固定利率住房抵押貸款定價(jià)研究

阮龍江 薛雙霞

摘要：由于缺乏經(jīng)驗(yàn)，我國(guó)商業(yè)銀行固定利率住房抵押貸款定價(jià)存在不合理性，既影響了固定利率住房抵押貸款業(yè)務(wù)的健康發(fā)展，又導(dǎo)致了借貸雙方風(fēng)險(xiǎn)與收益的不匹配。在市場(chǎng)利率服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上，本文從隱含期權(quán)視角出發(fā)構(gòu)建固定利率住房抵押貸款單位風(fēng)險(xiǎn)收益最大化模型，并求出最優(yōu)解，為商業(yè)銀行固定利率住房抵押貸款定價(jià)提供理論和技術(shù)參考。

關(guān)鍵詞：固定利率抵押貸款；隱含期權(quán)；單位風(fēng)險(xiǎn)收益；利率定價(jià)

Abstract：Due to limited experience，the pricing of fixed-rate mortgage of commercial banks in China is not well implemented，which not only effects the healthy development of fixed-rate mortgage，but also leads to asymmetry of risk-income between borrowers and lenders. Given the market interest rate consistent with geometric Brownian motion，we build a maximized return per unit of risk model about fixed-rate mortgage from the perspective of embedded option. The aim of this paper is to provide theoretical and technical reference for commercial banks fixed-rate mortgage pricing.

Key Words：fixed-rate mortgages，embedded option，return per unit of risk，interest rate pricing

中圖分類號(hào)： F830文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1674-2265（2012）06-0014-05

一、引言

自1998年住房制度改革以來(lái)，房?jī)r(jià)不斷上漲，居民的可支配收入不能滿足對(duì)住房的潛在需求，住房抵押貸款業(yè)務(wù)得到迅速發(fā)展。與國(guó)外不同，我國(guó)住房抵押貸款業(yè)務(wù)長(zhǎng)期以來(lái)采用的是逐年隨政策調(diào)整利率的浮動(dòng)計(jì)息方式，在利率不斷波動(dòng)的背景下，借款人可能面臨較大的利率風(fēng)險(xiǎn)。

根據(jù)央行規(guī)定，自2004年1月1日起，國(guó)內(nèi)商業(yè)銀行發(fā)放的人民幣中長(zhǎng)期貸款可以實(shí)行固定利率方式。此后，光大銀行、建設(shè)銀行、招商銀行等商業(yè)銀行相繼推出各種固定利率住房貸款產(chǎn)品，固定利率住房抵押貸款業(yè)務(wù)有了一定發(fā)展。所謂固定利率抵押貸款，是指在整個(gè)貸款合同所規(guī)定的貸款期限內(nèi)貸款利率不隨市場(chǎng)利率變化而改變的貸款。2006年1月5日，光大銀行在北京和上海推出“陽(yáng)光生活”固定利率住房貸款，成為首家推出固定利率住房抵押貸款的銀行，隨后又逐步推出“陽(yáng)光生活住房套餐”組合貸款、固定利率與浮動(dòng)利率相互轉(zhuǎn)換業(yè)務(wù)等。2006年2月2日，招商銀行對(duì)普通固定利率貸款進(jìn)行結(jié)構(gòu)性創(chuàng)新，在全國(guó)范圍內(nèi)推出極具特色的結(jié)構(gòu)性固定利率住房抵押貸款產(chǎn)品，其最大特色是在整個(gè)固定利率房貸期內(nèi)，可以分段執(zhí)行不同的利率，如10年期固定利率住房貸款，可以在貸款前5年執(zhí)行一個(gè)利率，后5年執(zhí)行另一個(gè)不同的利率，但在兩個(gè)固定期內(nèi)，利率保持不變。2006年10月，建設(shè)銀行正式推出固定利率個(gè)人住房貸款業(yè)務(wù)，產(chǎn)品模式主要有“完全固定利率”、“固定利率+浮動(dòng)利率”、“固定利率分段組合”和“固定利率+浮動(dòng)利率分段組合”4種，其中，“固定+浮動(dòng)”和“分段組合”打破了市場(chǎng)原有固定利率貸款必須全程固定的局限，可以滿足借款人在不同期限檔次執(zhí)行不同固定利率的要求。

固定利率抵押貸款業(yè)務(wù)促進(jìn)了我國(guó)信貸產(chǎn)品的多樣化發(fā)展，在一定程度上滿足了多樣化的借款需求，有助于銀行更好地管理商業(yè)銀行住房抵押貸款，但固定利率住房抵押貸款同樣面臨利率下降時(shí)的提前還款風(fēng)險(xiǎn)。因此，對(duì)商業(yè)銀行而言，推行固定利率住房抵押貸款的關(guān)鍵，在于在自主定價(jià)體系下如何確定合理的貸款利率水平，實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)與收益的平衡。我國(guó)固定利率住房抵押貸款業(yè)務(wù)從推出至今，只有幾年時(shí)間，固定利率住房抵押貸款業(yè)務(wù)正處于快速發(fā)展時(shí)期，尚未經(jīng)歷一個(gè)完整的經(jīng)濟(jì)周期考驗(yàn)，其定價(jià)模式不合理，提前還款風(fēng)險(xiǎn)識(shí)別及管理能力較弱，管理方法和管理技術(shù)缺乏，因此，對(duì)其定價(jià)進(jìn)行研究具有很強(qiáng)的實(shí)際意義。

二、固定利率抵押貸款及其隱含期權(quán)行為

由于固定利率抵押貸款和浮動(dòng)利率抵押貸款之間的差異，浮動(dòng)利率抵押貸款借款人面臨著較大的利率風(fēng)險(xiǎn)。隨著利率市場(chǎng)化程度的不斷加深，以及不斷增強(qiáng)的加息預(yù)期，較大的利率風(fēng)險(xiǎn)從某種程度上會(huì)抑制借款人對(duì)住房抵押貸款的需求，不利于刺激對(duì)住房的消費(fèi)。因而適時(shí)推出固定利率抵押貸款，有利于不同風(fēng)險(xiǎn)偏好的借款者找到適合自己的貸款方式。固定利率抵押貸款比浮動(dòng)利率抵押貸款更顯得復(fù)雜，因?yàn)楣潭ɡ实盅嘿J款利率在合同期固定后就不能變動(dòng)，其面臨的風(fēng)險(xiǎn)會(huì)隨著貸款期限的延長(zhǎng)而不斷增大：市場(chǎng)利率的上升會(huì)造成銀行利息收入的損失，市場(chǎng)利率的降低有可能使借款人發(fā)生提前還款行為，房?jī)r(jià)波動(dòng)有可能引發(fā)借款人的違約行為等。

在經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展的今天，我國(guó)商業(yè)銀行正逐步由分業(yè)經(jīng)營(yíng)向混業(yè)經(jīng)營(yíng)的發(fā)展模式過(guò)渡，中間業(yè)務(wù)發(fā)展十分迅速。然而我國(guó)商業(yè)銀行的主要業(yè)務(wù)仍然是存貸款業(yè)務(wù)，存貸利差在我國(guó)商業(yè)銀行利潤(rùn)中占據(jù)主要地位。隨著我國(guó)住房抵押貸款市場(chǎng)的不斷完善，住房抵押貸款業(yè)務(wù)逐漸成為銀行貸款中的優(yōu)質(zhì)業(yè)務(wù)。借款人的提前還款將使得該筆優(yōu)質(zhì)業(yè)務(wù)提前中斷，這樣會(huì)給以盈利為目的商業(yè)銀行帶來(lái)許多不利影響。

因此，在對(duì)固定利率住房抵押貸款進(jìn)行合理定價(jià)時(shí)，必須充分考慮借款人的提前還款行為：一方面，當(dāng)市場(chǎng)利率上升時(shí)，因原貸款合同利率低于市場(chǎng)利率，借款人將選擇維持原貸款合同；另一方面，當(dāng)市場(chǎng)利率下降時(shí)，借款人會(huì)選擇提前還款，然后通過(guò)再融資獲得更低的市場(chǎng)利率。

本文主要分析隱含期權(quán)中的提前還款行為。由于浮動(dòng)利率抵押貸款和固定利率抵押貸款中利率表現(xiàn)形式的不同，借款人相應(yīng)的提前還款行為也有所不同。因此，我們?cè)诜治龉潭ɡ实盅嘿J款借款人提前還款的隱含期權(quán)觀點(diǎn)時(shí)，應(yīng)有別于浮動(dòng)利率抵押貸款。

對(duì)于固定利率抵押貸款借款人來(lái)說(shuō)，當(dāng)市場(chǎng)利率r高于或等于原貸款合同利率k時(shí)，理性借款人不會(huì)選擇提前還款，即不執(zhí)行隱含期權(quán)，則有p=0；當(dāng)市場(chǎng)利率r低于原貸款合同利率k時(shí)，理性借款人會(huì)考慮其融資成本問(wèn)題，會(huì)提前償還原貸款，然后再以較低的市場(chǎng)利率進(jìn)行借款，即借款人執(zhí)行隱含期權(quán)，則有p=k-r 。綜上可以得出：

是關(guān)于r單調(diào)不增的分段線性函數(shù)。

對(duì)于商業(yè)銀行來(lái)說(shuō)，在發(fā)放固定利率住房抵押貸款時(shí)，相當(dāng)于同時(shí)賣出執(zhí)行價(jià)為k的看跌期權(quán)。

三、固定利率抵押貸款的期望收益與方差

（一）市場(chǎng)利率r的分布

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，幾何布朗運(yùn)動(dòng)可以表示隨時(shí)間推移而主動(dòng)影響投資決策的隨機(jī)變量，如項(xiàng)目?jī)r(jià)值，產(chǎn)出價(jià)格，投入成本等的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。本文假設(shè)市場(chǎng)利率服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)。

設(shè)有一種由時(shí)間t開(kāi)始到T結(jié)束的固定利率貸款，貸款的固定利率為k，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為 ，市場(chǎng)利率r服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，則有：

， 分別是r變化率的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，z是標(biāo)準(zhǔn)維納過(guò)程。

為了簡(jiǎn)便，我們假設(shè)初始時(shí)刻t=0，下同。

通過(guò)求出 的概率密度，我們可以得出市場(chǎng)利率r的概率密度為：

求出市場(chǎng)利率r的概率密度后，我們?cè)賮?lái)看一下相關(guān)的幾個(gè)積分，對(duì)正數(shù) 有以下積分結(jié)果：

其中， 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，且

（二）有隱含期權(quán)的貸款價(jià)值

首先，我們對(duì)市場(chǎng)提出一些假設(shè)：

1. 銀行是市場(chǎng)上唯一的融資途徑；

2. 市場(chǎng)一般無(wú)摩擦，再融資可在無(wú)成本，或者較低成本的條件下進(jìn)行；

3. 固定利率貸款借款人是理性的，一旦市場(chǎng)利率低于合同借款利率，借款將執(zhí)行隱含期權(quán)；

4. 貸款本息期末一次性償付，不考慮分期償還；

5. 市場(chǎng)無(wú)分割，市場(chǎng)上所有的投融資交易是連續(xù)進(jìn)行的。

由隱含期權(quán)理論可知，當(dāng)市場(chǎng)利率小于或等于貸款合同利率時(shí)，借款人提前還款，再?gòu)氖袌?chǎng)按較低利率借款。T時(shí)刻，銀行關(guān)于這筆貸款的收益（借款人成本）為：當(dāng)市場(chǎng)利率r小于貸款合同利率k時(shí)，收益為市場(chǎng)利率r；當(dāng)市場(chǎng)利率r大于貸款合同利率k時(shí)，收益為貸款合同利率k，即有：

貸款收益表示如下：

圖1：貸款收益圖

結(jié)合前述隱含期權(quán)，則有：

對(duì)于商業(yè)銀行來(lái)說(shuō)，在發(fā)放固定利率住房抵押貸款時(shí)，相當(dāng)于同時(shí)賣出執(zhí)行價(jià)為k的看跌期權(quán)。有隱含期權(quán)的銀行貸款價(jià)值等于無(wú)隱含期權(quán)貸款價(jià)值與該看跌期權(quán)價(jià)值之差。

（三）固定利率抵押貸款的期望收益與方差

借款人提前還款行為給我國(guó)商業(yè)銀行資產(chǎn)負(fù)債管理帶來(lái)了不確定性，其中主要是因?yàn)樗黾恿算y行的成本，加大了銀行的風(fēng)險(xiǎn)。因此，我們從這一中心思想出發(fā)，考慮銀行的預(yù)期收益及風(fēng)險(xiǎn)，分別用貸款期望E（R）和方差 表示。

1. 固定利率抵押貸款的期望收益。對(duì)于隱含期權(quán)的固定利率抵押貸款，借款人先提前償還貸款，再?gòu)氖袌?chǎng)按較低利率r借款。由前文可知，R等價(jià)于持單位收益為k的資產(chǎn)+賣出歐式看跌期權(quán)。T時(shí)刻，銀行關(guān)于這筆貸款的期望收益E（R）（借款人期望成本）為：

因此，貸款的期望收益可以分解為k和看跌期權(quán)的期望。對(duì)于看跌期權(quán)的期望，我們可以從其分段表達(dá)式中得到：

由此可以得到：

其中，

2. 固定利率抵押貸款的方差。同理，根據(jù)看跌期權(quán)的分段表達(dá)式，對(duì)看跌期權(quán)求方差，可得：

由此可以得到：

其中，

四、單位風(fēng)險(xiǎn)收益最大化模型及其求解

商業(yè)銀行在制定固定利率抵押貸款利率時(shí)，應(yīng)充分權(quán)衡其風(fēng)險(xiǎn)與收益：一方面，利率如果定得較低，由此引發(fā)的提前還款風(fēng)險(xiǎn)會(huì)相對(duì)較小，但銀行貸款收益也相應(yīng)減少，這對(duì)于銀行收入的實(shí)現(xiàn)以及銀行規(guī)模的擴(kuò)大是不利的；另一方面，利率如果定得較高，銀行雖然能實(shí)現(xiàn)較高收益，但借款人的提前還款行為會(huì)因此增多，對(duì)于銀行的風(fēng)險(xiǎn)管理會(huì)造成極大影響，因此，我們應(yīng)結(jié)合期望收益對(duì)方差進(jìn)行分析。

為了計(jì)算的可行性和便利性，本文引入風(fēng)險(xiǎn)收益指標(biāo)——方差期望比 。具體表示為： ，其中 、 分別為貸款收益R的期望和方差。

由前文可知，銀行關(guān)于固定利率貸款收益的方差 表示如下：

固定利率貸款的期望收益表示如下：

則有：

由于單位風(fēng)險(xiǎn)收益 ，通過(guò)計(jì)算最小 ，保證單位風(fēng)險(xiǎn)收益 最大化。

令銀行貸款方差期望與 關(guān)于k的導(dǎo)數(shù)的比值等于0，即 ，得：

由上文可知， 都是關(guān)于k的函數(shù)，則有

因此，我們將銀行貸款期望收益關(guān)于k的導(dǎo)數(shù)表示如下：

將銀行貸款方差關(guān)于k的導(dǎo)數(shù)表示如下：

又 ，， ，將其代入上式中，并將等式右邊按照進(jìn)行合并整理，可得：

繼續(xù)化簡(jiǎn)，可得：

將其代入 ，化簡(jiǎn)得：

由于 ， ，而 ，，可得 ，則有：

將上式整理如下：

上述方程是一個(gè)關(guān)于k的一元二次方程，則：

顯然， ，則可解出關(guān)于k的方程如下：

由于k>0才有經(jīng)濟(jì)意義，則有：

通過(guò)對(duì) 求二階偏導(dǎo)，化簡(jiǎn)可得

由于二階偏導(dǎo)大于0，則等式在 處取得最小值，即：

上述 為銀行貸款方差期望比最小的貸款利率，即銀行單位風(fēng)險(xiǎn)收益最大的貸款利率。

對(duì)比現(xiàn)階段基于利率風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償機(jī)制及基于違約期權(quán)的固定利率住房抵押貸款定價(jià)原理來(lái)說(shuō)，本文單位風(fēng)險(xiǎn)收益最大化模型具有一定的優(yōu)勢(shì)：一方面，基于利率風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償機(jī)制的定價(jià)原理是建立在固定利率水平與同期限浮動(dòng)利率水平之間線性關(guān)系基礎(chǔ)之上，由于我國(guó)固定利率住房抵押貸款市場(chǎng)還不充分，固定利率數(shù)據(jù)有限，對(duì)于利用較少歷史數(shù)據(jù)形成的固定利率回歸模型，還有待時(shí)間的檢驗(yàn)，而且模型并未進(jìn)一步計(jì)算相應(yīng)的參數(shù)值；在基于違約期權(quán)的固定利率住房抵押貸款定價(jià)原理中，提前還款率起著重要作用，是貸款現(xiàn)金流分析的基礎(chǔ)，但由于國(guó)內(nèi)外住房抵押貸款業(yè)務(wù)之間及借款人行為之間的差異，使得提前還款率研究照搬國(guó)外不是很合理。因此，引用及深入研究本文模型具有較強(qiáng)的適用性。

在此基礎(chǔ)上，筆者對(duì)S銀行2008年6月執(zhí)行的10年期固定利率貸款利率6.93%進(jìn)行檢驗(yàn)。S銀行具備先進(jìn)的定價(jià)水平及風(fēng)險(xiǎn)管理能力，固定利率住房貸款的利率水平在銀行業(yè)同類產(chǎn)品中具有較大的優(yōu)勢(shì)，其他商業(yè)銀行在制定其固定利率水平時(shí)，也參考S銀行同期限固定利率房貸利率水平。受2008年國(guó)際金融危機(jī)影響，為了刺激經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇，我國(guó)從2008年9月16日至2008年底，連續(xù)5次下調(diào)人民幣貸款基準(zhǔn)利率，降息政策給借款人提前還款提供了可能。因此，結(jié)合2008年9月16日至2008年底的1年期上海同業(yè)拆借利率（Shibor）為市場(chǎng)利率進(jìn)行研究，驗(yàn)證得出模型中的一階導(dǎo)數(shù)不為0，從而得出該固貸利率并不能滿足方差期望比最小，即單位風(fēng)險(xiǎn)收益最大。

但由于上述模型計(jì)算的復(fù)雜性，我們無(wú)法得出最優(yōu)貸款利率水平，必須利用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行編程求解，這也是后續(xù)研究的方向。

五、總結(jié)

結(jié)合我國(guó)固定利率住房抵押貸款定價(jià)不合理的現(xiàn)狀，本文研究確定了單位風(fēng)險(xiǎn)收益最大化模型。建模思想如下：首先，將借款人提前還款行為看作是一個(gè)隱含期權(quán)，對(duì)商業(yè)銀行來(lái)說(shuō)，在發(fā)放固定利率住房抵押貸款時(shí)，相當(dāng)于同時(shí)賣出執(zhí)行價(jià)為原貸款合同利率的看跌期權(quán)；其次，利用市場(chǎng)利率服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的假設(shè)，得出固定利率住房抵押貸款的期望收益與風(fēng)險(xiǎn)；最后，構(gòu)建一個(gè)變量指標(biāo)——方差期望比，運(yùn)用最優(yōu)化思想及數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得出模型滿足單位風(fēng)險(xiǎn)收益最大化的最優(yōu)貸款利率，為商業(yè)銀行貸款定價(jià)提供理論和技術(shù)參考。

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（特約編輯 齊稚平；校對(duì) GX）