Neumann邊界條件下圖像復(fù)原的TSVD算法＊

楊陳波 黃小為 王 華

（武漢理工大學(xué)自動化學(xué)院1） 武漢 430070） （武漢理工大學(xué)理學(xué)院2） 武漢 430070）

（湖北省公安縣職業(yè)技術(shù)教育中心學(xué)校3） 荊州 434300）

數(shù)字圖像復(fù)原是圖像處理中的重要內(nèi)容，其目的是增強(qiáng)降質(zhì)模糊圖像的質(zhì)量．?dāng)?shù)字圖像復(fù)原問題是典型的不適定問題，模糊圖像即使帶有很小的噪聲也會導(dǎo)致復(fù)原圖像與原始圖像的巨大偏差．正則化方法是求解不適定問題的重要方法［1］．Kirsch用基于譜分析理論，通過引入正則化濾子函數(shù)構(gòu)造正則化算子，為正則化方法的建立和誤差分析提供了理論依據(jù)．然而這種譜理論的正則化方法在圖像復(fù)原問題中很少被采用，關(guān)鍵問題在于奇異系的計(jì)算較困難．人們通常求助于不需要計(jì)算奇異系的Tikhnov正則化方法和迭代正則化方法．但是，在Neumann邊界條件假設(shè)下，具有對稱點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的圖像復(fù)原問題可以轉(zhuǎn)化為解離散卷積問題，通過對離散卷積算子的性質(zhì)分析，其奇異系容易得到，因此本文考慮利用TSVD方法解決這一類問題，并給出相應(yīng)的算法．

1 Neumann邊界條件下圖像復(fù)原的TSVD算法

1.1 圖像降質(zhì)模型

由平移不變模糊函數(shù)和噪聲所導(dǎo)致的圖像降質(zhì)離散模型可表示為

式中：f為M×N的原始圖像；g＝g0＋r為帶有噪聲的模糊圖像，而g0是由成像系統(tǒng)導(dǎo)致的模糊圖像，r為噪聲；i＝m，…，M－m＋1；j＝n，…，N－n＋1．大小為（2m－1）×（2n－1）的h（s，t）表示成像系統(tǒng)的二維點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（PSF）．圖像復(fù)原問題就是在給定點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h（s，t）的條件下，將帶噪聲的模糊圖像復(fù)原［2－3］．

模糊圖像的形成不是只由圖像本身像素值確定，還必須對圖像外的像素值作出一些假設(shè)，這些假設(shè)稱為邊界條件．在圖像處理問題的研究中，有各種關(guān)于邊界條件的假設(shè)［4－8］．為了盡量減少圖像邊界處的振鈴現(xiàn)象［9］，文中假設(shè)原始圖像具有Neumann邊界條件．在本文中，還假定離散的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h∈R（2 M－2）×（2 N－2）是對稱的，即滿足

1.2 圖像復(fù)原問題轉(zhuǎn)化為解離散卷積問題

假設(shè)大小為M×N的原始圖像f具有Neumann邊界條件，對f作反射延拓得到大小為（2 M－2）×（2 N－2）的圖像F，即滿足

此時F與H的卷積滿足

于是問題（1）轉(zhuǎn)化為解卷積問題（3）．定義離散卷積算子TH：R（2M－2）×（2N－2）→R（2M－2）×（2N－2），

通過計(jì)算算子方程（5）的正則解，可得復(fù)原的圖像．

由式（4）定義的卷積算子TH是自伴的，即＝TH，而且關(guān)于奇異系還有如下結(jié)論．

1.3 TSVD圖像復(fù)原算法

設(shè)X，Y是實(shí)Hilbert空間，內(nèi)積為（·，·），模為‖·‖，T：X→Y是線性緊算子，考慮算子方程

在實(shí)際問題中，右端是近似已知的觀測結(jié)果，記為yε∈Y，y－yε≤ε（ε＞0為方程（6）右端的誤差上限）．因此考慮方程

對于TSVD正則解的誤差有如下結(jié)果：

由定理1的結(jié)果，可以確定卷積算子TH的奇異系，將其代入式（8）中計(jì)算出復(fù)原結(jié)果，按定理2中的方法選取正則參數(shù)，即截?cái)嗥娈愔担?/p>

2 圖像復(fù)原實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證圖像復(fù)原的TSVD算法的有效性，考慮散焦型模糊圖像的復(fù)原．原始圖像（Matlab中的cameraman圖像）被半徑為5的散焦型離散點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)模糊，所得模糊圖像大小為246×246，并帶有信噪比為50dB的高斯白噪聲（均值為0），復(fù)原實(shí)驗(yàn)由 MTLAB7．0實(shí)現(xiàn)．原始圖像，帶噪模糊圖像及復(fù)原圖像見圖1～3．

圖1 原始圖像

圖2 模糊加噪圖像

圖3 復(fù)原圖像

3 結(jié)束語

通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，本文提出的方法對具有對稱點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的模糊（含有噪聲）圖像復(fù)原有很好的效果，振鈴效應(yīng)大大減弱．雖然復(fù)原效果比沒有噪聲的圖像復(fù)原效果稍差，但實(shí)際問題中圖像通常含有噪聲，因此本文算法更具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值．圖像復(fù)原問題是大規(guī)模的不適定問題，通常的算法是基于Tikhnov正則化方法和迭代正則化方法給出的，但是在Tikhnov正則化算法中，正則參數(shù)需要大量的計(jì)算才能確定，而在迭代正則化算法中，雖然迭代參數(shù)即為迭代次數(shù)，正則參數(shù)容易確定，但是通常收斂非常緩慢，迭代次數(shù)相當(dāng)大，也導(dǎo)致較大的計(jì)算量．由于圖像復(fù)原問題在Neumann邊界條件下轉(zhuǎn)化為解循環(huán)卷積問題，其算子的奇異系容易得到，于是基于TSVD正則化方法的算法得以實(shí)現(xiàn)，其解的穩(wěn)定性依賴于為奇異值的截?cái)?，算法的?jì)算量大大減少．

［1］Engl H W，Hanke M，Neubauer A．Regularization of inverse problems［M］．Dordrecht：Kluwer，1996．

［2］Jain A K．Fundamentals of digital image processing［M］．Englewood Cliffs NJ：Prentice－Hall，1989．

［3］Lagendijk R L，Biemond J．Iterative identi－cation and restoration of images［M］．Norwell MA：Kluwer Academic Publishers，1991．

［4］Kirsch A．An introduction to the mathematical theory of inverse problems［M］．New York：Springer，1996．

［5］Gonzalez R，Woods R．Digital Image Processing［M］．Boston MA：Addison－Wesley，1992．

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［8］Shi Yuying，Chang Qianshun．Acceleration methods for image restoration problem with different boundary conditions［J］．Applied Numerical Mathematics，2008，58：602－614．

［9］Luk F，van Devoorde D．Reducing boundary distortion in image restoration［C］∥Advanced SignalProcessing Algorithms，Architectures and Implementations VI，Proceedings of SPIE 2296，1994．

［10］黃小為，吳傳生，李卓球．TSVD正則化方法的參數(shù)選取及數(shù)值計(jì)算［J］．華中師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，40（2）：154－157．