袁 暉 坪

(重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 重慶 400067)

矩陣方程在力學(xué)、 計(jì)算物理、 地質(zhì)學(xué)、 參數(shù)識(shí)別、 自動(dòng)控制、 線性系統(tǒng)理論、 非線性規(guī)化與動(dòng)態(tài)分析等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1-8]. Hermite矩陣是一類特殊的矩陣, 在優(yōu)化理論、 計(jì)算數(shù)學(xué)、 信號(hào)分析等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 近年來, 對(duì)Hermite矩陣已有許多推廣研究, 如次Hermite矩陣、 廣義Hermite矩陣等[2-8]. 文獻(xiàn)[4]研究了矩陣方程AX=XAT和AX=YB的半正定解; 文獻(xiàn)[5]研究了矩陣方程X*AX=A,XAX=A的Hermite解. 本文在此基礎(chǔ)上討論一類二次廣義Hermite矩陣方程的求解問題, 得到了矩陣方程XAX=A存在P-廣義Hermite矩陣解的充分必要條件, 并給出了相應(yīng)解的表達(dá)式及矩陣方程XAY=B當(dāng)A,B可逆時(shí)的通解表達(dá)式, 推廣了文獻(xiàn)[4-5]的結(jié)果.

定義1[8]設(shè)A為n階復(fù)矩陣, 若存在n階復(fù)可逆矩陣P, 使得A*P=PA(A*P=-PA)或A*=PAP-1(A*=-PAP-1)(其中A*為A的轉(zhuǎn)置共軛), 則稱A為P-廣義Hermite矩陣(P-廣義斜Hermite矩陣).

引理1[5]設(shè)A為n階可逆矩陣,P為任意n階矩陣, 且A+P,A-P均為可逆陣, 則

X=(A+P)(A-P)-1,Y=(A+P)-1(A-P)

是矩陣方程XAY=A的解.

由引理1顯然可得：

推論1設(shè)A為n階可逆矩陣,P為任意n階矩陣, 且A+P,A-P均為可逆矩陣, 則X=c(A+P)(A-P)-1和Y=c-1(A+P)-1(A-P)是矩陣方程XAY=A的解(c為非零復(fù)數(shù)).

定理1設(shè)A為n階可逆P-廣義Hermite矩陣,M為任一n階P-廣義斜Hermite矩陣, 且A+M,A-M均為可逆矩陣, 則Y=c(A+M)-1(A-M)和X=P-1Y*P為矩陣方程XAY=A的解(其中復(fù)數(shù)c的模等于1).

證明： 由條件有A*P=PA,M*P=-PM, 即A*=PAP-1,M*=-PMP-1, 因而

于是由引理1知, 結(jié)論成立.

定理2設(shè)A為n階可逆P-廣義Hermite矩陣,M為任一n階P-廣義斜Hermite矩陣, 且A+M,A-M均為可逆矩陣, 則K=(A+M)(A-M)-1為矩陣方程XAP-1X*=AP-1的解.

證明： 根據(jù)定理2的條件, 有

所以由引理1知,K為矩陣方程XA(P-1X*P)=A的解.

又顯然, 矩陣方程XAP-1X*=AP-1與XA(P-1X*P)=A同解, 故K為矩陣方程XAP-1X*=AP-1的解.

由定理2顯然可得:

推論2設(shè)A為n階可逆P-廣義Hermite矩陣,M為任一n階P-廣義斜Hermite矩陣, 且A+M,A-M均為可逆矩陣, 則K=c(A+M)(A-M)-1為矩陣方程XAP-1X*=AP-1的解(其中復(fù)數(shù)c的模等于1).

定理3設(shè)A為n階可逆P-廣義Hermite矩陣,K為矩陣方程X*PAX=PA的可逆解, 且E-K為可逆矩陣, 則存在n階P-廣義斜Hermite矩陣M, 使得K=(A+M)-1(M-A).

證明: 因?yàn)镵為矩陣方程X*PAX=PA的可逆解, 所以K*PAK=PA, 即K*=PAK-1(PA)-1.

令M=A(E+K)(E-K)-1, 下證M為P-廣義斜Hermite矩陣. 事實(shí)上,

又(K+E)(K-E)=(K-E)(K+E), 即(K-E)-1(K+E)=(K+E)(K-E)-1, 所以

M*=PA(E+K)(K-E)-1P-1=-PMP-1,

即M*P=-PM, 故M為P-廣義斜Hermite矩陣. 又

A+M=A+A(E+K)(E-K)-1=A[(E-K)+(E+K)](E-K)-1=2A(E-K)-1

為可逆陣, 再由M(E-K)=A(E+K), 即(A+M)K=M-A得,K=(A+M)-1(M-A).

定理4設(shè)A為n階可逆P-廣義Hermite矩陣,M為任一n階P-廣義斜Hermite矩陣, 且A+M,A-M均為可逆矩陣, 滿足AM+MA=O, 則K=(A+M)(A-M)-1為矩陣方程XAX=A的P-廣義Hermite矩陣解.

證明: 由AM+MA=O, 得(A+M)2=(A-M)2, 即(A+M)-1(A-M)=(A+M)(A-M)-1, 所以

即K為P-廣義Hermite矩陣. 又由定理2知,K=(A+M)(A-M)-1為矩陣方程XAP-1X*=AP-1的解, 即KAP-1K*=AP-1, 故A=KAP-1K*P=KAP-1PK=KAK, 即K為矩陣方程XAX=A的P-廣義Hermite矩陣解.

定理5設(shè)A為n階可逆P-廣義Hermite矩陣,K為矩陣方程XAX=A的可逆P-廣義Hermite矩陣解, 且E-K為可逆矩陣, 則存在n階P-廣義斜Hermite矩陣M, 使得AM+MA=O, 且K=(A+M)-1(M-A).

證明: 由條件有K*=PKP-1,KAK=A, 因而,K*PAK=PKP-1PAK=PKAK=PA, 即K為矩陣方程X*PAX=PA的可逆P-廣義Hermite矩陣解, 又E-K為可逆矩陣, 于是, 由定理3知, 存在n階P-廣義斜Hermite矩陣M, 使得K=(A+M)-1(M-A). 再由K*=PKP-1及

得(A+M)-1(M-A)=K=(A+M)(M-A)-1, 故(A+M)2=(M-A)2, 即AM+MA=O.

定理5消弱了文獻(xiàn)[5]中定理4的條件.

定理6設(shè)A為n階可逆P-廣義Hermite矩陣,K為矩陣方程XAX=A的可逆P-廣義Hermite矩陣解(K≠E), 則存在n階P-廣義斜Hermite矩陣M, 使得AM+MA=O,A+M,A-M均可逆, 且K=(A+M)-1(M-A) ?E-K可逆.

證明: 必要性. 當(dāng)A,A+M,A-M均可逆, 且K=(A+M)-1(M-A)時(shí), 有K-E=(A+M)-1[(M-A)-(A+M)]=-2(A+M)-1A可逆.

充分性. 當(dāng)E-K可逆時(shí), 由K為矩陣方程XAX=A的可逆P-廣義Hermite矩陣解, 有K*=PKP-1,KAK=A, 因而K*PAK=PKP-1PAK=PKAK=PA, 即K為矩陣方程X*PAX=PA的可逆P-廣義Hermite矩陣解. 由定理3知, 存在n階P-廣義斜Hermite矩陣M, 使得K=(A+M)-1(M-A). 再由K*=PKP-1及式(1)可知,A+M,A-M均可逆, 且

(A+M)-1(A-M)=K=(A+M)(A-M)-1,

因而(A+M)2=(A-M)2, 即AM+MA=O.

定理7設(shè)有兩個(gè)n階可逆矩陣A=ST,B=KL(S,T,K,L均為可逆矩陣), 則矩陣方程XAY=B的通解為X=KQS-1,Y=T-1Q-1L(其中Q為可逆矩陣).

證明: 因?yàn)?KQS-1)A(T-1Q-1L)=(KQS-1)ST(T-1Q-1L)=KL=B, 所以X=KQS-1,Y=T-1Q-1L為矩陣方程XAY=B的解. 另一方面, 設(shè)X,Y為矩陣方程XAY=B的任一解, 則XAY=B, 即(K-1XS)(TYL-1)=E. 令K-1XS=Q, 則TYL-1=Q-1, 即X=KQS-1,Y=T-1Q-1L. 綜上知,X=KQS-1,Y=T-1Q-1L為矩陣方程XAY=B的通解.

當(dāng)A,B,Y為可逆矩陣時(shí), 文獻(xiàn)[4]中的矩陣方程AX=YB可視為本文討論的矩陣方程XAY=B的特殊情形.

[1] Hasanov V I, Ivano I G. On Two Perturbation Estimates of the Extreme Solutions to the EquationsX±A*X-1A=Q[J]. Linear Algebra and Its Applications, 2006, 413(1): 81-92.

[2] Hasanov V I. Positive Definite Solutions of the Matrix EquationsX±A*X-qA=Q[J]. Linear Algebra and Its Applications, 2005, 404(15): 166-182.

[3] PENG Zhen-yun, El-Sayed S M. On Positive Definite Solution of a Nonlinear Matrix Equation [J]. Num Linear Algebra Appl, 2007, 14(2): 99-113.

[4] Jameson A, Kxeindler E, Laneaster R. Symmetric Positive Semi-definite and Positive Real Solutions ofAX=XATandAX=YB[J]. Linear Algebra and Its Applications, 1992, 160(1): 189-215.

[5] YANG Chang-lan, WANG Long-bo. Hermition Matrix Equation [J]. Journal of Mathematical Research and Exposition, 2004, 24(3): 500-502. (楊昌蘭, 王龍波. Hermite矩陣方程 [J]. 數(shù)學(xué)研究與評(píng)論, 2004, 24(3)： 500-502.)

[6] DU Zhong-fu. Positive Definite Solutions of the Matrix EquationX-A*X-αA-B*X-βB=I[J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2010, 48(1)： 26-32. (杜忠復(fù). 矩陣方程X-A*X-αA-B*X-βB=I的正定解 [J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào): 理學(xué)版, 2010, 48(1)： 26-32.)

[7] Hill R D, Waters S R. Onk-Real andk-Hermitian Matrices [J]. Linear Algebra and Its Applications, 1992, 169(1): 17-29.

[8] YUAN Hui-ping. Generalized Unitary Matrix and Generalized Hermite Matrix [J]. Journal of Mathematics, 2003, 23(3): 375-380. (袁暉坪. 廣義酉矩陣與廣義Hermite陣 [J]. 數(shù)學(xué)雜志, 2003, 23(3): 375-380.)