楊國平

(紹興市第一中學(xué) 浙江 紹興 312000)

極值問題又叫最值問題，對(duì)應(yīng)于物理變化過程中出現(xiàn)的一種特殊狀態(tài)(題意中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“最大”、“最小”、“至少”等字眼).極值類問題常作為競賽和高考中的難題，為命題者所青睞.就解題的策略而言，通常有數(shù)學(xué)和物理兩種途徑.

1 極值問題的數(shù)學(xué)解法

粗淺地說，解極值問題的過程可分為兩步:一是建立模型;二是根據(jù)題給條件和相關(guān)物理規(guī)律，把待求量表述為某種數(shù)學(xué)形式(如一元二次方程)，然后利用數(shù)學(xué)手段求解.常涉及到的知識(shí)點(diǎn)有以下三個(gè).

1.1 二次函數(shù)y = ax2 +bx+c的性質(zhì)

(1)配方法

a> 0時(shí)y有最小值;

a< 0時(shí)y有最大值.

【例1】 圖1所示為一定質(zhì)量理想氣體的狀態(tài)變化圖，在狀態(tài)A時(shí)的溫度為300 K.求氣體從狀態(tài)A沿直線變化到狀態(tài)B的過程中，能達(dá)到的最高溫度.

圖1

解析:由理想氣體狀態(tài)方程知，氣體由狀態(tài)A變化到待求狀態(tài)的過程中，有

(1)

又直線AB的數(shù)值方程為

p= 4 - 0.5V

(2)

代入得

T= -25V2+200V= -25(V- 4)2+ 400

當(dāng)V= 4時(shí),Tmax= 400，所以最高溫度為400 K .

(2)Δ判別法

要x有解，須有Δ =b2- 4ac≥ 0，從中能得到關(guān)于某一物理量的極值.

【例2】 在水平地面上方10 m高處，以20 m/s的初速度沿斜上方拋出一物體.不計(jì)空氣阻力，g取10 m/s2,求物體的最大射程.

圖2

解析:以拋出點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系xOy，如圖2所示.設(shè)v0與x軸的夾角為θ，飛行時(shí)間為t，有

x=v0cosθ·t

(1)

(2)

聯(lián)立式(1)、(2)消去參數(shù)t，得軌跡方程

代入數(shù)據(jù)有

要使tanθ有解，據(jù)Δ ≥ 0 解得

x2≤2 400 m2

1.2 三角函數(shù)的有界性

利用三角函數(shù)sinθ,cosθ的有界性(最大值為1)，可求出三角函數(shù)的極值以及對(duì)應(yīng)的θ角.通過和差化積、積化和差等手段，最后常常會(huì)出現(xiàn)形如

等結(jié)果，這樣就能確定y的最值.

【例3】 如圖3所示，木塊和水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，力F斜向上拉木塊在水平面上勻速前進(jìn).求F和水平方向的夾角為多少時(shí)最省力.

圖3

解析：據(jù)圖3，有

∑Fx= 0 ∑Fy= 0

則Fcosα-f=0

(1)

f=μN(yùn)

(2)

N+Fsinα-mg=0

(3)

聯(lián)立式(1)、(2)、(3)得

因

其中

故當(dāng)tanα=μ,即α=arctanμ時(shí)

1.3 基本不等式的性質(zhì)

若變量a>0，b>0，c>0，則有

當(dāng)且僅當(dāng)a=b(=c)時(shí)等號(hào)成立.特別值得一提的是，物理極值類問題中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)y=sinθcos2θ的結(jié)果.令

因?yàn)?/p>

即和是定值，則當(dāng)

y有極大值.

【例4】 電容式電壓計(jì)是空氣平行板電容器.一個(gè)極板固定不動(dòng)，另一個(gè)極板可以垂直板面方向平動(dòng)，如圖4所示.極板面積為S.當(dāng)電壓為零時(shí)兩極板間距為d.勁度系數(shù)為κ′的彈簧固定在可動(dòng)極板上.此儀器可以測量的最大電壓是多少？

圖4

分析：在兩極板加一電壓U后，所帶電荷量Q=CU.兩板因帶異種電荷而相互吸引，使得指針右移，同時(shí)改變了電容量，吸引力又得微調(diào)……因此，解該題先要找到力與極板間距之間的關(guān)系.

解析:令電壓U=0時(shí)，x=0.當(dāng)電壓為U時(shí),極板之間吸引力為F，當(dāng)極板間距變化Δx后，板間電場能變化為

利用虛功原理

解得

帶電后，左板偏離了x，當(dāng)彈簧彈力與吸引力平衡后，有

則

令

y=x(d-x)2=

2 極值問題的物理解法

利用數(shù)學(xué)知識(shí)求解極值問題，是最常用,也是最自然的方法.但把物理問題過分?jǐn)?shù)學(xué)化，有時(shí)甚至?xí)兂梢婚L串?dāng)?shù)學(xué)式子而掩蓋了問題的物理本質(zhì).很多情況下我們可以根據(jù)物理概念和規(guī)律進(jìn)行分析，明確題中物理量在什么條件下取極值，或出現(xiàn)極值時(shí)有何特征，然后根據(jù)這些條件或特征來尋找極值.

2.1 物理量及其變化率

2.2 作為物理知識(shí)儲(chǔ)備的條件可直接調(diào)用

例如，涉及兩個(gè)物體的追及問題，當(dāng)速度相等時(shí)，兩者間距離出現(xiàn)極值(極大或極小);或在完全非彈性碰撞中系統(tǒng)動(dòng)能損失ΔEk有最大值；在運(yùn)動(dòng)學(xué)極值問題中，還可借助光學(xué)中的費(fèi)馬原理，甚至借用等時(shí)弦的結(jié)論；在電路中電源輸出功率最大的條件是r=R外，引入等效電源模型可使其應(yīng)用范圍大大拓展；在采用力、速度等矢量圖解法時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)垂線段最短的情況.試舉兩例如下.

【例5】小球從離地面高h(yuǎn)處以初速度v0與水平方向成θ角斜向上拋出，在空中運(yùn)動(dòng)軌跡是一條拋物線.問小球水平最大射程是多少？

解析：斜拋運(yùn)動(dòng)也可看成是初速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和自由落體運(yùn)動(dòng)的合成.由此作出速度矢量圖，在圖5中，由機(jī)械能守恒可知

其大小是不變的.注意到水平射程

由圖5可知，該矢量三角形的面積為

又可表示為

則水平射程

圖5

【例6】在例3中，物體受重力mg，彈力N，摩擦力f和拉力F四個(gè)力作用.將f和N合成為一個(gè)全反力R，如圖6，它與豎直方向的夾角為φ，則

因此這個(gè)力的方向是不變的.摩擦角

φ=arctanμ

這樣木塊就可視為受重力mg，全反力R，拉力F三個(gè)力作用.因合力為零，所以mg，F(xiàn)，R組成封閉的矢量三角形，其中mg恒定，R的大小不定，方向定.在力矢量三角形中，當(dāng)F垂直于R(即F與水平方向的夾角α=φ=arctanμ)時(shí)

圖6