綜合測試一

何明海

參考公式：

(1)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差，其中．

(2)棱錐的的體積V=Sh，其中S為底面積，h為高．

一、 填空題（本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置）

1． 已知復(fù)數(shù)a+bi=51-2i（i是虛數(shù)單位，a，b∈R），則a+b=.

（第6題）

2． 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P（2，1），且與直線2x+3y+1=0垂直，則l的方程是.

3． 有一組樣本數(shù)據(jù)8，x，10，11，9，已知它們的平均數(shù)為10，則這組數(shù)據(jù)的方差s2＝.

4． 已知向量a，b，c滿足a+2c=b，且a⊥c，|a|=1,|c|=2,則|b|=.

5． 一個(gè)正四面體的四個(gè)面分別涂有紅、黃、藍(lán)、白四種顏色，若隨機(jī)投擲該四面體兩次，則兩次底面顏色相同的概率是.

6． 在如圖所示的流程圖中，輸出的結(jié)果是.

7． 設(shè)a，b為不重合的兩條直線，α,β為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：

①若a雞,bう,a,b是異面直線，那么b∥α；

②若a∥α且b∥α，則a∥b；

③若a雞,b∥α,a,b共面，那么a∥b；

④若a⊥α,α⊥β，a∥b，則b⊥β.

上面命題中，所有真命題的序號是.

8． 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝kx＋3與圓(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M、N兩點(diǎn)，MN≥23，則k的取值范圍是.(第9題)

9． 函數(shù)y=2sinπ4x-π2的部分圖象如右圖所示，則(OA+OB)?AB=.

10． 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，滿足條件x≥2,

x+y≤0,

x-y-10≤0的點(diǎn)(x,y)形成的區(qū)域?yàn)镈，區(qū)域D關(guān)于直線y=2x對稱的區(qū)域?yàn)镋，則區(qū)域D和E中距離最近兩點(diǎn)的距離為.

11． 計(jì)算x2+8x2+4的最值時(shí)，我們可以將x2+8x2+4化成x2+4+4x2+4=(x2+4)2+4x2+4，再將分式分解成x2+4+4x2+4，然后利用基本不等式求最值；借此，計(jì)算使得x2+1+cx2+c≥1+cc對一切實(shí)數(shù)x都成立的正實(shí)數(shù)c的范圍是.(第13題）

12． 若鈍角三角形ABC的三邊a，b，c是三個(gè)連續(xù)整數(shù)，則△ABC外接圓的半徑為.

13． 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A，F(xiàn)分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，C上的點(diǎn)P滿足PF⊥x軸，射線AP交C的右準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，若直線QA、QO、QF的斜率依次成等差數(shù)列，則橢圓C的離心率為.

14． 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)曲線y=-x3+1上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)P處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，則△AOB的面積的最小值為.二、 解答題(本大題共六小題，共90分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

15． （本小題滿分14分）

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且5tanB=8aca2+c2-b2.

(1) 求sin2A+C2+cos2B的值；

(2) 若tanC=612，c=2，求b的值.

16． （本小題滿分14分）

如圖，在四棱錐PABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，PD=BD=8，AC=6，AC∩BD=O，E是棱PB上的一點(diǎn)．

(1) 求證：AC⊥DE；

(2) 若BE∶EP=1∶2，求三棱錐OBCE的體積；

(3) 是否存在點(diǎn)E，使△ACE的面積最小？若存在，試求出△ACE面積最小值及對應(yīng)線段BE的長；若不存在，請說明理由．

綜合測試(一)第2頁17． （本小題滿分14分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22，右頂點(diǎn)為A，直線BC過原點(diǎn)O，且點(diǎn)B在x軸上方，直線AB與AC分別交直線l：x=a+1于點(diǎn)E、F.

（1） 若點(diǎn)B(2，3)，求△ABC的面積；

（2） 若點(diǎn)B為動點(diǎn)，設(shè)直線AB與AC的斜率分別為k1、k2.

試探究k1?k2是否為定值？若為定值，請求出；若不為定值，請說明理由.

18． （本小題滿分16分）

如圖,某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理池(ABCD)的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道(Rt△FHE，H是直角頂點(diǎn))來處理污水,管道越長，污水凈化效果越好.設(shè)計(jì)要求管道的接口H是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別落在線段BC，AD上.已知AB=20米，AD=103米，記∠BHE=θ.

(1) 試將污水凈化管道的長度L表示為θ的函數(shù),并寫出定義域；

(2) 若sinθ+cosθ=2，求此時(shí)管道的長度L；

(3) 問：當(dāng)θ取何值時(shí)，污水凈化效果最好？并求出此時(shí)管道的長度.

綜合測試(一)第3頁19． （本小題滿分16分）

等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=2，公比為q（q為正整數(shù)），且滿足3a3是8a1與a5的等差中項(xiàng)；數(shù)列{bn}滿足2n2-(t+bn)n+32bn=0(t∈R,n∈N*).

(1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2) 試確定實(shí)數(shù)t的值，使得數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；

(3) 當(dāng)數(shù)列{bn}為等差數(shù)列時(shí)，對每個(gè)正整數(shù)k，在ak和ak+1之間插入bk個(gè)2，得到一個(gè)新數(shù)列{cn}.設(shè)Tn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，試求滿足Tm=2cm+1的所有正整數(shù)m.

20． （本小題滿分16分）

設(shè)函數(shù)f(x)=x2，g(x)=mlnx(m>0)，已知f(x)與g(x)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．

(1) 求m的值；

(2) 對于函數(shù)h(x)=ax+b(a,b∈R)，若存在a，b，使得關(guān)于x的不等式g(x)≤h(x)≤f(x)+1對于g(x)定義域上的任意實(shí)數(shù)x恒成立，求a的最小值以及對應(yīng)的h(x)的解析式．綜合測試(一)第4頁綜合測試(二)第1頁