孫艷華

【摘要】方程與函數(shù)在數(shù)學中是兩個不同的概念,但是這兩個互不相同的概念是密切關聯(lián)、相互滲透的，在一定條件下它們是可以互相轉(zhuǎn)化的.函數(shù)與方程之間的辯證關系，形成了函數(shù)方程思想.兩種思想的相互利用，對所研究的問題往往能達到化難為易、化繁為簡的目的.

【關鍵詞】函數(shù)與方程的思想；相互轉(zhuǎn)化和利用；指導數(shù)學實踐活動オ

方程與函數(shù)在數(shù)學中是兩個不同的概念，但是這兩個概念是密切關聯(lián)、相互滲透的，在一定條件下它們是可以互相轉(zhuǎn)化的.

當函數(shù)關系可用解析式(公式法)去表示時，即形成了函數(shù)解析式，或函數(shù)式y(tǒng)=f(x).從形式上看，函數(shù)式和方程式都是由代數(shù)式組成的，都含有x和y.方程可看作是函數(shù)解析式在某一特定函數(shù)值的解，表示特定的因變量的自變量解.其中函數(shù)y=f(x)的零點，即當y=0時，f(x)=0，得出x，就轉(zhuǎn)化為方程f(x)=0，亦即求函數(shù)f(x)=0的零點，也就是求函數(shù)f(x)=0的圖像與x軸（直線y=0）交點的橫坐標；方程f(x)=0若有實數(shù)根，推出函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸有交點，函數(shù)y=f(x)有零點.當把函數(shù)式y(tǒng)=f(x)變換為f(x)-y=0時，函數(shù)轉(zhuǎn)化為二元方程.

函數(shù)與方程的相互聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化，提供了用函數(shù)、方程的觀點和方法處理變量或未知數(shù)之間的關系，即函數(shù)方程思想，形成解決問題的一種思維方式，使許多表面上看似孤立、分散的數(shù)學知識在本質(zhì)上得到統(tǒng)一，從而很多函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為方程的知識和方法解決，很多方程的問題也可以用函數(shù)的思想方法去解決，往往能夠達到化難為易、化繁為簡的目的，這樣既有利于學生對這些知識的掌握，也有利于知識的靈活運用.

例如，解方程玪g玿+x2=0，若按照初等變換來解是行不通的，像這樣的方程可通過求函數(shù)y=玪g玿圖像與函數(shù)y=-x2圖像交點的橫坐標，則可得到其近似解.

例１ 已知實數(shù)x,y滿足x2+y2-2y-1=0.

（１）求x2+y2的最大值和最小值；

（２）求x2-y2的最大值和最小值

分析 首先，x2+y2-2y-1=0表示的圖形是圓.設﹖=獂2+y2(或t=x2-y2)，則t可以轉(zhuǎn)化為關于y的函數(shù)，從而可轉(zhuǎn)為求函數(shù)的最值問題.

解 （１）x2+y2-2y-1=0化為x2+(y-1)2=2，表示圓心在C(0,1)，半徑r=2的圓.

設t=x2+y2，由x2+y2-2y-1=0得x2+y2=1+2y，即t=1+2y，這是一個關于y的一次函數(shù)，由于y∈［1-2，1+2］，所以當y=1+2時，t┆玬ax=3+22；當y=1-2時，t┆玬in=3-22.

（２）設t=x2-y2，則t=x2-y2=-2y2+2y+1=-2y-1[]22+3[]2，故當y=1[]2時，x2-y2的最大值為3[]2；當y=1-2時，x2-y2的最小值為-3-22.

例2 作函數(shù)y=4-x2（或函數(shù)y=4+x2）的圖像.

解 將函數(shù)式做平方變換后變成y2=4-x2(或y2=4+獂2)，進而有x2+y2=4（或y2-x2=4），這正是我們所熟悉的圓的方程或雙曲線方程，這是在曲線與方程那部分知識中學過的曲線，進而得知函數(shù)圖像的形狀，如圖所示.

這里需要說明的是，函數(shù)與方程畢竟是兩個不同的概念，在對兩者進行相互轉(zhuǎn)化過程中要注意二者本身各自的特殊性，切忌盲目變換，忽視各自領域里應用的局限性.雖然得出我們所熟悉的圖像，由于在對函數(shù)式做平方變換時，將原來函數(shù)的值域范圍給擴大了，所以函數(shù)圖像應表示圓x2+y2=4（或雙曲線y2-x2=4）中的一部分，而不是全部.

除了考慮變換中定義域或值域以外，有些題目可能還需要進行坐標變換方能與我們所學過的熟悉的知識靠近.

例3 作出y=1+2x-1的圖像.

解 由已知函數(shù)式變換得：

y-1=2x-1.

進行坐標變換，x′=x-1[]2

y′=y-1，有﹜′2=2x′，這是拋物線的方程.不難得出它是以直線y=1為對稱軸，頂點在㎡′1[]2,1，焦點F′(1,1)，開口向右的拋物線的上半部分.

對于函數(shù)y=1[]24-x2的圖像，同樣經(jīng)過變換轉(zhuǎn)化為方程x2+4y2=4后，得知它是橢圓x2+4y2=4在x軸的上半部分.用曲線方程思想解決函數(shù)圖像問題得以體現(xiàn)，也體現(xiàn)了數(shù)學中轉(zhuǎn)化的思想.

通過以上分析，一般地，對于形如y=kax+b+m（其中a,b,k,m為常數(shù)，ax+b>0）或y=m+kax2+bx+c（其中a,b,c,k,m為常數(shù)，ax2+bx+c>0）的函數(shù)來說，經(jīng)過平方變換后轉(zhuǎn)化為二元二次方程，其圖像都是我們所熟知的二次方程的曲線中的一部分，或圓錐曲線上的一部分，進而得知函數(shù)的圖像.

函數(shù)與方程的思想是數(shù)學的重要思想之一，不僅有利于學生深刻地理解和實際應用所學數(shù)學知識，而且有利于學生了解數(shù)學發(fā)展的規(guī)律，對于培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)具有積極的促進作用.教師在教學中要不失時機地及時向?qū)W生灌輸、滲透數(shù)學思想方法，將數(shù)學思想方法和數(shù)學知識并舉，成為數(shù)學教學的重要內(nèi)容之一，使學生牢固樹立數(shù)學思想方法，以充分發(fā)揮數(shù)學思想方法的活力，支配著數(shù)學的實踐活動.