在數(shù)學(xué)中，圖形語(yǔ)言也像文字語(yǔ)言那樣具有記錄作用，而且比文字語(yǔ)言更形象，有利于形象記憶，更有利于探索解題途徑，還可以交流思想。正如笛卡爾曾說(shuō)過(guò)的：“沒有任何東西比幾何圖形更容易印入腦際了，因此，用這種方式來(lái)表達(dá)事物是非常有益的?！彼?，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，可以充分發(fā)揮圖形語(yǔ)言的作用，讓學(xué)生在抽象的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中獲得美的享受，從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的積極性；通過(guò)對(duì)圖形多角度、全方位的觀察與思考，以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析和認(rèn)知能力，提高數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性。
　　一、圖形語(yǔ)言的教學(xué)價(jià)值
　　1.激發(fā)學(xué)習(xí)興趣
　　教學(xué)實(shí)踐表明，不少學(xué)生之所以視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為苦役，為畏途，主要原因在于缺乏對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。事實(shí)上，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，一種巧妙解題方法、一個(gè)奇巧的構(gòu)圖往往可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣。
　　例1．求方程x+y+z+w=7有多少個(gè)正整數(shù)解。
　　分析與解：這個(gè)不定方程若用純代數(shù)方法進(jìn)行討論，則不勝其煩。現(xiàn)構(gòu)想7個(gè)相同的球，放在4只盒子中，顯然每只盒子不空的一種放法對(duì)應(yīng)著方程的一個(gè)解，因此方程解的個(gè)數(shù)即為球放法的總數(shù)，而其放法又等價(jià)于在7個(gè)并排橫放的小球之間插入3條豎線，第一條左側(cè)的小球裝入第一只盒子，第一、第二條之間的小球裝入第二只盒子，余類推。因?yàn)?個(gè)球之間有6個(gè)區(qū)間，所以共有C63種裝法，故原方程共有20個(gè)正整數(shù)解。
　　通過(guò)例題的講解與評(píng)析，不僅讓學(xué)生掌握了這類問(wèn)題的解法，而且讓學(xué)生體會(huì)了數(shù)學(xué)思維的精巧，探索數(shù)學(xué)奧秘的激情也油然而生。
　　2.理解數(shù)學(xué)概念
　　中學(xué)生思維正處于形象思維向抽象思維的過(guò)渡階段，對(duì)于某些較抽象的概念，還離不開具體事物的支撐。因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，借助于圖形語(yǔ)言可以使抽象的概念直觀地展示在學(xué)生面前，幫助學(xué)生從本質(zhì)上真正理解掌握數(shù)學(xué)概念、定義等。例如，“集合”這一小節(jié)基本概念多，容易引起混淆。教學(xué)時(shí)可以借助于韋恩圖，充分利用韋恩圖具有的語(yǔ)言轉(zhuǎn)換、邏輯分析和推理功能，幫助學(xué)生加深概念和性質(zhì)的理解。
　　3.促進(jìn)形象記憶
　　圖形語(yǔ)言是一種視覺語(yǔ)言，與符號(hào)語(yǔ)言一樣都是數(shù)學(xué)語(yǔ)言。它不僅具有符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確、嚴(yán)密、簡(jiǎn)明的特點(diǎn)，還具有直觀、形象、容量大，便于觀察、記憶和聯(lián)想等優(yōu)點(diǎn)。因此利用圖形語(yǔ)言進(jìn)行記憶具有符號(hào)語(yǔ)言所不能及的優(yōu)越性。例如，在對(duì)數(shù)函數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，借助于多媒體從具體的幾個(gè)圖像中讓學(xué)生觀察、探索共性，自主歸納出其函數(shù)性質(zhì)。由此學(xué)生只要記住了對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a>0，a≠1）圖像，同時(shí)也就記住了對(duì)數(shù)函數(shù)的所有性質(zhì)。這樣學(xué)生學(xué)起來(lái)就會(huì)感到很輕松而且記憶也很深刻。
　　4.建立數(shù)學(xué)模型
　　數(shù)學(xué)是在實(shí)際應(yīng)用的需求中產(chǎn)生的，要解決實(shí)際問(wèn)題就必需建立數(shù)學(xué)模型。顧泠沅先生提出了實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化的三個(gè)階段，即實(shí)物操作、表象操作和符號(hào)操作。借助表象操作這個(gè)中介實(shí)現(xiàn)了從動(dòng)手操作到算式表示的過(guò)渡，越過(guò)了形式化的難關(guān)。因此用圖形語(yǔ)言來(lái)描述數(shù)學(xué)事實(shí)或現(xiàn)實(shí)情境的數(shù)量關(guān)系，有利于學(xué)生弄清數(shù)學(xué)問(wèn)題的含義，便于學(xué)生找到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的策略及數(shù)學(xué)模型。例如，著名的哥尼斯堡七橋問(wèn)題，歐拉將它抽象為如圖1所示的圖形模型，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一筆劃問(wèn)題。又如在探求二次函數(shù)在不同區(qū)間上的最值時(shí)，可以借助二次函數(shù)的圖像，歸納一般規(guī)律，形成解題經(jīng)驗(yàn)，建立數(shù)學(xué)模型。
　　5.培養(yǎng)思維能力
　　幾何圖形是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的基礎(chǔ)，可以使抽象思維具體化，把思維活動(dòng)變成可操作的數(shù)學(xué)演算；使復(fù)雜思路簡(jiǎn)潔化，讓思維活動(dòng)快捷可行；使靜態(tài)思維動(dòng)態(tài)化，讓思維活動(dòng)清晰明了。因此在教學(xué)中要著重培養(yǎng)學(xué)生從幾何直觀上分析問(wèn)題的意識(shí)，指導(dǎo)學(xué)生掌握觀察圖形的思維方式，從而發(fā)展學(xué)生的思維。
　　分析與解：此例題若用純代數(shù)的方法解則顯得難以下手，如果能注意到M的表達(dá)式的幾何特征，即兩點(diǎn)間距離的平
　　6.提高解題能力
　　美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂恩說(shuō)：“如果一個(gè)特定的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為圖形，那么，思想就整體地把握了問(wèn)題，并且能創(chuàng)造性地思索問(wèn)題的解法?！边@就表明，解題時(shí)若能挖掘問(wèn)題的幾何意義，配以圖形，就能取得以簡(jiǎn)馭繁的效果。
　　二、加強(qiáng)圖形語(yǔ)言教學(xué)的途徑
　　1.重視教師的示范作用
　　俗話說(shuō)言傳不如身教，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，作為起主導(dǎo)作用的數(shù)學(xué)老師，首先要有意識(shí)地滲透用圖形語(yǔ)言解題的理念，及時(shí)地展示圖形語(yǔ)言的優(yōu)越性，體現(xiàn)圖形語(yǔ)言的價(jià)值所在，長(zhǎng)此以往，就會(huì)給學(xué)生以潛移默化的影響，讓學(xué)生嘗試圖形語(yǔ)言解題的方法，體驗(yàn)圖形語(yǔ)言解題的成功感，形成用圖形語(yǔ)言求解的意識(shí)。因此重視教師的示范作用是培養(yǎng)學(xué)生用圖形語(yǔ)言學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、理解數(shù)學(xué)概念、提高解題能力的重要前提。
　　2.挖掘數(shù)式的幾何意義
　　在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師及時(shí)挖掘數(shù)學(xué)表達(dá)式的幾何意義，幫助學(xué)生形成空間概念，有助于學(xué)生聯(lián)想到圖形語(yǔ)（x，y）到定點(diǎn)（3，-4）的距離，也可以看作是直角邊分別為（x-3），（y+4）的直角三角形的斜邊的長(zhǎng)。因此充分挖掘數(shù)式的幾何意義是培養(yǎng)學(xué)生用圖形語(yǔ)言學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、理解數(shù)學(xué)概念、提高解題能力的知識(shí)基礎(chǔ)。
　　3.培養(yǎng)學(xué)生的畫圖意識(shí)
　　教學(xué)實(shí)踐表明，大部分學(xué)生在解題過(guò)程中，缺少畫圖的意識(shí)，例如，在集合教學(xué)中，求兩個(gè)數(shù)集的交集時(shí)，盡管教師在例題中已經(jīng)示范了用韋恩圖和數(shù)軸求交集，課后作業(yè)時(shí)學(xué)生還是沒有畫圖解題的意識(shí)。因此，培養(yǎng)學(xué)生畫圖的意識(shí)，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)畫圖是培養(yǎng)學(xué)生用圖形語(yǔ)言學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、理解數(shù)學(xué)概念、提高解題能力的根本保證。
　　4.加強(qiáng)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換
　　數(shù)學(xué)語(yǔ)言包括符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和文字語(yǔ)言。進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言的互譯訓(xùn)練，不僅有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)；而且有利于學(xué)生產(chǎn)生好的念頭，培養(yǎng)分析問(wèn)題的能力，提高解決問(wèn)題的能力；更有利于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新能力。因此，加強(qiáng)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的互譯是培養(yǎng)學(xué)生用圖形語(yǔ)言學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、理解數(shù)學(xué)概念、提高解題能力的有效途經(jīng)。
　　5.提高學(xué)生的構(gòu)圖能力
　　對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果“題設(shè)”和“結(jié)論”中的數(shù)量關(guān)系有特定的幾何意義或以某種方式能與幾何圖形建立聯(lián)系，則可構(gòu)造有關(guān)圖形，把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問(wèn)題，充分運(yùn)用幾何圖形形象直觀、簡(jiǎn)單明了的優(yōu)點(diǎn)，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，化難為易，從而獲得簡(jiǎn)便易行的解題思路。
　　例4．計(jì)算19961997×19971996-19961996×19971997．
　　分析與解：這是一道純數(shù)字計(jì)算題，如果注意到其幾何意義，則有意外收獲。如圖4所示，構(gòu)造長(zhǎng)方形ABCD和ECHF，則算式即為兩個(gè)小長(zhǎng)方形ABHG和EDGF面積之差，
　　∴原式=S長(zhǎng)方形ABHG-S長(zhǎng)方形EDGF=19971996×1-19961996×1=10000
　　通常情況下，可以從概念內(nèi)涵、公式定理、數(shù)式結(jié)構(gòu)等方面多角度類比聯(lián)想，挖掘其幾何意義，構(gòu)建幾何圖形或函數(shù)圖像，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化。因此，提高學(xué)生構(gòu)圖的能力是培養(yǎng)學(xué)生用圖形語(yǔ)言學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、理解數(shù)學(xué)概念、提高解題能力的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。
　　三、運(yùn)用圖形語(yǔ)言應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題
　　1.注意圖形的準(zhǔn)確性
　　我們知道，確當(dāng)、合理的圖形不僅是正確解題的基礎(chǔ)，而且往往也是產(chǎn)生數(shù)學(xué)直覺的前提。因此構(gòu)造的圖形必須準(zhǔn)確地反映題目條件中包含的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，否則，不準(zhǔn)確的圖形構(gòu)造可能導(dǎo)致解題失誤。
　　例5．一組對(duì)邊相等，且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形嗎？為什么？
　　錯(cuò)解：滿足上述條件的是平行四邊形。如圖5所示，已知：AD=CB， ∠A=∠C。求證：四邊形ABCD是平行四邊形。（證明略）
　　
　　解析：滿足上述條件的四邊形不是平行四邊形。如圖6所示，作等腰三角形ABC，AB=AC，在BC上取一點(diǎn)E，使BE>EC，且作ED=AC。連結(jié)AD，可得△AEC≌△EAD。所以∠D=∠C=∠B。在四邊形ABED中，有AB=ED，∠B=∠D，但四邊形ABCD不是平行四邊形。
　　2.注意圖形的完整性
　　由數(shù)學(xué)問(wèn)題構(gòu)造的圖形還應(yīng)具有完整性和普遍性，例如某函數(shù)的圖像一般只能作出其一部分，不能也沒有必要全部作出，但與問(wèn)題有關(guān)的部分必須完整作出。又如一種問(wèn)題有多種圖形，則符合要求的各種圖形必須完整畫出，然后逐一討論，更不能以特殊圖形代替一般圖形，必須防止犯以偏概全、以特殊代替一般的邏輯錯(cuò)誤。
　　例6．方程x2=2x的解的個(gè)數(shù)為（）
　　A.0B.1C.2D.3
　　錯(cuò)解：在同一坐標(biāo)系內(nèi)做出函數(shù)y=x2和y=2x圖像，如圖7所示，有兩個(gè)交點(diǎn)，選C。
　　解析：實(shí)際上由于函數(shù)y=x2及y=2x（x>0）及兩曲線的曲率不同，整體考慮y軸右側(cè)的圖像應(yīng)有兩個(gè)交點(diǎn)（2，4）和（4，16），再加上x<0時(shí)的一個(gè)交點(diǎn)，故應(yīng)有三個(gè)交點(diǎn)。正確答案應(yīng)為D。
　　3.注意圖形的簡(jiǎn)潔性
　　一個(gè)問(wèn)題可用多種方法構(gòu)造不同圖形時(shí)，則應(yīng)選擇最簡(jiǎn)單的圖形。例如在求解三角不等式或不等式組時(shí)，可構(gòu)造數(shù)軸、三角函數(shù)圖像、單位圓等多種形式，應(yīng)根據(jù)問(wèn)題特點(diǎn)，選擇最簡(jiǎn)圖形。又如在立體圖形中，為分析圖形方便，可將圖形適當(dāng)剖拆，分解，便于問(wèn)題解決。
　　以上兩種方法，雖同為圖形語(yǔ)言解題，但比較發(fā)現(xiàn)，第二種方法的圖像更簡(jiǎn)潔，更便于學(xué)生操作，因此，有時(shí)，我們可以對(duì)表達(dá)式作同解變形，選擇比較容易畫出的、自己熟悉的、更簡(jiǎn)潔的圖形來(lái)解題。
　　總之，圖形語(yǔ)言是現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)的最佳結(jié)合點(diǎn)?！耙环鶊D勝過(guò)千言萬(wàn)語(yǔ)”，它能夠使學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想，有助于學(xué)生清晰地表達(dá)、有條理地思考，會(huì)用數(shù)學(xué)的思考方式解決問(wèn)題、認(rèn)識(shí)世界。正如波利亞在《怎樣解題》中提及的“畫張圖，引入適當(dāng)?shù)姆?hào)”。在解決問(wèn)題時(shí)，可以從已知條件中的數(shù)字特征、代數(shù)式的特點(diǎn)、特定的數(shù)量關(guān)系等方面充分挖掘幾何意義，引導(dǎo)學(xué)生借助于圖形語(yǔ)言直觀解答，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。
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　　（責(zé)任編輯劉永慶）
　　注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請(qǐng)以PDF格式閱讀”