張秀海

【摘要】本文先引用了一個定理，接著通過兩個例子闡述了函數(shù)的數(shù)學期望在一些期望求解問題中的應用能夠大大簡化其解題過程.

【關鍵詞】隨機變量;函數(shù);數(shù)學期望オ

在實際應用中，常常需要求隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望.例如，Y=g(X)，要求E(Y)，我們可以不必求出Y的分布，而直接由X的分布來求E(Y).

定理 設隨機變量Y是隨機變量X的函數(shù)，Y=g(X)（g為連續(xù)函數(shù)）.

（1）設Ｘ為離散型隨機變量，其分布律為

p{X=x璳}=p璳,k=1,2,….

若級數(shù)А啤轠]k=1g(x璳)p璳絕對收斂，則有

E(Y)=E［g(X)］=А啤轠]k=1g(x璳)p璳.

（2）設Ｘ為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x).

若積分А要+∞-∞g(x)f(x)玠玿絕對收斂，則有

E(Y)=E［g(X)］=А要+∞-∞g(x)f(x)玠玿.

這個定理說明在求Y=g(X)的數(shù)學期望時，只需知道X的分布即可.這使得許多題目的解題過程大為簡化.

例1 設二維隨機變量（X,Y)的概率密度為

f(x,y)=Ax(1+3y2),0

0, 其他.

求A，E（X）和EY[]X.

解 由А要+∞-∞∫+∞-∞f(x,y)玠玿玠珁=1，即А要10∫20Ax(1+3y2)玠玿玠珁=1，得A=1[]4，所以

f(x，y)=1[]4x(1+3y2),0

0, 其他.

故所求數(shù)學期望分別為

E（X）=А要+∞-∞ИА要+∞-∞xf(x,y)玠玿玠珁=おА要10∫201[]4x2(1+3y2)玠玿玠珁=4[]3，

EY[]X=А要+∞-∞ИА要+∞-∞y[]xf(x,y)玠玿玠珁=А要10∫201[]4y(1+3y2)玠玿玠珁=5[]8.

例2 設總體X的概率密度為

f(x)=1[]2σe-|x|[]σ,-∞<﹛<∞,

其中σ>0是未知數(shù).設X1,X2,…,X璶為總體X的樣本.

（1）求參數(shù)σ的最大似然估計量；

（2）判斷是否為σ的無偏估計量.

解 （1）設x1,x2,…,x璶是X1,X2,…,X璶的觀測值，則似然函數(shù)

L=А莕[]i=11[]2σe-|x|[]σ=1[]2σ琻e┆-1[]σ∑n[]i=1|x璱|,

取對數(shù)，得

玪n獿=-n玪n2σ-1[]σА苙[]i=1|x璱|.

令玠ln獿[]玠σ=0，得=1[]nА苙[]i=1|x璱|，

σ的最大似然估計量為=1[]nА苙[]i=1|x璱|.

（2）設隨機變量Y=|X|，則

E(Y)=E(|X|)=А要+∞-∞|x|1[]2σe-|x|[]σ玠玿=2А要+∞0x1[]2σe-x[]σ玠玿=σ，

所以E()=E1[]n∑n[]i=1|X璱|=E1[]n∑n[]i=1Y璱=1[]n∑n[]i=1E(Y璱)=σ,

即是σ的無偏估計量.

在例1中，如果依常規(guī)思路按照連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望的定義E(X)=А要+∞-∞獂f(x)玠玿В則在求解EY[]X時，需先知道隨機變量Z=Y[]X的概率密度，這將使得問題大大地復雜化，而隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望在此處的應用使得解題簡單明了.同理，在例2中，在解第（2）問時，依常規(guī)思路按應先求的概率密度，這是十分不容易的，此處先應用隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望知道E(Y)=E(|X|)=σ是定值，再利用數(shù)學期望的性質E∑n[]i=1X璱=∑n[]i=1E(X璱)有E1[]n∑n[]i=1Y璱=1[]n∑n[]i=1E(Y璱)，進而E()=E1[]n∑n[]i=1|X璱|=E1[]n∑n[]i=1Y璱=1[]n∑n[]i=1E(Y璱)=σ.通過這兩個例子，我們可以總結：在求解期望的問題中，如果依常規(guī)思路概率密度不容易求解，就可以嘗試應用函數(shù)的數(shù)學期望來求解問題.

【參考文獻】

［1］周圣武.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（第二版）.北京：煤炭工業(yè)出版社，2007：95-98.

［2］王雪琴.隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望.渭南師范學院學報，2002，17（2）:47-48.