荀 坤，張朝暉，劉樹新，陳曉林

（北京大學(xué)物理學(xué)院，北京100871）

1 引 言

第42屆國(guó)際物理奧林匹克競(jìng)賽于2011年7月10日至7月18日在泰國(guó)首都曼谷市舉行，代表中國(guó)參賽的5名中學(xué)生全部都獲得了金牌，其中李藍(lán)青同學(xué)獲總分第5名和理論滿分.

本屆競(jìng)賽的2道實(shí)驗(yàn)題都是黑盒子型，分別是“電學(xué)黑盒子——電容式位移傳感器”和“力學(xué)黑盒子——1個(gè)內(nèi)含小球的圓筒”.我們將盡可能展現(xiàn)試題原貌，利用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)給出解答.

2 試 題

2.1 試題1：電學(xué)黑盒子——電容式位移傳感器

振蕩頻率為f的弛張振蕩器含有1個(gè)電容為C的電容器，f與C的關(guān)系如下

其中：a是常量，CS是電路的雜散電容，頻率f可用數(shù)字頻率計(jì)測(cè)量.

待測(cè)電學(xué)黑盒子是平板電容器.它由上下2個(gè)極板構(gòu)成，下極板固定不動(dòng)，上極板可沿1個(gè)方向滑動(dòng).2個(gè)極板之間有介電材料隔開.每個(gè)極板都是梳狀結(jié)構(gòu)，每個(gè)梳齒的形狀都相同.滑動(dòng)上極板就可以改變黑盒子的電容值.

實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示，1個(gè)弛張振蕩器，1個(gè)含頻率計(jì)的數(shù)字萬(wàn)用表，1套已知電容值的電容，1個(gè)電學(xué)黑盒子（平板電容器）和1節(jié)電池，其中定標(biāo)用電容器的標(biāo)稱電容值參見表1.

圖1 試題1的實(shí)驗(yàn)裝置圖

表1 定標(biāo)用電容器的標(biāo)稱電容值

2.1.1 定標(biāo)（3.0分）

采用不同已知電容值的電容器，測(cè)量振蕩電路的振蕩頻率f.通過恰當(dāng)作圖，求出a和CS的數(shù)值.不要求做誤差分析.

2.1.2 確定平板電容器的幾何形狀（6.0分）

黑盒子內(nèi)電容極板有3種可能的幾何形狀，如圖2所示.

針對(duì)每種可能的幾何形狀，定性繪出電容C隨上極板位置變化的預(yù)期曲線.然后，測(cè)量f與上極板位置的關(guān)系，繪出相應(yīng)的曲線，并由此推出平板電容器的平板形狀和尺寸（即求出b和w的值）.已知上、下極板之間的距離d＝0.20mm.兩極板之間介質(zhì)層的相對(duì)電容率為εr＝1.5.真空電容率為ε0＝8.85×10－12F·m－1.不要求做誤差分析.

圖2 平板電容器電極可能的幾何形狀的俯視圖

2.1.3 數(shù)字卡尺的分辨率（1.0分）

2個(gè)極板之間的相對(duì)位置變化時(shí)，電容器的電容值隨之變化.依此原理可以制造數(shù)字卡尺.如果本實(shí)驗(yàn)中的平行板電容器被用作數(shù)字卡尺，請(qǐng)由第2部分的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)該卡尺的分辨率：即對(duì)f≈5kHz，求出可以分辨的最小距離.對(duì)最終的結(jié)果不需要做誤差估計(jì).

2.2 試題2：力學(xué)黑盒子——1個(gè)內(nèi)含小球的圓筒

1個(gè)圓筒，質(zhì)量為M，在與其一端距離z處固定有一質(zhì)量為m的小球.垂直其中軸線鉆有一系列用于支承圓筒在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)的小孔，如圖3所示.

試通過必要的無(wú)損測(cè)量確定下列各量的數(shù)值并估計(jì)它們的誤差：

圖3 試題2實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

i.含小球圓筒的質(zhì)心位置，需給出實(shí)驗(yàn)方案示意圖.（1.0分）

ii.距離z.（3.5分）

iv.重力加速度g.（2.0分）

實(shí)驗(yàn)裝置如圖4所示：1個(gè)內(nèi)含小球的圓筒，1個(gè)帶有細(xì)針的基板，1個(gè)針帽，1把直尺，1個(gè)停表，1段細(xì)線，1支鉛筆和1卷膠帶.圖3中xC是圓筒頂端到質(zhì)心的距離，R是轉(zhuǎn)軸到質(zhì)心的距離.

圖4 試題2實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物圖

提示：

1）對(duì)于該物理擺（即復(fù)擺），[（M＋m）R2＋這里IC是上述含小球圓筒相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，θ是角位移.

2）長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為M的圓筒，繞經(jīng)過質(zhì)心且垂直于圓筒中軸線的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可近似表示為

3）平行軸定理為I＝IC＋Mx2，這里x是轉(zhuǎn)軸到質(zhì)心的距離，M是物體的總質(zhì)量.

4）球可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)處理，位于圓筒中軸線上.

5）圓筒質(zhì)量分布均勻，兩端封帽的質(zhì)量可忽略不計(jì).

3 試題解答

3.1 試題1解答

3.1.1 校準(zhǔn)

將式（1）寫成：

表2 弛張振蕩器頻率與電容的關(guān)系

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：采用了2個(gè)電容并聯(lián)得0.4分；至少有1個(gè)電容值超151pF得0.4分；畫出－C

圖5 －C校準(zhǔn)曲線

3.1.2 決定平板電容器的幾何形狀

經(jīng)簡(jiǎn)單分析即可得到不同圖案的平板電容器的電容量與上極板位置的關(guān)系，如圖6所示.

圖6滿分為1.4分.對(duì)圖案1，要求周期為2w（0.1分），電容隨上極板位置要線性上升或下降（0.3分）.對(duì)圖案2，要求周期為2w（0.1分），峰形為拋物線型（0.2分），若峰畫成尖的或類似高斯型可給0.1分，空白區(qū)（w～2w間）可畫成平的或略微下降或升高（與相鄰峰的升降一致），后續(xù)的空白區(qū)高度亦可以比前一空白區(qū)略微下降或升高（與相鄰峰的升降一致）（0.2分）.對(duì)圖案3，要求峰區(qū)寬度為w，總周期為3w（0.2分）.對(duì)所有圖案都要求峰值高度要依上極板位置坐標(biāo)的取法而逐漸下降或上升（0.2分）.

圖6 不同圖案的平板電容C與上極板位置D的關(guān)系

將待測(cè)電學(xué)黑盒子作為電容接入弛張振蕩器，測(cè)量不同上極板位置下的弛張振蕩器振蕩頻率f并由此算出對(duì)應(yīng)的電容值，結(jié)果見表3.這里將上極板能拉出的極限位置取為位置零點(diǎn).由表3可畫出電容與上極板位置的關(guān)系，見圖7.

圖7 電容值與上極板位置的關(guān)系

表3 上極板位置與電容的關(guān)系

圖7中電容極小位置對(duì)應(yīng)上下極板完全沒有交疊時(shí)的情況，此時(shí)仍然存在分布電容，且分布電容隨上極板被推入而增加.

對(duì)比圖7與圖6可以得出結(jié)論：黑盒子內(nèi)電極的形狀應(yīng)與圖案1的相同.根據(jù)曲線的周期，可以定出參量w＝5.0mm.從表3中（或從圖上）可以讀出5個(gè)電容極大點(diǎn)的值，記入表4.

表4 電容的峰值

由表4作圖或用線性擬合的方法可以得到每對(duì)齒片構(gòu)成的電容值為ΔC＝19.2pF.根據(jù)平板電容公式

將εr，ε0和d的值代入，并注意單一齒片的面積A＝wb，可算出：b＝58mm.

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)對(duì)物理概念、實(shí)驗(yàn)技能和測(cè)量結(jié)果的精度和質(zhì)量都有要求.

根據(jù)學(xué)生是否知道式（3）、是否知道圖6～7中相鄰電容峰值差ΔC代表1對(duì)齒片疊合時(shí)的電容和是否知道由ΔC來(lái)求b，要么給1.5分，要么給零分.

表3的數(shù)據(jù)部分占0.4分，單位占0.2分.圖的水平和豎直范圍均要覆蓋圖紙相應(yīng)寬度的一半以上（各0.1分），水平和豎直軸單位要正確（0.1分），數(shù)據(jù)點(diǎn)標(biāo)記要正確（0.2分）.

圖7中如含有5個(gè)或5個(gè)以上峰得0.5分，含3～4個(gè)峰得0.3分，低于3個(gè)峰不得分.上極板位置測(cè)量間距取1mm得0.4分，2mm得0.2分，大于2.5mm不得分.

由圖7求ΔC時(shí)，如果僅用相鄰2個(gè)峰值差，得0.1分；僅用首尾2個(gè)峰差，得0.3分；或用到3個(gè)以上的峰差平均值，得0.3分；由4個(gè)以上的點(diǎn)用直線擬合的方法，得滿分0.5分.盡管按電容谷值差來(lái)求ΔC是錯(cuò)誤的，但依然按上面的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分.

w的測(cè)量值在4.90～5.10間得0.3分，超出此范圍不得分.b的值在50～80mm間得0.2分，超出此范圍不得分.結(jié)果單位錯(cuò)漏和有效數(shù)字超過3位各扣0.1分.

3.1.3 數(shù)字卡尺的分辨率

由表3可知，f≈5kHz對(duì)應(yīng)著多個(gè)上極板位置.欲求可以分辨的最小距離，應(yīng)該取頻率隨上極板位置變化最陡峭的位置來(lái)考察.根據(jù)表3的數(shù)據(jù)，上極板位置取36.2mm或41.5mm附近均可.取34.0～38.0mm間5個(gè)點(diǎn)作C－x線性擬合，可得斜率為γ＝17.1pF／mm.由式（2）和頻率計(jì)的分辨率Δf＝0.01kHz，可得

雖然不是太嚴(yán)格，但可接受的另一種方法是：使上極板位于36mm附近，輕微改變上極板位置，測(cè)量振蕩頻率的改變，再由頻率分辨率求出位置分辨率.由位置改變2mm頻率變化1.33kHz以及頻率分辨率為0.01kHz，可推得

如理解電容C與上極板位置間有線性關(guān)系得0.3分.Δf取值在0.01～0.05kHz間得0.1分.得到圖7中適當(dāng)區(qū)域電容或頻率與上極板位置線性擬合的斜率得0.3分.卡尺分辨率的最后結(jié)果落在（1.5～1.8mm／kHz）Δf內(nèi)得0.3分；落在（1.0～1.4mm／kHz）Δf或（1.9～2.2mm／kHz）Δf得0.1分；其他值不得分.結(jié)果的單位有錯(cuò)漏和有效數(shù)字多于3位各扣0.1分.

3.2 試題2解答

3.2.1 xC的測(cè)量

可直接用直尺單次測(cè)量測(cè)得：L＝（30.0±0.1）cm.

將圓筒用細(xì)線吊起或用一刃狀物（如基板端的針或1個(gè)棱）托起，仔細(xì)調(diào)整懸掛或支承點(diǎn)位置使圓筒處于水平狀態(tài).此時(shí)的懸掛點(diǎn)或支承點(diǎn)就對(duì)應(yīng)質(zhì)心位置.多次測(cè)量出此點(diǎn)距圓筒一端的距離，并做統(tǒng)計(jì)分析可得xC＝（17.8±0.1）cm.

用圖示意出測(cè)量方法可以得0.4分.測(cè)量次數(shù)大于3次得0.2分.測(cè)量值與標(biāo)準(zhǔn)值差別在0.2cm內(nèi)得0.2分，由多次測(cè)量得到的不確定度在0.3cm內(nèi)得0.2分，用單次測(cè)量得到不確定度在0.1～0.2cm間得0.1分.

3.2.2 其他參量的測(cè)量

題目并未給出圓筒的直徑，意味著可將圓筒視為細(xì)桿.根據(jù)質(zhì)心定義有

如以O(shè)為支點(diǎn)，讓圓筒豎直作小角擺動(dòng)（復(fù)擺），則擺角θ滿足運(yùn)動(dòng)方程

其中，

為整個(gè)圓筒相對(duì)過質(zhì)心垂直于中軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

式（7）是一簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程，其周期為

式（9）亦可寫為

用膠帶紙將基板固定在桌子邊沿，使細(xì)針伸出桌沿.依次將圓筒上的不同小孔插入細(xì)針，測(cè)量其擺動(dòng)周期.將擺動(dòng)周期T和小孔距圓筒一端的距離xC－R記入表5中.

表5 圓筒擺動(dòng)周期T的測(cè)量數(shù)據(jù)

圖8給出了由表5中數(shù)據(jù)得到的T2R－R2關(guān)系圖.

圖8 T2 R－R2關(guān)系圖

對(duì)圖8作線性擬合得到了相關(guān)系數(shù)r＝0.999 83，截距α＝（3.10±0.05）s2·cm和斜率β＝（0.041 4±0.000 7）s2·cm－1，截距和斜率的誤差由相關(guān)系數(shù)算出.由此可得：

聯(lián)立式（6），（8）和（12）可解得

由此可解得

再由式（14）和（6）可得

其中的誤差由各方程中系數(shù)的變化范圍用數(shù)值方法求得.

評(píng)分要考慮物理概念、實(shí)驗(yàn)技能和測(cè)量精度3個(gè)方面.物理概念方面的得分點(diǎn)，要么給滿分，要么不給分.其中，給出擺動(dòng)頻率或周期的表達(dá)式得0.4分，給出能通過作圖獲得所需參量的直線方程得1.0分，給出相對(duì)于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量式（8）得0.4分，給出式（6）得0.4分.實(shí)驗(yàn)技能方面：測(cè)量表格包含T和R的內(nèi)容各得0.2分，單位正確得0.2分；圖線在橫軸和縱軸方向均能覆蓋圖紙一半以上的區(qū)域得0.3分，不能則不得分.正確和部分正確地畫出實(shí)驗(yàn)點(diǎn)分別得0.4分和0.2分，單位正確得0.3分.單次測(cè)量周期≥10個(gè)得0.5分，≥7個(gè)得0.3分，＜7個(gè)周期不得分；對(duì)每個(gè)轉(zhuǎn)軸位置測(cè)量次數(shù)≥3次得0.3分，＝2次得0.1分，只測(cè)1次得0分.轉(zhuǎn)軸位置的個(gè)數(shù)≥10得0.5分，≥8得0.4分，≥5得0.3分，＜5不得分.給出能求出z和M／m的2個(gè)方程得0.2分，由2個(gè)方程求出z和M／m得0.2分.實(shí)驗(yàn)精度方面：g的值在9.68～9.88m／s2間得0.6分，在9.58～9.67m／s2或9.89～9.98m／s2間得0.3分.z的值在25.9～26.2cm間得0.6分，在25.5～25.8cm或26.3～26.6cm間得0.3分.M／m的值在2.6～2.8之間得0.6分，在2.5～2.59或2.81～2.9之間得0.3分.g，z和M／m的誤差估計(jì)方法合理各得0.2分，相應(yīng)前驅(qū)誤差（precursor errors）估計(jì)方法合理各得0.1分.Δz≤0.4cm或Δ（M／m）≤0.15即得0.4分，否則此項(xiàng)不得分.

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)對(duì)測(cè)量精度的要求顯然是太高了，就連賽會(huì)所提供的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)在許多項(xiàng)上也都達(dá)不到要求.

4 結(jié)束語(yǔ)

本次競(jìng)賽的考題在原理和實(shí)驗(yàn)線路上都沒有多少困難，但對(duì)實(shí)驗(yàn)細(xì)節(jié)，特別是測(cè)量的精度有較高要求，主要考察的是實(shí)驗(yàn)者的基本實(shí)驗(yàn)素養(yǎng)和技能.中國(guó)學(xué)生習(xí)慣上重物理內(nèi)容輕實(shí)驗(yàn)技能、重實(shí)驗(yàn)方法輕測(cè)量精度，所以在本次競(jìng)賽中實(shí)驗(yàn)成績(jī)并不理想.在第一題中，有4位中國(guó)學(xué)生都未能將所給電容并聯(lián)以得到更多和更大的電容值，并因此被扣了0.8分.第二題的結(jié)果更不理想，最高得分也僅有8.5分.其中一位同學(xué)的g，z和M／m的測(cè)量值和誤差全部在要求范圍之外，僅此，就被扣掉了2.5分.今后，還應(yīng)進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)中國(guó)學(xué)生實(shí)驗(yàn)素養(yǎng)和技能方面的培養(yǎng)和訓(xùn)練.

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