宋秀英

【摘要】本文介紹了層次分析法基本原理，并用層次分析法對(duì)學(xué)生綜合素質(zhì)進(jìn)行了評(píng)定，并編寫了層次分析法的玀ATLAB程序進(jìn)行求解，建立了學(xué)生素質(zhì)綜合評(píng)估模型.

【關(guān)鍵詞】層次分析法；玀ATLAB；學(xué)生素質(zhì)綜合評(píng)定オ

一、層次分析法概述

層次分析法是將決策總是有關(guān)的元素分解成目標(biāo)、準(zhǔn)則、方案等層次，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行定性和定量分析的決策方法.該方法是美國匹茨堡大學(xué)教授、運(yùn)籌學(xué)家薩蒂于20世紀(jì)70年代初，在為美國國防部研究“根據(jù)各個(gè)工業(yè)部門對(duì)國家福利的貢獻(xiàn)大小而進(jìn)行電力分配”課題時(shí)，應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)理論和多目標(biāo)綜合評(píng)價(jià)方法，提出的一種層次權(quán)重決策分析方法.這種方法的特點(diǎn)是在對(duì)復(fù)雜的決策問題的本質(zhì)、影響因素及其內(nèi)在關(guān)系等進(jìn)行深入分析的基礎(chǔ)上，利用較少的定量信息使決策的思維過程數(shù)學(xué)化，從而為多目標(biāo)、多準(zhǔn)則或無結(jié)構(gòu)特性的復(fù)雜決策問題提供簡便的決策方法.尤其適合于對(duì)決策結(jié)果難于直接準(zhǔn)確計(jì)量的場合.運(yùn)用層次分析法建模，大體上可按下面四個(gè)步驟進(jìn)行：

1苯立遞階層次結(jié)構(gòu)模型

應(yīng)用層次分析法分析決策問題時(shí)，首先要把問題條理化、層次化，構(gòu)造出一個(gè)有層次的結(jié)構(gòu)模型.在這個(gè)模型下，復(fù)雜問題被分解為元素的組成部分.這些元素又按其屬性及關(guān)系形成若干層次.上一層次的元素作為準(zhǔn)則對(duì)下一層次有關(guān)元素起支配作用.這些層次可以分為三類：

（1）最高層：這一層次中只有一個(gè)元素，一般它是分析問題的預(yù)定目標(biāo)或理想結(jié)果，因此也稱為目標(biāo)層.

（2）中間層：這一層次中包含了為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)，它可以由若干個(gè)層次組成，包括所需考慮的準(zhǔn)則、子準(zhǔn)則，因此也稱為準(zhǔn)則層.

（3）最底層：這一層次包括了為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)可供選擇的各種措施、決策方案等，因此也稱為措施層或方案層.

遞階層次結(jié)構(gòu)中的層次數(shù)與問題的復(fù)雜程度及需要分析的詳盡程度有關(guān)，一般層次數(shù)不受限制.每一層次中各元素所支配的元素一般不要超過9個(gè).這是因?yàn)橹涞脑剡^多會(huì)給兩兩比較判斷帶來困難.

2憊乖斐齦韃憒沃械乃有判斷矩陣

層次結(jié)構(gòu)反映了因素之間的關(guān)系，但準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則在目標(biāo)衡量中所占的比重并不一定相同，在決策者的心目中，它們各占有一定的比例.在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重時(shí)，遇到的主要困難是這些比重常常不易定量化.此外，當(dāng)影響某因素的因子較多時(shí)，直接考慮各因子對(duì)該因素有多大程度的影響時(shí)，常常會(huì)因考慮不周全、顧此失彼而使決策者提出與他實(shí)際認(rèn)為的重要性程度不相一致的數(shù)據(jù)，甚至有可能提出一組隱含矛盾的數(shù)據(jù).為看清這一點(diǎn)，可作如下假設(shè)：將一塊重為1千克的石塊砸成n小塊，你可以精確稱出它們的重量，設(shè)為w1，…，w璶，現(xiàn)在，請人估計(jì)這n小塊的重量占總重量的比例（不能讓他知道各小石塊的重量）.此人不僅很難給出精確的比值，而且完全可能因顧此失彼而提供彼此矛盾的數(shù)據(jù).

設(shè)現(xiàn)在要比較n個(gè)因子X={x1，…，x璶}對(duì)某因素Z的影響大小，薩蒂等人建議可以采取對(duì)因子進(jìn)行兩兩比較建立成對(duì)比較矩陣的辦法.即每次取兩個(gè)因子x璱和x璲，以a﹊j表示x璱和x璲對(duì)Z的影響大小之比，全部比較結(jié)果用矩陣A=(a﹊j)﹏×n表示，稱Z為Z-X之間的成對(duì)比較判斷矩陣（簡稱判斷矩陣）.容易看出，若x璱與x璲對(duì)Z的影響之比為a﹊j，則x璲與x璱對(duì)Z的影響之比應(yīng)為a﹋i=1a﹊j.

矩陣A=(a﹊j)﹏×n具有性質(zhì)：

（1）a﹊j>0.

（2）a﹋i=1a﹊j（i，j=1，2，…，n）.

稱之為正互反矩陣(易見a﹊i=1，i=1，…，n).

關(guān)于如何確定a﹊j的值，薩蒂等人建議引用數(shù)字1~9及其倒數(shù)作為標(biāo)度.下表1列出了1~9標(biāo)度的含義.

表1 判斷矩陣標(biāo)度及其含義

標(biāo) 度含 義

1表示兩個(gè)因素相比，具有相同重要性

3表示兩個(gè)因素相比，前者比后者稍重要

5表示兩個(gè)因素相比，前者比后者明顯重要

7表示兩個(gè)因素相比，前者比后者強(qiáng)烈重要

9表示兩個(gè)因素相比，前者比后者極端重要

2，4，6，8表示上述相鄰判斷的中間值

從心理學(xué)觀點(diǎn)來看，分級(jí)太多會(huì)超越人們的判斷能力，既增加了作判斷的難度，又容易因此而提供虛假數(shù)據(jù).薩蒂等人還用實(shí)驗(yàn)方法比較了在各種不同標(biāo)度下人們判斷結(jié)果的正確性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果也表明，采用1~9標(biāo)度最為合適.

3輩憒蔚ヅ判蚣耙恢灤約煅楠

判斷矩陣A對(duì)應(yīng)于最大特征值λ┆玬ax的特征向量W，經(jīng)歸一化后即為同一層次相應(yīng)因素對(duì)于上一層次某因素相對(duì)重要性的排序權(quán)值，這一過程稱為層次單排序.

上述構(gòu)造成對(duì)比較判斷矩陣的辦法雖能減少其他因素的干擾，較客觀地反映出一對(duì)因子影響力的差別.但綜合全部比較結(jié)果時(shí)，其中難免包含一定程度的非一致性.如果比較結(jié)果是前后完全一致的，則矩陣A的元素還應(yīng)當(dāng)滿足：

a﹊j猘﹋k=a﹊k，i，j，k=1，2，…，n.

稱滿足這一關(guān)系式的正互反矩陣稱為一致矩陣.需要檢驗(yàn)構(gòu)造出來的正互反判斷矩陣A是否嚴(yán)重地非一致，以便確定是否接受A.對(duì)判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)的步驟如下：

(1)計(jì)算一致性指標(biāo)獵I

獵I=λ┆玬ax-nn-1.

(2)查找相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)玆I

對(duì)n=1，…，9，薩蒂給出了玆I的值，如下表2所示：

表2 玆I值

n123456789

玆I000.580.901.121.241.321.411.45

玆I的值是這樣得到的：用隨機(jī)方法構(gòu)造500個(gè)樣本矩陣，隨機(jī)地從1~9及其倒數(shù)中抽取數(shù)字構(gòu)造正互反矩陣，求得最大特征根的平均值λ′┆玬ax，并定義玆I=λ′┆玬ax-nn-1.

(3)計(jì)算一致性比例獵R

獵R=獵I玆I.

當(dāng)獵R<0.10時(shí)，認(rèn)為判斷矩陣的一致性是可以接受的，否則應(yīng)對(duì)判斷矩陣作適當(dāng)修正.

4輩憒巫芘判蚣耙恢灤約煅楠

上面我們得到的是一組元素對(duì)其上一層中某元素的權(quán)重向量.我們最終要得到各元素，特別是最底層中各方案對(duì)于目標(biāo)的排序權(quán)重，從而進(jìn)行方案選擇.總排序權(quán)重要自上而下地將單準(zhǔn)則下的權(quán)重進(jìn)行合成.

設(shè)上一層次（A層）包含A1，…，A璵共m個(gè)因素，它們的層次總排序權(quán)重分別為a1，…，a璵.又設(shè)其后的下一層次（B層）包含n個(gè)因素B1，…，B璶，它們關(guān)于A璲的層次單排序權(quán)重分別為b1j，…，b﹏j（當(dāng)B璱與A璲無關(guān)聯(lián)時(shí)，b﹊j=0）.現(xiàn)求B層中各因素關(guān)于總目標(biāo)的權(quán)重，即求B層各因素的層次總排序權(quán)重b1，…，b璶，計(jì)算按下表3所示方式進(jìn)行，即゜璱=А苖j=1b﹊j猘璲，i=1，…，n.

表3 層次總排序

層次A1A2…A璵a1a2…a璵B層總排序權(quán)值

B1b11猙12…b1m猈1=А苖j=1a璲b1j

B2b21猙22…b2m猈2=А苖j=1a璲b2j

螃螃螃螃螃

B璶b﹏1猙﹏2…b﹏m猈璶=А苖j=1a璲b﹏j

對(duì)層次總排序也需作一致性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)仍像層次總排序那樣由高層到低層逐層進(jìn)行.這是因?yàn)殡m然各層次均已經(jīng)過層次單排序的一致性檢驗(yàn)，各成對(duì)比較判斷矩陣都已具有較為滿意的一致性.但當(dāng)綜合考察時(shí)，各層次的非一致性仍有可能積累起來，引起最終分析結(jié)果較嚴(yán)重的非一致性.

設(shè)B層中與A璲相關(guān)的因素的成對(duì)比較判斷矩陣在單排序中經(jīng)一致性檢驗(yàn)，求得單排序一致性指標(biāo)為獵I璲，（j=1，…，m），相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)為玆I璲（獵I璲，玆I璲已在層次單排序時(shí)求得），則B層總排序隨機(jī)一致性比例為獵R=А苖j=1獵I璲a璲∑mj=1玆I璲a璲.當(dāng)獵R<010時(shí)，認(rèn)為層次總排序結(jié)果具有較滿意的一致性并接受該分析結(jié)果.

二、層次分析法在學(xué)生綜合素質(zhì)評(píng)定中的應(yīng)用舉例

某高校為了做好學(xué)生素質(zhì)的綜合評(píng)估，使推薦就業(yè)盡可能科學(xué)合理，構(gòu)造了相應(yīng)的層次結(jié)構(gòu)模型，在評(píng)估時(shí)，只要根據(jù)該學(xué)生的各項(xiàng)指標(biāo)，利用由層次分析得到的評(píng)估公式計(jì)算其最終得分即可.

1苯立遞階層次結(jié)構(gòu)

2憊乖旄韃憒嗡有判斷矩陣和層次單排序及一致性檢驗(yàn)

學(xué)院認(rèn)為，為了就業(yè)的需求，知識(shí)面與外觀形象同樣重要，而在能力方面則應(yīng)有稍強(qiáng)一些的要求.根據(jù)以上看法，建立A-B層成對(duì)比較判斷矩陣：

AB1B2B3

B11121

B2212

B31121

進(jìn)行一致性檢驗(yàn)求出獵R=0，即通過一致性檢驗(yàn)并求得B層的三個(gè)元素B1，B2，B3對(duì)A層的權(quán)重向量為：￤瑼=025000500002500.

在知識(shí)中，我們認(rèn)為專業(yè)知識(shí)更為重要，其次是基礎(chǔ)理論知識(shí)，再次是外語知識(shí)，由此建立B1-C層成對(duì)比較判斷矩陣：

B1C1C2C3

C11153

C2518

C313181

進(jìn)行一致性檢驗(yàn)求出獵R=00380，即通過一致性檢驗(yàn)并求得B1層的三個(gè)元素C1，C2，C3對(duì)B1層的權(quán)重向量為：W〣1=018630737000768.

在能力中，我們認(rèn)為動(dòng)手能力、組織能力與其他能力重要性大致相同，建立B2-C層成對(duì)比較判斷矩陣：

B2C4C5C6

C4111

C5111

C6111

進(jìn)行一致性檢驗(yàn)求出獵R=0，即通過一致性檢驗(yàn)并求得B2層的三個(gè)元素C3，C4，C5對(duì)B2層的權(quán)重向量為：￤〣2=033330333303333.

在外表中，我們認(rèn)為氣質(zhì)最重要，其次是身高，最不重要的是體重，于是建立B3-C層成對(duì)比較判斷矩陣：

B3C7C8C9

C7157

C81512

C917121

進(jìn)行一致性檢驗(yàn)求出獵R=00122，即通過一致性檢驗(yàn)并求得B3層的三個(gè)元素C7，C8，C9對(duì)B3層的權(quán)重向量為：W〣3=073800167600944.

3輩憒巫芘判蚣耙恢灤約煅楠

經(jīng)層次總排序，可求得C層中各因子C璱在總目標(biāo)層A中的權(quán)重分別為：0.0466，0.1842，0.0192，0.1667，0.1667，0.1667，0.1845，0.0419，0.0236.

即A〤璱=(00466，01842，00192，01667，01667，01667，01845，00419，00236)，并通過一致性檢驗(yàn).

4毖生綜合評(píng)估模型

在學(xué)生的基礎(chǔ)學(xué)科、專業(yè)學(xué)科、英語、計(jì)算機(jī)、實(shí)訓(xùn)課程、組織能力、體育健康測試所得的測評(píng)分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化處理，得到C1-C9各指標(biāo)的評(píng)分，記為：X=(x1，x2，…，x9)玊，即學(xué)生綜合測評(píng)的總得分為：

y=A瑿X

=00466x1+01842x2+00192x3+01667(x4+x5+x6)+

01845x7+00419x8+00236x9.

オ

三、學(xué)生素質(zhì)綜合測評(píng)中層次分析法的MATLAB程序

1苯立M文件（fun10_2.m）：層次分析法中對(duì)判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)及求權(quán)重向量的程序.

function ［w CR］=fun10_2(A1)

length_a=length(A1);

eigroot_a=eig(A1);

max_eigroot_a=max(abs(eigroot_a));

CI=(max_eigroot_a-length_a)/(length_a-1);

RI=［0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51］;

CR=CI/RI(length_a);

if CR<0.1

sum_col=sum(A1);

for i=1:length_a

A(:，i)=A1(:，i)/sum_col(i);

end

v=sum(A，2);

sum_a=sum(v);

w=v/sum_a;

else

w=zeros(length_a，1);

disp(error);

end

2苯立M文件（fun10_1.m）：調(diào)用fun10_2.m計(jì)算判斷矩陣相關(guān)數(shù)據(jù)，并進(jìn)行層次總排序和總排序一致性檢驗(yàn)的程序.

clear

clc

close

B1=［1 1/5 3;5 1 8;1/3 1/8 1］;

［w1 CI］=fun10_2(B1);

w=［w1］;ci=［CI］;

B2=［1 1 1;1 1 1;1 1 1］;

［w1 CI］=fun10_2(B2);

w=［w w1］;ci=［ci CI］;

B3=［1 5 7;1/5 1 2;1/7 1/2 1］;

［w1 CI］=fun10_2(B3);

w=［w w1］;ci=［ci CI］;

A=［1 1/2 1;2 1 2;1 1/2 1］;

［w_a CR］=fun10_2(A);

w_last=w_a*w

CR_last=w_a*ci/sum(0.58*w_a)

w_11=w_a(1)*w(:，1);

w_12=w_a(2)*w(:，2);

w_13=w_a(3)*w(:，3);

w_last=［w_11，w_12，w_13］

CR_last=w_a*ci/sum(0.58*w_a)オオ

【參考文獻(xiàn)】オ

［1］韓中庚.數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用.北京：高等教育出版社，2006.

［2］顏文勇.數(shù)學(xué)建模.北京：高等教育出版社，2011.

［3］運(yùn)籌學(xué)理論，層次分析法.http://baike.baidu.com/view/364279.htm?fromTaglist.