王立冬，李英男

(1.大連民族學(xué)院理學(xué)院，遼寧大連116605;

2.遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧大連 116029)

時(shí)間變量離散動(dòng)力系統(tǒng)的分布混沌

王立冬1，李英男2

(1.大連民族學(xué)院理學(xué)院，遼寧大連116605;

2.遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧大連 116029)

研究了度量空間中具有時(shí)間變量的離散動(dòng)力系統(tǒng)的分布混沌，介紹了時(shí)間變量系統(tǒng)的按序列分布混沌概念，證明了兩個(gè)一致拓?fù)涞葍r(jià)共軛的時(shí)間變量系統(tǒng)有相同的按序列分布混沌的拓?fù)湫再|(zhì)。

時(shí)間變量離散系統(tǒng);按序列分布混沌;拓?fù)涔曹?/p>

自從Li和Yorke在1975年首次用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言給出了混沌的定義以來［1］，混沌的研究已在現(xiàn)代科學(xué)方面產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，Li－Yorke混沌定義的各種延伸也被發(fā)展起來。例如，Devaney混沌、Wiggins混沌、Dense混沌、Generic混沌、分布混沌和按序列分布混沌［2］。分布混沌主旨在于利用相同的統(tǒng)計(jì)假設(shè)來加強(qiáng)“Li－York對(duì)”的定義。具有時(shí)間不變量的離散系統(tǒng)xn+1=f(xn)(n≥0)的混沌已經(jīng)被研究，其中f:D?X→X是一個(gè)映射，(X，d)是一個(gè)度量空間，并且獲得了許多重要成果。此外，對(duì)于高維和無限維映射的研究也取得了一些重要進(jìn)展。同時(shí)，一般時(shí)間變量離散系統(tǒng)(TVDS)也被研究［3－4］。一般時(shí)間變量離散系統(tǒng)(TVDS)可以寫成下列形式:

式中，fn:Dn→Dn+1是一個(gè)映射，Dn是度量空間(X，d)的一個(gè)子集。不要求fn可逆，只考慮系統(tǒng)(1)的正軌道，Y.Shi和 G.Chen［5］研究了有限維線性時(shí)間變量動(dòng)力系統(tǒng)的混沌，以及關(guān)于TVDS的Li－Yorke混沌和Devaney混沌，并且研究了兩個(gè)拓?fù)涔曹椣到y(tǒng)之間的動(dòng)力學(xué)行為的聯(lián)系。表明了僅僅是拓?fù)涔曹椡ǔ２⒉荒鼙ＷC兩個(gè)拓?fù)涔曹棔r(shí)間變量系統(tǒng)有相同的拓?fù)湫再|(zhì)。

本文研究了關(guān)于兩個(gè)一致拓?fù)涞葍r(jià)共軛時(shí)間變量系統(tǒng)的按序列分布混沌的性質(zhì)，我們考慮兩個(gè)時(shí)間變量系統(tǒng)(1)和

式中，gn:En→En+1是一個(gè)映射，En(n≥0)是度量空間(Y，ρ)的一個(gè)子集，證明了如下結(jié)論:

定理假設(shè)系統(tǒng)(1)和(2)是一致拓?fù)涞葍r(jià)共軛，若系統(tǒng)(2)是按序列分布混沌的，則系統(tǒng)(1)也是按序列分布混沌的。

1 基本定義

全文中，(X，d)表示以d為度量的度量空間，fn:Dn→Dn+1是一個(gè)映射，Dn是度量空間(X，d)的一個(gè)子集。令S是一個(gè)至少包含兩個(gè)不同點(diǎn)的D0的子集，x0，y0∈S，x0≠y0，{pk}是一個(gè)正整數(shù)序列。對(duì)于?δ＞0，令

式中，#S表示S中元素的個(gè)數(shù)。

定義1 S被稱為系統(tǒng)(1)的按序列分布混沌集，如果存在一個(gè)正整數(shù)序列{pk}使得對(duì)于?x0，yo∈S，兩個(gè)相應(yīng)的軌道滿足

若系統(tǒng)(1)有一個(gè)不可數(shù)的按序列分布混沌集，則稱該系統(tǒng)是按序列分布混沌的。

現(xiàn)在，引入TVDS中拓?fù)涔曹椇鸵恢峦負(fù)涞葍r(jià)共軛的概念。

2 定理的證明

［1］ LI Tianyan，YORKE J A.Period three implies chaos［J］.Amer.Math.Monthly，1975，82:985 －992.

［2］WANG Lidong.Distributional chaos in a sequence［J］.Nonlinear Analysis，2007，67:2131 －2136.

［3］MAROTTO F R.Snap－back repellers imply chaos in［J］.J.Math.Anal.Apl，1978，63:199 －223.

［4］MAROTTO F R.On redefining a snap－back repeller［J］.Chaos Solitons Fractals，2005，25:25 －28.

［5］SHI Yuming，CHEN Guanrong.Chaos of time － varying discrete dynamical systems［J］.Journal of Different E-quations and Applications，2009，15:429 －449.

Distributional Chaos of Time－varying Discrete Dynamical System

WANG Li－dong1，Li Ying－nan2
(1.College of Science，Dalian Nationalities University，Dalian Liaoning 116605，China;
2.School of Mathematics，Liaoning Normal University，Dalian Liaoning 116029，China)

The distributional chaos of time－varying discrete systems in metric spaces has been investigated.The concept of distributional chaos in a sequence for general time－varying systems has been introduced.The conclusion that two uniformly topologically equiconjugate time－varying systems have the same distributively chaos in the sequence has been proved.

time－varying discrete system;distributional chaos in a sequence;topological conjugacy.

O189

A

1009－315X(2011)05－0462－03

2011－05－25;最后

2011－06－14

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(10010101);遼寧教育廳基金項(xiàng)目(2009A141)。

王立冬(1955－)，男，吉林德惠人，博士，學(xué)校特聘教授、優(yōu)秀教學(xué)帶頭人，碩士生導(dǎo)師，主要從事拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)研究。

(責(zé)任編輯 鄒永紅)