夏亞春

(江蘇省東臺(tái)中學(xué) 江蘇 鹽城 224200)

1 根據(jù)點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式應(yīng)用微積分解之

圖1

為了求其表面的場(chǎng)強(qiáng)，可以將球殼分成“微元”球帶，如圖1所示．球帶上某一小微元AB在球面上P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向如圖1中dE′所示，由對(duì)稱性可知，整個(gè)球帶在的P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)矢量合成的結(jié)果沿z軸方向．

則整個(gè)球面上的電荷在該處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為

2 緊扣孤立電容器模型巧用功能關(guān)系

設(shè)均勻帶電球殼的半徑為R，所帶的電荷量為Q，取無窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，則球面上的電勢(shì)為

(1)

均勻帶電球殼的電容為

(2)

該電容器的靜電能為

(3)

若將該球殼的半徑由R增加到(R+Δr)，其中Δr為無窮小量，則電勢(shì)能的減少量為

(4)

在移動(dòng)無窮小量Δr的過程中，可以認(rèn)為球面上的場(chǎng)強(qiáng)大小不變．由對(duì)稱性可知均勻帶電球殼表面的場(chǎng)強(qiáng)方向均沿半徑方向，且各處場(chǎng)強(qiáng)的大小相等．因此在該微元過程中，電場(chǎng)力做的功為

W=EQΔr

(5)

由功能關(guān)系可知

W=Δε減

(6)

由式(4)～(6)可得

忽略無窮小量Δr，可得

3 運(yùn)用疊加原理滲入極限思想

如圖2所示，在球面上取一個(gè)以P點(diǎn)為圓心的圓形小面元，該小面元的半徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于球的半徑，則該小面元可以看成平面．在小面元的內(nèi)外兩側(cè)取無限逼近P點(diǎn)且關(guān)于P點(diǎn)對(duì)稱的A，B兩點(diǎn)，A，P，B三點(diǎn)在球殼的同一條半徑上，則對(duì)A，P，B三點(diǎn)來講，小面元又可看成無限大平面．

A，P，B三點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)均是由小面元上的電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)和小面元以外的電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)疊加而成的．由于三點(diǎn)無限接近，所以球殼上小面元以外的電荷在A，P，B三點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)相等，由對(duì)稱性易知方向均沿半徑向外，設(shè)其大小為E其余．

圖2

由于對(duì)A，P，B三點(diǎn)來講，小面元可看成無限大平面，因而小面元在A，B兩點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向相反，在A處場(chǎng)強(qiáng)方向指向圓心，在B處場(chǎng)強(qiáng)方向沿半徑向外，設(shè)其大小為E小面元．又由于P點(diǎn)是小面元的正中心，所以小面元在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為零．

由高斯定理可知，A點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)EA=0，綜上所述則有E小面元=E其余．同樣根據(jù)高斯定理易知B點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)為

解之得

由于小面元在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為零，即

以上討論提醒我們?cè)谖锢斫虒W(xué)和物理學(xué)習(xí)中絕不能憑主觀感覺妄下結(jié)論，要善于建立準(zhǔn)確巧妙的物理模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)和物理方法進(jìn)行嚴(yán)密的推理和運(yùn)算，這樣得出的結(jié)論才是可靠的．而如何建立物理模型和建立怎樣的物理模型正是物理思想的重要體現(xiàn)，是物理能力的核心所在，是學(xué)生學(xué)習(xí)和研究物理所必需的重要素質(zhì)．