一、 什么是數(shù)學課堂的學科缺失
　　數(shù)學課堂教學既要遵循教學活動的一般規(guī)律，又要遵循數(shù)學活動的特殊規(guī)律，是“教與學對應”和“教與數(shù)學對應”的雙邏輯建構(gòu)。任何一個對應處理不好，都不可能產(chǎn)生好的教學效果。所謂數(shù)學課堂的學科缺失，簡單講就是課堂教學與“數(shù)學”的不對應，即課堂教學的內(nèi)容、認知、活動、表達等方面不符合數(shù)學學科的規(guī)定或數(shù)學活動的規(guī)律，出現(xiàn)知識的、思維的、思想的、方法的錯誤或者不恰當、不準確，妨礙了學生的數(shù)學認知和素質(zhì)發(fā)展。
　　數(shù)學走進課堂存在許多中間環(huán)節(jié)和影響因素，課堂教學與“數(shù)學”很好地對應起來不是一件容易的事情。由數(shù)學教育的雙邏輯模型（圖1）可以看出，教師的數(shù)學知識和經(jīng)驗、教育取向的數(shù)學哲學、教育數(shù)學、教育取向的數(shù)學史構(gòu)成了“教與數(shù)學對應”的中介，這些中介因素直接影響并指導課堂的數(shù)學活動，使得數(shù)學核心價值和思維方式正確地、適當?shù)伢w現(xiàn)在課堂預設(shè)和師生活動中。教學論、課程論、學習論、教育技術(shù)是“教與學對應”的中介，能夠使得課堂的數(shù)學活動符合學生心理規(guī)律、符合教學規(guī)律，體現(xiàn)恰當?shù)慕逃浴Ｓ纱?，?shù)學課堂的學科缺失可以分為三類。
　　1.缺失正確的數(shù)學知識和經(jīng)驗
　　例如，如果教師對知識點本身認識不足，就可能傳遞錯誤的數(shù)學信息，使學生的意義建構(gòu)發(fā)生錯誤，形成不良的知識結(jié)構(gòu)或數(shù)學觀念。
　　2.缺失“教與數(shù)學對應”的整體理解
　　例如，如果教師對知識點本身認識正確，但缺少數(shù)學哲學的知識，就可能膚淺地、片面地引導學生的數(shù)學活動，使數(shù)學課堂缺少數(shù)學思想、數(shù)學精神，從而壓抑學生的數(shù)學學習興趣，影響數(shù)學觀和科學人文素養(yǎng)的形成和發(fā)展。
　　3.缺失“教與學對應”因素的恰當配合
　　例如，如果教師的數(shù)學認識充分足夠，但缺乏教的有效知識，就可能把課堂組織得一團糟，學生“吃不了，吃不好，吃不飽”，課堂不能促進學生的認知發(fā)展，失去應有的教育功能。
　　二、 從實例看數(shù)學課堂的學科缺失
　　1.概念辨析缺失數(shù)學的本質(zhì)
　　【案例】分式
　　生：如果我寫一個式子X/2X，約分之后是1/2，它還叫分式嗎？
　　師：大家能想到這一點非常好。初中課本中避開了這個問題，沒有談到一個式子用加減乘除的符號來表示，或者說m/n＋n/m是不是一個分式。實際上這樣的式子也叫分式，中間用加減乘除的符號連接，即使它沒有化簡過，它也叫分式。
　　【解析】一個代數(shù)式是不是分式，要看它的特征是否符合分式定義，而不是看它的運算結(jié)果。教師自己被“約分”搞糊涂了，忘掉了分式的本質(zhì)屬性，混淆了“式的運算”和“含有運算符的式”兩個不同的概念，還錯誤地把m/n＋n/m這樣的“用加減乘除的符號連接”的式子解釋為分式。辨析數(shù)學對象，就要辨別它的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性，正確使用概念去表示、描述研究對象，偏離數(shù)學知識的本質(zhì)就會造成科學性錯誤。
　　2.數(shù)學探究缺失數(shù)學的大觀點、大方法
　　【案例】任意角的三角函數(shù)
　　教師：銳角的正弦是通過構(gòu)造直角三角形定義的。如果α是任意角，它的正弦如何定義呢？
　　學生：在終邊上隨便取一個點，過這個點作垂線，構(gòu)造一個直角三角形，然后還用剛才的方法求，用那個鈍角所對的斜邊，不是，是鈍角的補角對的斜邊，……
　　教師：這個定義還是在三角形里面作的吧，好像擺脫不了銳角三角形。還有沒有其他的方法？
　　學生：作直角坐標系，畫個圓，過終邊和圓的交點，作x軸的垂線，由原來的定義類推一下，就是這條線段的長度和圓的半徑的比值。
　　學生：我不太明白，這種定義和剛才的定義有什么區(qū)別？
　　教師：還有沒有其他的想法？
　　學生：在終邊上任取一個點，標上這個點的坐標，用y比作該點到O點的長度，這個定義有正負之分，和原來的定義完全取正數(shù)有區(qū)別了。
　　教師：這個定義擺脫了銳角三角形、直角三角形?！^察一下，原來銳角正弦的定義是一個比值，現(xiàn)在任意角的正弦也是一個比值，雖然都是比值，但還是有區(qū)別的。
　　【解析】從初中的平面三角發(fā)展到高中的三角函數(shù)，是數(shù)學觀念從靜態(tài)的、常量的綜合幾何走向動態(tài)的、變量的分析幾何的跨越，對學生來說是一個挑戰(zhàn)。這位教師沒有介紹研究三角函數(shù)必要性的背景知識，沒有說明角的推廣引起的數(shù)學方法的變化，也沒有突出銳角正弦定義中的條件和特點，而是直接要求學生下一個新的定義，這對學生來說太不容易了。在下定義的過程中，教師要求學生“擺脫銳角三角形”、“和初中定義有區(qū)別”，但對其思想根源卻沒有引導，學生雖然有探究，但探究總是盲目的、膚淺的，認識不到數(shù)學知識本身所隱含的深刻意義。數(shù)學探究是問題驅(qū)動的，當數(shù)學知識的建構(gòu)涉及到數(shù)學思想方法的重大變革時，學生在課堂上很難跨越或者不可能自主地探究，需要教師給予比較明確的思想和觀念的指導、幫助。如果教師僅僅盯著知識點的表面信息，忽視了知識發(fā)生、發(fā)展的大觀點、大方法，學生就很難選擇、確定數(shù)學探究的方法、思路和目標，數(shù)學活動的過程體驗和意義獲得終究是一筆糊涂賬。
　　3.學生討論缺失教師的數(shù)學指導
　　【案例】任意角的三角函數(shù)
　　教師：令|OP|=1，就得到sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝y(tǒng)/x。對每一個α，它們的值是唯一確定的，所以它們又是一種函數(shù)關(guān)系。你能說說它們的定義域嗎？
　　學生：應該屬于實數(shù)范圍，因為y可以取到任何實數(shù)。
　　學生：x等于任何數(shù)都可以，它的定義域是R。
　　學生：由于α的正切值等于y/x，x作為分母是不等于0的，所以它的定義域應該是x≠0。
　　【解析】三角函數(shù)的自變量是角α，