王 慧， 王斌君

(中國人民公安大學信息安全工程系，北京 100038)

0 引言

隨著社會信息化的進一步深入，網(wǎng)絡犯罪的發(fā)案率逐年急劇上升，為適應新形勢下公安工作的需要，網(wǎng)絡安全與執(zhí)法作為一新興公安專業(yè)，旨在培養(yǎng)與計算機網(wǎng)絡犯罪相關的應用型公安高級專門技術人才，在公安機關網(wǎng)絡保衛(wèi)執(zhí)法部門及相關領域從事預防網(wǎng)絡犯罪、控制網(wǎng)絡犯罪和處置網(wǎng)絡犯罪的工作。堅實的計算機基礎知識、軟件開發(fā)技術、網(wǎng)絡情報技術、計算機犯罪偵查取證技術和網(wǎng)絡監(jiān)察技術是該專業(yè)的必須。

離散數(shù)學作為計算機相關專業(yè)的通修課，其主要內(nèi)容包括數(shù)理邏輯、集合與關系、代數(shù)結構與布爾代數(shù)、圖論及有限推理與自動機五部分［1］，所研究的是離散對象的數(shù)據(jù)特點、數(shù)據(jù)表達方式、相互關系及數(shù)學分析方法等內(nèi)容［2］。該課程具有概念多、高度抽象、各章節(jié)之間邏輯聯(lián)系緊密、推理證明過程特殊等特點，一直是學生比較難于理解和掌握的課程。

網(wǎng)絡安全與執(zhí)法專業(yè)雖然屬于計算機相關專業(yè)，但是與純粹計算機科學與技術專業(yè)相比，其針對性應用性較強。離散數(shù)學作為該專業(yè)的專業(yè)基礎課，教學過程需要突出實用性，教學內(nèi)容與教學方法的選擇需體現(xiàn)專業(yè)特色，結合知識模塊及專業(yè)特點進行特色教學，充分培養(yǎng)學生學習自信、激發(fā)學習興趣、提高學習能力、拓展應用水平。

1 離散數(shù)學在網(wǎng)絡安全與執(zhí)法專業(yè)課程體系中的地位

離散數(shù)學是一門專業(yè)基礎課，但有別于高等數(shù)學等基礎數(shù)學學科，具有明顯的專業(yè)特征，在網(wǎng)絡安全與執(zhí)法專業(yè)的整個課程體系中與后續(xù)專業(yè)課程的教學有著極其緊密的聯(lián)系，教學內(nèi)容主要包括數(shù)理邏輯、集合與關系、代數(shù)系統(tǒng)及圖論四部分，有限推理與自動機理論不在大綱要求的范圍之內(nèi)，其每一部分內(nèi)容都關聯(lián)著若干專業(yè)課的教學，如圖1所示。

圖1 離散數(shù)學與專業(yè)課程間的關系

從圖1可以看出，離散數(shù)學課程具有典型的專業(yè)基礎特點，支撐著多門專業(yè)課程，學生對該課程的掌握程度直接影響著所承接專業(yè)課程的教學效果。

除此之外，離散數(shù)學又是應用廣泛的數(shù)學手段。數(shù)理邏輯在數(shù)學建模、計算機語義分析中的應用;集合與關系在粗糙集屬性約簡、數(shù)據(jù)挖掘過程中的應用;代數(shù)系統(tǒng)在信息安全密碼分析中的應用;圖論在信息查詢與檢索、指令優(yōu)化中的應用;都突出顯示了離散數(shù)學的數(shù)學工具特征。

總之，離散數(shù)學知識滲透在網(wǎng)絡與計算機相關技術的各個方面，在網(wǎng)絡安全與執(zhí)法專業(yè)的整個課程體系中占有突出重要的地位，如何提升教學效果對于該專業(yè)本科教學乃至研究生培養(yǎng)都具有突出意義。

2 離散數(shù)學的知識體系

根據(jù)網(wǎng)絡安全與執(zhí)法專業(yè)的本科培養(yǎng)方案，離散數(shù)學的講授內(nèi)容具體包括命題邏輯、一階邏輯、集合論、關系與函數(shù)、代數(shù)結構及圖論六部分，其中前一部分內(nèi)容是后一部分必要的前接，后一部分是前面內(nèi)容的進一步擴展，為改善離散數(shù)學課程的課堂教學效果，首先需要為學生理清知識體系內(nèi)各個模塊之間的遞進關系，各模塊間關系如圖2所示。

圖2 教學模塊間的銜接關系圖

離散數(shù)學的知識體系邏輯性與抽象性強［3］，各教學模塊間層層關聯(lián)，任何一部分的學習都無法擺脫前序內(nèi)容的基礎性鋪墊，模塊間層層遞進，是該課程最突出的特點，因此實際教學過程中講述清楚該課程的知識體系及各教學模塊的特點有利于學生對該課程的理解及掌握。

3 教學模式改革

在了解離散數(shù)學的專業(yè)地位及知識體系特點的基礎上，教學過程中需要向?qū)W生充分強調(diào)學習該課程的必要性，同時結合各教學模塊的特點進行特色教學，注重培養(yǎng)學生的抽象概括能力、邏輯推理判斷能力及嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度，同時結合教學案例及實驗設計激發(fā)學生的學習興趣。主要從以下幾方面結合教學內(nèi)容進行教學模式的改革。

1)引入案例教學，激發(fā)學習興趣

在整個知識體系中，數(shù)理邏輯、關系、圖論教學模塊中相關知識的實際應用性較強，因此在學生了解并掌握一定基礎知識之后，適當引入趣味性較強的案例展開討論，既可對知識點、計算方法進行擴展，又可以加深對知識點、方法的理解。

如在命題邏輯中，主范式的求取及判定是等價式的證明、推理有效性證明的方法之一。熟練掌握范式的概念及計算過程有助于推理過程、等價關系的算法設計。授課過程中可以通過下述案例滲透范式的相關知識，也可以通過該例題引入范式的概念，培養(yǎng)學生探索知識的興趣。

例:在某個案件審理過程中存在四個犯罪嫌疑人，分別為甲、乙、丙、丁，針對某一既定事實，四人只是分別作如下簡單回答:甲說:“不是我”，乙說:“是丁”，丙說:“是乙”，丁說:“不是我”，通過排查確知四人回答只有一人符合實際，問可能的嫌疑人是誰?

可以通過如下方式進行推論:

第一步:假設階段，設P:事件甲參與，Q:事件乙參與，R:事件丙參與，S:事件丁參與

第二步:依據(jù)四人回答只有一人符合實際的情況，列出如下公式:

第三步:求上式的主析取范式得出可能情況的組合，主析取范式為:

第四步:對上式進行分析，得出結論。

最可能的犯罪組合只能是:甲、丙、丁或甲、丁或甲、丙，若只有一人參與事件，則參與人是甲。針對上述分析，可以確認重點人物是甲。

上述例題也可以進一步擴展到范式求取的算法設計，以強化數(shù)學模型與軟件設計間的關系。

在其他模塊的講授中也可以有針對性設計應用型案例輔助教學，如命題邏輯基礎知識可以進行硬件電路設計，關系模塊中偏序關系可以設計涉案證據(jù)鏈的梳理，圖論中圖的著色問題可以設計涉案地點的串并分析等。

總之，案例教學的引入既有助于學生自主學習能力的培養(yǎng)，又有助于實際問題的客觀抽象形成數(shù)學模型以及依據(jù)數(shù)學模型設計軟件解決問題的學術思維習慣的培養(yǎng)。

2)注重習題討論，鼓勵一題多解

離散數(shù)學既是計算機相關專業(yè)的基礎課程，又是一門數(shù)學課程，具有典型的數(shù)學特色，習題講授是整個教學中的關鍵環(huán)節(jié)。就教學而言，知識點高級應用在于實際問題的綜合處理，習題僅僅是知識點的初級應用，但習題卻是重要的基礎環(huán)節(jié)，通過習題課的縱向串聯(lián)，可以加深學生對相關知識點的掌握，同時習題課中可以鼓勵學生參與討論，從不同側面提出解題方案，進一步理解知識的精髓。

離散數(shù)學授課內(nèi)容中最典型的一題多解實例是命題邏輯中推理有效的證明，其證明過程可以通過真值表、等值演算、主范式、蘊涵式的證明、自然推理系統(tǒng)中的構造法及歸謬法、歸結推理等手段進行，一個典型例題的講述可以將命題邏輯中80%的知識點進行回顧性縱向分析。因此在習題課上適當引導學生從不同角度不同層次進行討論分析，使學生在討論中發(fā)現(xiàn)不同方法在不同類型問題解決過程中的優(yōu)劣所在，將有助于學生自身知識體系的形成。其他知識點的講授過程中適當增加針對性習題討論也同樣會取得事半功倍的效果。

3)設計實驗環(huán)節(jié)，強化動手能力

離散數(shù)學是一門高度抽象、高度概括、邏輯理論性強的課程，學生通常都難以理解。若在教學過程中適當引入部分實驗項目，既可以進行基本理論的具體驗證，又可以為專業(yè)課的教學打下基礎，同時培養(yǎng)學生的動手能力及創(chuàng)新能力［4］。

表1 輔助實驗內(nèi)容

結合網(wǎng)絡安全與執(zhí)法專業(yè)的培養(yǎng)方向，根據(jù)教學內(nèi)容中的知識點可以設計不同的實驗內(nèi)容，具體實驗開發(fā)平臺可以使用學生容易掌握的Matlab或C語言，實驗項目也可以通過大作業(yè)的形式在課下通過分組討論合作完成。部分實驗設計內(nèi)容如表1所示。

實驗教學的引入可以避免學生將離散數(shù)學課程作為一門純粹的數(shù)學課對待，適當?shù)某绦蛟O計可以使學生將抽象的知識具體化，有利于教學內(nèi)容的深入掌握。

4)滲透前沿算法，拓展知識結構

目前，許多算法都與離散數(shù)學中的知識點相關，如粗糙集屬性約簡理論的基礎是不可區(qū)分關系，而不可區(qū)分關系本身就是等價關系，經(jīng)典的基于正區(qū)域的屬性約簡過程在等價劃分構造的基礎上進行;凱撒密碼的本質(zhì)即群理論;歐拉定理及費馬小定理是RSA密碼體系的數(shù)學基礎;群優(yōu)化算法中蟻群算法的基本模型即采用組合優(yōu)化算法解決圖論中漢密爾頓回路問題;概念格是偏序關系與格結構的體現(xiàn)，其上的關聯(lián)規(guī)則挖掘算法簡單直觀。在教學過程將知識點進行適當延伸，可以擴展學生的知識結構，了解網(wǎng)絡及計算機整個學科建設的前沿，堅定對專業(yè)學習的信心。

4 結論

網(wǎng)絡安全與執(zhí)法專業(yè)的離散數(shù)學教學既要突出其作為專業(yè)基礎課的專業(yè)特點，又要側重于數(shù)學知識點的應用，適當弱化基礎性原理與定理的證明，結合專業(yè)特色整合教學內(nèi)容，輔之以實驗及各種交互教學模式，可以有效提高學生的邏輯思維判斷能力及分析解決實際問題的能力，對于該專業(yè)整個課程體系的建設具有重要意義。

［1］左孝凌．離散數(shù)學的形成、發(fā)展及其在計算機科學中的作用與地位［J］．自然雜志．1984，7(6):414－417．

［2］耿素云，曲婉玲．離散數(shù)學［M］．北京:高等教育出版社，2010．

［3］王霞，顧勛梅，潘祝山．離散數(shù)學教學改革與課程建設研究［J］．計算機教育，2011(6):8－10．

［4］譚作文．離散數(shù)學課程中實驗教學探討［J］．計算機教育，2010(17):106－109．