層狀粘彈性地基一維固結(jié)特性

劉加才，馬 強(qiáng)

（南京工業(yè)大學(xué) 交通學(xué)院，南京210009）

地基的固結(jié)問題一直是工程界和理論界關(guān)心的熱點(diǎn)問題之一。Terzaghi最早提出一維固結(jié)理論，為固結(jié)理論的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。近年來一維固結(jié)理論有了較大發(fā)展，可以考慮較為復(fù)雜的情況，如加載隨時(shí)間變化［1］、滲透力對土體固結(jié)的影響［2］、土體非飽和［3］、有限應(yīng)變［4］、土體材料非線性［5］、非達(dá)西滲流［6］。軟粘土具有粘彈性，地基土層通常具有成層性。一些學(xué)者將Terzaghi固結(jié)理論推廣到成層地基情況，如 Xie等［7］、Lee等［8］。另外一些學(xué)者考慮土體的黏滯性，研究了土體的一維固結(jié)問題，如趙維炳［9］、Hawlader等［10］、Li等［11］、Xie等［12］。由于問題的復(fù)雜性，同時(shí)考慮土體的成層性和黏滯性的文獻(xiàn)并不多見。Cai等［13］基于Kelvin流變模型，運(yùn)用Laplace變換、矩陣傳遞法以及Laplace變換求解了任意荷載下成層粘彈性地基一維變形問題。Kelvin流變模型可以反映彈性后效，卻不能反映應(yīng)力松弛。為了全面反映土體的粘彈性質(zhì)，劉加才等［14］提出了基于廣義Voigt流變模型的雙層黏彈性地基求解方法，但求解過程較為復(fù)雜，不利于工程應(yīng)用。本文采用巖土工程中應(yīng)用較廣的Merchant流變模型，提出了層狀黏彈性地基的一維固結(jié)有限元分析方法，并對其固結(jié)特性進(jìn)行了研究。

1 問題描述

1.1 計(jì)算簡圖

層狀粘彈性地基的一維固結(jié)問題如圖1所示。滿足如下基本假定：1）地基土層完全飽和；2）孔隙水和固體顆粒均不可壓縮；3）土體滲流滿足Darcy定律；4）壓縮和滲流僅發(fā)生在豎直方向；5）荷載為均布荷載，且瞬時(shí)施加；6）地基頂部為排水面，底部為不透水面；7）土體的粘彈性可采用 Merchant流變模型。圖中，E0i，E1i，η1i，為第i土層的 Merchant流變模型參數(shù)，kvi為第i土層的豎直向滲透系數(shù)。深度方向z坐標(biāo)向下為正，坐標(biāo)原點(diǎn)為第一層土體頂面。第i土層底面深度為hi。

圖1 層狀黏彈性地基一維固結(jié)簡圖

對于任一土層，滿足控制方程式（1）［9，14］。

式中：i＝1，2，…，n為土層編號(hào)；ui為第i土層的超靜孔壓；δi為第i土層的Merchant流變模型柔度函數(shù)，如式（2）所示。

1.2 初始條件

由于荷載為均布荷載，且瞬時(shí)施加，任一深度處孔壓初始時(shí)刻均為q，如式（3）所示。

1.3 邊界條件

地基頂面排水，底面不透水，如式（4）、（5）所示：

2 有限元求解及解答有效性驗(yàn)證

2.1 有限元求解

將地基沿固結(jié)方向劃分為若干2節(jié)點(diǎn)單元，節(jié)點(diǎn)作為每個(gè)單元的邊界，土層的分界線作為單元的節(jié)點(diǎn)?？讐涸趩卧暇€性變化，可用式（6）表示。

式中：um、um＋1分別代表節(jié)點(diǎn)m和節(jié)點(diǎn)m＋1處的超靜孔壓值；N1和N2為形函數(shù)，如式（7）所示。

式中：zm、zm＋1分別代表節(jié)點(diǎn)m和節(jié)點(diǎn)m＋1處的坐標(biāo)值。

將式（2）和式（6）代入式（1），并利用Galerkin加權(quán)殘值方法，可得矩陣方程式（8）。

將時(shí)間分段，在時(shí)間段tj到tj＋1上孔壓均為變量，對時(shí)間變量進(jìn)行線性插值，式（8）可整理為式（9）。

令θ＝1／2，即采用 Crank－Nicolson方法［15］，式（9）可整理為矩陣式（10）。

式（10）為每個(gè)單元的矩陣方程，采用常規(guī)的有限元總矩陣組裝方法［15］，形成總的矩陣方程如式（11）所示，從而進(jìn)一步求解。

在形成總體矩陣后，由于第1個(gè)節(jié)點(diǎn)為排水節(jié)點(diǎn)，超靜孔壓為0。為方便程序編制，不改變總矩陣的行數(shù)和列數(shù)，令總矩陣第1行、第1列數(shù)加上很大的數(shù)，如1015，而方程的右端第一行設(shè)置為0。最后1個(gè)節(jié)點(diǎn)，其外部流量為0，不需做任何特殊處理，在有限元單元矩陣推導(dǎo)過程中已默認(rèn)為無流量邊界。為了便于工程應(yīng)用，采用Fortran語言將上述有限元求解方法編制成應(yīng)用程序。

2.2 解答有效性驗(yàn)證

若本文研究的層狀黏彈性地基僅有一層，即可簡化為單層黏彈性地基一維固結(jié)問題。若令Merchant流變模型ηi＝0，即為層狀線彈性地基一維固結(jié)問題。單層黏彈性地基和雙層線彈性地基是本文研究問題的2種特殊情況，其解析解答已分別被趙維炳［9］和Xie等［12］推導(dǎo)獲得。為了驗(yàn)證本文求解方法和程序編制的正確性，采用本文程序分別對單層黏彈性地基的固結(jié)問題和雙層線彈性地基固結(jié)進(jìn)行求解，并與已有精確解析解進(jìn)行對比分析。

單層黏彈性土層厚度為10m，滲透系數(shù)kv＝2×10－9m／s，Merchant流變模型E0＝2MPa，E1＝5MPa，η1＝2×10－8s－1。將土層 劃分為 20 個(gè)0.5m等長單元，共計(jì)21個(gè)節(jié)點(diǎn)，時(shí)間間隔取為1d。圖2為100、500、2 000d時(shí)，本文有限元方法與解析解在不同深度處土體固結(jié)度比較情況。

圖2 單層黏彈性地基有限元解與解析解比較

雙層線彈性土層厚度為10m，第1層土層厚度為3m，滲透系數(shù)kv＝1×10－8m／s，壓縮模量Es＝5MPa，第2層土層厚度為7m，滲透系數(shù)kv＝2×10－9m／s，壓縮模量Es＝2MPa。將土層劃分為20個(gè)0.5m等長單元，共計(jì)21個(gè)節(jié)點(diǎn)，時(shí)間間隔取為1d。圖3為100d，500d以及1 000d時(shí)，本文有限元方法與解析解在不同深度處土體固結(jié)度比較情況。

圖3 雙層線彈性地基有限元解與解析解比較

從以上2個(gè)算例的比較情況，可以看出，本文解答與解析解吻合較好，驗(yàn)證了本文求解方法的有效性和程序編制的正確性。

3 層狀黏彈性地基固結(jié)特性分析

利用本文有限元求解方法，對1個(gè)3層黏彈性地基的一維固結(jié)問題進(jìn)行研究，以揭示其固結(jié)規(guī)律。算例地基土層情況如表1所示：

表1 地基土層參數(shù)

圖4為考慮黏滯性和不考慮黏滯性時(shí)3層地基孔壓消散情況。從圖中可以看出，不管是黏彈性土體，還是線彈性土體，在土層的分界面處，孔壓消散會(huì)出現(xiàn)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。在時(shí)間為100d時(shí)，土體的黏滯性對孔壓消散的影響并不明顯；500d時(shí)，第3層土層底部固結(jié)度相差10.47%；1 000d時(shí)，第3層土層底部固結(jié)度相差14.38%。說明，隨著時(shí)間的增加，孔壓消散差別越來越明顯，粘滯性土體的孔壓消散滯后于線彈性土體。從圖中還可以看出，在同一時(shí)刻，土體埋深越大，即離排水面距離越遠(yuǎn)，黏彈性土體固結(jié)度越滯后于線彈性土體固結(jié)度。

圖4 考慮黏滯性與不考慮黏滯性地基孔壓消散比較

圖5 為土層2和土層3中心點(diǎn)處土體孔壓消散隨時(shí)間變化情況。從圖中可以看出，第2層土體黏滯性土體對孔壓消散的影響，約在2d左右；而第3層粘彈性對孔壓消散的影響約在50d左右。說明隨著土層離排水面距離越大，黏滯性對孔壓消散的影響也越滯后。不管是第2層土體，還是第3層土體，隨著時(shí)間的增加，黏滯性土體孔壓消散越來越落后于線彈性土體，到某一時(shí)刻后兩者差距達(dá)到最大值，再隨著時(shí)間的延長，差距又會(huì)越來越小。在線彈性土體固結(jié)度達(dá)到80%～90%時(shí)，黏彈性土體與線彈性土體固結(jié)固結(jié)度差異較大。

圖6為第2層土體黏滯性參數(shù)η1從1.0×10－7變化到0，該土層土體中心點(diǎn)處孔壓消散情況，從圖中可以看出，當(dāng)η1＝1.0×10－9時(shí)，與粘彈性土體與線彈性土體固結(jié)度差異較小，最大差異值為3%。η1越大，粘彈性土體與線彈性土體固結(jié)度差異越大，且對土體的固結(jié)度影響也越提前。

圖5 土體孔壓消散隨時(shí)間變化情況

圖6 流變參數(shù)η1對孔壓消散的影響

4 結(jié) 語

1）基于 Merchant流變模型，利用Galerkin加權(quán)殘值方法，推導(dǎo)了層狀黏彈性地基一維固結(jié)有限元矩陣方程，并給出了求解過程。采用Fortran語言將本文有限元求解方法編制成應(yīng)用程序。通過單層黏彈性地基和雙層線彈性地基一維固結(jié)問題本文有限元解答與解析解答的比較，驗(yàn)證了本文求解方法和程序的有效性。

2）對3層地基一維固結(jié)研究表明，在土層分界面處孔壓消散出現(xiàn)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。黏滯性土體孔壓消散要滯后于線彈性土體，且隨著時(shí)間的延長，兩者差異會(huì)越來越大。同一時(shí)刻，隨著土體離透水面距離的增大，黏滯性影響會(huì)越大。

3）土體的粘彈性對孔壓消散的影響時(shí)間與其離排水面距離有關(guān)，土層離排水面距離越大，黏滯性對孔壓消散的影響時(shí)間也越滯后。黏滯性土體與線彈性固結(jié)度差異呈現(xiàn)兩頭小中間大的特點(diǎn)。工程中常要求地基固結(jié)度達(dá)到80%～90%，而這一時(shí)間段內(nèi)考慮考慮土體的粘彈性和不考慮粘彈性固結(jié)度差異較大。因此，在實(shí)際工程中應(yīng)考慮土體粘彈性對孔壓消散的影響。

4）土體粘彈性參數(shù)η1越大，則孔壓消散越慢，與線彈性土體固結(jié)度差異越大。在實(shí)際工程若η1＜1.0×10－9s－1時(shí)，粘彈性土體與線彈性土體固結(jié)度差異在3%以內(nèi)，可以不考慮粘彈性對土體固結(jié)度的影響。

［1］Hsu T W，Lu S C.Behavior of one－dimensional consolidation under time－dependent loading［J］.Journal of Engineering Mechanics，2006，132（4）：457－462.

［2］Liu J C，Zhao W B，Zai J M.Research on seepage force influence on one－dimensional consolidation ［J］.Geotechnical Special Publication，2006，148：203－209.

［3］Qin A F，Chen G J，Tan Y W，et al.Analytical solution to one－dimensional consolidation in unsaturated soils［J］.Applied Mathematics and Mechanics，2008，29（10）：1329－1340.

［4］Morris P H.Analytical solutions of linear finite－and small－strain one－dimensional consolidation［J］.International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics，2005，29（2）：127－140.

［5］Yang L A，Tan T S.One－dimensional consolidation of lumpy clay with non－linear properties［J］.Geotechnique，2005，55（3）：227－235.

［6］鄂建，陳剛，孫愛榮.考慮低速非Darcy滲流的飽和黏性土一維固結(jié)分析［J］.巖土工程學(xué)報(bào)，2009，31（7）：1115－1119.E Jian，CHEN Gang，SUN Airong.One－dimensional consolidation of saturated cohesive soil considering［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2009，31（7）：1115－1119.

［7］Xie K H，Xie X Y，Jiang W.A study on one－dimensional nonlinear consolidation of double－layered soil ［J］.Computers and Geotechnics，2002，29（2）：151－168.

［8］Lee P K K，Xie K H，Cheung Y K.Study on onedimensional consolidation of layered systems［J］.International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics，1992，16（11）：815－831.

［9］趙維炳.廣義Voigt模型模擬的飽水土體一維固結(jié)理論及其應(yīng)用［J］.巖土工程學(xué)報(bào)，1989，11（5）：78－85.ZHAO Weibin.Theory of one－dimensional consolidation of saturated clays with generalized Voigt model and its applications［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，1989，11（5）：78－85.

［10］Hawlader B C，Muhunthan B，Imai G.Viscosity effects on one－dimensional consolidation of clay［J］.International Journal of Geomechanics，2003，3（1／2）：99－110.

［11］Li J Z，Peng F L，Xu L S.One－dimensional viscous behavior of clay and its constitutive modeling［J］.International Journal of Geomechanics，2009，9（2）：43－51.

［12］Xie K H，Xie X Y，Li X B.Analytical theory for onedimensional consolidation of clayey soils exhibiting rheological characteristics under time－dependent loading［J］.International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics，2008，32（14）：1833－1855.

［13］Cai Y Q，Xu C J，Yuan H M.One－dimensional consolidation of layered and viscoelastic solids under arbitrary loading ［J］.Applied Mathematics and Mechanics，2001，22（3）：307－313.

［14］劉加才，趙維炳，宰金珉，等.雙層黏彈性地基一維固結(jié)分析［J］.巖土力學(xué)，2007，28（4）：743－746，752.LIU Jiacai，ZHAO Weibing，ZAI Jinmin，et al.Analysis of one－dimensional consolidation of double－layered viscoelastic ground［J］.Rock and Soil Mechanics，2007，28（4）：743－746，752.

［15］Thomas J W.Numerical partial differential equations：finite difference methods［M］.Beijing：Beijing World Publishing Corporation，1997.

［16］Smith J M，Griffiths D V.Programming the finite element method［M］.4th ed.New York：John Wiley Sons Ltd.，2004.