＊ 兩組分玻色－愛因斯坦凝聚體中矢量孤子的動力學(xué)性質(zhì)

周艷珍，張素英

（山西大學(xué) 理論物理研究所，山西 太原 030006）

＊兩組分玻色－愛因斯坦凝聚體中矢量孤子的動力學(xué)性質(zhì)

周艷珍，張素英＊

（山西大學(xué) 理論物理研究所，山西 太原 030006）

通過數(shù)值求解異種兩組分玻色愛因斯坦凝聚體在弱囚禁勢中的運動方程來討論其矢量孤子解的動力學(xué)性質(zhì).研究表明，種內(nèi)和種間相互作用強(qiáng)度滿足不同的條件時，會形成亮亮孤子、亮暗孤子和暗暗孤子等不同的矢量孤子解.其中亮亮孤子和亮暗孤子是穩(wěn)定的，而暗暗孤子很不穩(wěn)定.適當(dāng)改變種間相互作用強(qiáng)度，亮、暗孤子之間能夠相互轉(zhuǎn)換.

兩組分玻色愛因斯坦凝聚體；矢量孤子；穩(wěn)定性

玻色－愛因斯坦凝聚（簡稱BEC）中的暗、亮物質(zhì)波孤子的成功觀測及其潛在的應(yīng)用前景，使BEC中的物質(zhì)波孤子成為當(dāng)前低溫物理和凝聚態(tài)物理研究領(lǐng)域的研究熱點之一.孤子是非線性物質(zhì)波的存在形式，能夠很好地保持空間輪廓，穩(wěn)定地傳播，它分為亮孤子和暗孤子兩類.目前，多組分BEC由于其具有復(fù)雜的量子相位［1］和在單組分BEC中所沒有的性質(zhì)已成為研究暗、亮孤子的焦點之一.而且，理論［2－5］和實驗［6－7］的研究都表明異種兩組分BEC系統(tǒng)中種間相互作用強(qiáng)度起著很重要的作用［8－9］.本文通過數(shù)值模擬的方法研究了兩組分玻色－愛因斯坦凝聚體（g11＜0且g22＞0）中矢量孤子在弱囚禁勢中的動力學(xué)性質(zhì)，并通過調(diào)節(jié)種間相互作用強(qiáng)度（實驗上采用Feshbach共振技術(shù)實現(xiàn)［10－11］）研究了孤子之間的相互轉(zhuǎn)換問題.

1 理論模型

兩組分玻色－愛因斯坦凝聚體的平均場動力學(xué)控制方程如下［2－4］：

2 不同的矢量孤子解

當(dāng)無束縛外勢時，即λ1＝0，λ2＝0，方程（1）和（2）存在以下四種情況的矢量孤子解［12］：

為了得到不同的矢量孤子解，我們定義下面兩個量：

圖1 種間相互作用強(qiáng)度g12取不同值時凝聚體內(nèi)形成不同的矢量孤子所對應(yīng)的分段圖，其中κg 11＜g 22／κ，g 11＜0，g 22＜0Fig.1 Chart in stages of vector solitons in Bose－Einstein Condensates with different values of the interspecies interaction strength g 12，withκg 11＜g 22／κ，g 11＜0 and g 22＜0

第二類情況——g11＜0，g22＞0，g12可以調(diào)節(jié)，我們可以劃分出下面三個區(qū)域（如圖2，P666）：

f.g12∈（－∞，κg11］，此時Q1＞0，Q2＜0，形成亮 －亮孤子；

g.g12∈（κg11，g22／κ］，此時Q1＞0，Q2＞0，形成亮 －暗孤子；

h.g12∈（g22／κ，＋∞），此時Q1＜0，Q2＞0，形成暗 －暗孤子；

圖2 種間相互作用強(qiáng)度g12取不同值時凝聚體內(nèi)形成不同的矢量孤子所對應(yīng)的分段圖，其中κg 11＜g 22／κ，g 11＜0，g 22＞0Fig.2 Chart in stages of vector solitons in Bose－Einstein Condensates with different values of the interspecies interaction strength g 12，withκg 11＜g 22／κ，g 11＜0 and g 22＞0

圖3 種間相互作用強(qiáng)度g 12取不同值時凝聚體內(nèi)形成不同的矢量孤子所對應(yīng)的分段圖，其中κg 11＜g 22／κ，g 11＞0，g 22＞0Fig.3 Chart in stages of vector solitons in Bose－Einstein Condensates with different values of the interspecies interaction strength g 12，withκg 11＜g 22／κ，g 11＞0 and g 22＞0

關(guān)于亮－亮孤子的性質(zhì)和暗－亮孤子的性質(zhì)在異種兩組分玻色－愛因斯坦凝聚體（g11＞0且g22＞0）中已經(jīng)有大量的研究［13－14］.我們采用數(shù)值模擬的方法主要討論了在異種兩組分玻色－愛因斯坦凝聚體（g11＜0且g22＞0）中亮－亮孤子、亮－暗孤子和暗－暗孤子的穩(wěn)定性及其相互轉(zhuǎn)換.

3 不同孤子的穩(wěn)定性

兩種類玻色－愛因斯坦凝聚體中，我們選定第一種類為7Li原子，第二種類為23Na原子，并且種內(nèi)相互作用強(qiáng)度滿足g11＜0，g22＞0，種間相互作用強(qiáng)度g12可以調(diào)節(jié).此條件滿足上面所列三類情況中的第二類情況，g12滿足不同的條件時可以形成亮－亮、亮－暗和暗－暗三種不同孤子對.下面我們通過數(shù)值模擬實驗來研究這三種孤子的穩(wěn)定性.初始態(tài)（t＝0）分別選用精確解（3）－（8），代入方程（1）和（2）進(jìn)行動力學(xué)演化.結(jié)果表明，亮－亮孤子和亮－暗孤子在弱囚禁勢中都能夠穩(wěn)定地傳播，如圖4和圖5（P667）所示.而暗－暗孤子很不穩(wěn)定，迅速地被破壞，且由于種間強(qiáng)大的排斥作用，彼此遠(yuǎn)離，如圖6（P667）所示.

另外，可調(diào)相互作用的兩組分玻色－愛因斯坦凝聚體中不同的孤子之間可以相互轉(zhuǎn)換，如圖7所示.首先，我們選擇一對速度為零的亮 －暗孤子且種間相互作用強(qiáng)度滿足g12∈（κg11，g22／κ］，代入方程（1）和（2）進(jìn)行動力學(xué)演化，然后在t＝5時將種間相互作用強(qiáng)度g12瞬間變?yōu)樾∮讦蔳11的值，繼續(xù)動力學(xué)演化.由于g12＜κg11，滿足Q1＞0，Q2＜0，所以凝聚體內(nèi)亮－暗孤子在t＝5時轉(zhuǎn)換為亮－亮孤子，且不同種類凝聚體中形成的亮孤子經(jīng)過幾次碰撞后合并為一個新的亮孤子.

4 結(jié)論

圖4 在弱囚禁勢中亮－亮孤子的動力學(xué)演化圖其中g(shù) 11＝－3.47，g 22＝5.89，g 12＝－3，κ＝7／23，λ1＝λ2＝0.12，η＝1.5，v＝0.8Fig.4 Dynamic evolution of bright－bright solitons in weak longitudinal trap with g 11＝－3.47，g 22＝5.89，g 12＝－3，κ＝7／23，λ1＝λ2＝0.12，η＝1.5 and v＝0.8

圖5 在弱囚禁勢中亮－暗孤子的動力學(xué)演化圖其中g(shù)11＝－3.47，g22＝5.89，g12＝3，κ＝7／23，λ1＝λ2＝0.12，η＝1.5，v＝0.4Fig.5 Dynamic evolution of bright－dark solitons in weak longitudinal trap with g 11＝－3.47，g 22＝5.89，g 12＝3，κ＝7／23，λ1＝λ2＝0.12，η＝1.5 and v＝0.4

圖6 在弱囚禁勢中暗－暗孤子的動力學(xué)演化圖其中g(shù) 11＝－3.47，g 22＝5.89，g 12＝30，κ＝7／23，λ1＝λ2＝0.12，η＝1.5，v＝0Fig.6 Dynamic evolution of dark－dark solitons in weak longitudinal trap with g 11＝－3.47，g 22＝5.89，g 12＝30，κ＝7／23，λ1＝λ2＝0.12，η＝1.5 and v＝0

圖7 在弱囚禁勢中亮－暗孤子相互轉(zhuǎn)換的動力學(xué)演化圖.初始態(tài)與圖5相同取g 11＝－3.47，g 22＝5.89，g 12＝3，在t＝5后，種間相互作用強(qiáng)度變?yōu)間12＝－20，其它參數(shù)不變，其中κ＝7／23，λ1＝λ2＝0.12，η＝1.5，v＝0Fig.7 Dynamic evolution of the mutual transforming bright and dark solitons in weak longitudinal trap withg 11＝－3.47，g22＝5.89，g12＝3 initially，and the interspecies interaction strength is changed tog 12＝－20 at t＝5，other parameters are changeless，andκ＝7／23，λ1＝λ2＝0.12，η＝1.5，v＝0

本文對可調(diào)相互作用的異種兩組分玻色－愛因斯坦凝聚體中孤子的研究表明，種內(nèi)和種間相互作用強(qiáng)度滿足一定的條件時，會形成不同的矢量孤子解.通過數(shù)值模擬方法，調(diào)節(jié)相互作用強(qiáng)度，對所形成的亮－亮孤子、亮－暗孤子和暗－暗孤子在弱囚禁勢中進(jìn)行動力學(xué)演化，結(jié)果顯示亮－亮孤子和亮－暗孤子是穩(wěn)定的，而暗－暗孤子很不穩(wěn)定.此外，當(dāng)改變組分間相互作用強(qiáng)度時，亮、暗孤子之間可以相互轉(zhuǎn)換.這對進(jìn)一步研究矢量孤子在多種類BEC中的性質(zhì)有重要的意義.

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Dynamic Properties of Vector Solitons in Two－species Bose－Einstein Condensates

ZHOU Yan－zhen，ZHANG Su－ying
（InstituteofTheoreticalPhysics，ShanxiUniversity，Taiyuan030006，China）

We discuss the dynamic properties of the vector solitons of two－species Bose－Einstein condensates in weak trapping potential by numerically solving its corresponding equations of motion.The results show that under some condition，different intraspecies and interspecies interaction coefficients result in different types of vector solitons，such as bright－bright，bright－dark and dark－dark vector solitons.Moreover，the bright－bright and bright－dark vector soliton are dynamically stable，while the dark－dark vector soliton is dynamically unstable.In addition，the different types of vector solitons can be transformed by tuning the interspecies interaction via Feshbach resonance.

two－species Bose－Einstein condensates；vector soliton；stability

O469

A

2011－09－27；

2012－02－24

國家自然科學(xué)基金（10972125）；高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金（20111401110004）；山西省自然科學(xué)基金（2010011001－2）；山西省留學(xué)回國人員科研基金

周艷珍（1988－），女，山西忻州人，研究方向：凝聚態(tài)物理.E－mail：Zhouyanzhen1988＠163.com.＊張素英（1967－），女，山西人，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：數(shù)學(xué)物理、計標(biāo)物理.E－mail：zhangsu＠sxu.edu.cn

0253－2395（2012）04－0664－05

book=668,ebook=358