力振幅和振子質(zhì)量決定),ω為周期性外強(qiáng)迫力的圓頻率。若h=0,則為阻尼振動(dòng);若h=0,β=0,則為簡(jiǎn)諧振動(dòng);若h≠0,β≠0,則為受迫振動(dòng)。

利用Matlab軟件求解上述微分方程的語(yǔ)句如下[2]:

2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)與阻尼振動(dòng)

當(dāng)h=0時(shí),β2＜ω20為弱阻尼振動(dòng);β2＞ω20為過阻尼振動(dòng),β2=ω20為臨界阻尼振動(dòng),β=0為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。如圖1所示,(a)為簡(jiǎn)諧振動(dòng),其他為弱阻尼振動(dòng)。可以看出,簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅不變,而當(dāng)阻尼因子增大時(shí),弱阻尼振動(dòng)的振幅隨時(shí)間衰減得更快,并且從圖中還可看出阻尼力的增大導(dǎo)致振動(dòng)周期增大,這一特征很難通過實(shí)驗(yàn)演示。圖2為弱阻尼、臨界阻尼和過阻尼振動(dòng)的比較,可以看出,臨界阻尼和過阻尼振動(dòng)由于阻尼力太大,使振子無(wú)法完成一次振動(dòng),只能逐漸趨近平衡位置。從圖中可以清楚地看出,臨界阻尼使振子最快回到平衡位置,因此在需要使振動(dòng)盡快停止的實(shí)驗(yàn)裝置中(如天平、電表表頭),應(yīng)該采用臨界阻尼。

圖1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)與弱阻尼振動(dòng)

3 受迫振動(dòng)

圖3、圖4分別為外強(qiáng)迫力頻率小于和大于固有振動(dòng)頻率時(shí)的受迫振動(dòng)。由于受迫振動(dòng)的解由兩項(xiàng)組成[1],其中一項(xiàng)振幅隨時(shí)間指數(shù)衰減,在阻尼力很小的情況下,其頻率主要由固有振動(dòng)頻率決定,另一項(xiàng)為振幅不變的簡(jiǎn)諧振動(dòng)形式,其頻率為外強(qiáng)迫力頻率?？梢钥闯?在兩種外強(qiáng)迫力頻率的情況下,經(jīng)過一段時(shí)間,振動(dòng)均逐漸趨近于外強(qiáng)迫力頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)形式。圖5為外強(qiáng)迫力頻率等于固有振動(dòng)頻率的情況,由于阻尼力較小(β=0.1s1),根據(jù)振幅共振外強(qiáng)迫力頻率需滿足的條件[1]:

因此出現(xiàn)了明顯的共振現(xiàn)象,其穩(wěn)定振動(dòng)的振幅明顯大于圖3、圖4的情況。

圖3 受迫振動(dòng)

圖2弱阻尼、臨界阻尼和過阻尼振動(dòng)

圖4 受迫振動(dòng)

圖5 弱阻尼情況下的共振

圖6為阻尼力較強(qiáng)情況下的共振。顯然,由于阻尼因子較大,指數(shù)衰減項(xiàng)很快趨近于零,因此振動(dòng)很快過渡為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的形式。根據(jù)(2)式,外強(qiáng)迫力圓頻率ω=1s-1時(shí)滿足振幅共振條件,這時(shí)的穩(wěn)定振動(dòng)振幅明顯大于外強(qiáng)迫力圓頻率等于固有振動(dòng)頻率的情況。

圖6 強(qiáng)阻尼情況下的共振

4 總 結(jié)

通過以上討論可以看出,利用Matlab軟件求解振動(dòng)微分方程,可以很容易地獲得振動(dòng)的一些基本特征,并可方便地修改相關(guān)參數(shù)來(lái)觀察振動(dòng)的變化,因此這種方法特別適合用于教學(xué)演示。

[1]張三慧.大學(xué)物理學(xué)[M].北京:清華大學(xué)出版社,1999.

[2]D.Hanselman,B.Littlefield.精通Matlab綜合輔導(dǎo)與指南[M].李人厚,張平安,譯.西安:西安交通大學(xué)出版社,1998.

Simulate the Oscillation Experiment by Matlab Soft ware

YU Li-hua ,CHEN Chang-sheng ,LIU Shu-long ,XIANG Lin-chuan

( Huazhong University of Science and Technology , Hubei ,Wuhan 430074)

:Using Matlab softw are the differential equations of simp le harmonic oscillation、damped os-cillation and forced oscillation are solved,the physical charactersof different oscillation modes are ana-lysed by the obtained relations betw een the disp lacement and time.

Matlab software;simple harmonic oscillation;damped oscillation;forced oscillation

O411.3

A

1007-2934(2011)03-0079-03

2010-10-17