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      用裂項(xiàng)相消法求解數(shù)列和的應(yīng)用舉例

      2012-04-29 01:20:36徐長溉
      關(guān)鍵詞:裂項(xiàng)消法舉例

      徐長溉

      【摘要】筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中經(jīng)常能遇到應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列和的題型,經(jīng)過精心歸納總結(jié),現(xiàn)舉例如下供師生們參考借鑒.裂項(xiàng)相消法就是利用分解與組合的思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)相消法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)(一般是通項(xiàng))進(jìn)行分解,然后再重新組合,使之能消去一些項(xiàng),最終達(dá)到求和的目的.特別適用于分式形式的通項(xiàng)公式,把一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)的差的形式,即利用a璶=f(n+1)-f(n),然后累加時(shí)抵消中間的許多項(xiàng)從而化繁為簡.從而解決數(shù)列求和的問題.

      【關(guān)鍵詞】數(shù)列和的求解;裂項(xiàng)相消法

      數(shù)列和的求解問題是數(shù)列學(xué)習(xí)中比較棘手的一類問題.如何從復(fù)雜紛繁的求數(shù)列和的式子中,準(zhǔn)確地找出切入的關(guān)鍵手法,是我們所要探討和尋求的關(guān)鍵所在.裂項(xiàng)相消法就是我們所能舉一反三的借鑒所在.下面我就從具體例子中來觀察裂項(xiàng)相消法的具體優(yōu)勢所在.

      1.等差數(shù)列積的倒數(shù)和

      已知等差數(shù)列{a璶}首項(xiàng)a1,公差d.求和:S璶=1[]a1a2+1[]a2a3+…+1[]a璶a璶+1.

      解 1[]a璶a璶+1=1[]a璶+1-a璶1[]a璶-1[]a璶+1=1[]d1[]a璶-1[]a璶+1.

      S璶=1[]d1[]a1-1[]a2+1[]a2-1[]a3+…+1[]a璶-1[]a璶+1=1[]d1[]a1-1[]a璶+1.

      其中a璶+1=a1+nd.

      求和:(1)S璶=1[]1·2+1[]2·3+…+1[]n·(n+1).

      (2)S璶=1[]1·4+1[]4·7+…+1[](3n-2)·(3n+1).

      2.含二次根式的數(shù)列和

      已知正項(xiàng)等差數(shù)列{a璶}首項(xiàng)a1,公差d.求和:S璶=1[]a1+a2+1[]a2+a3+…+1[]a璶+a璶+1.

      解 1a璶+a璶+1=a璶+1-a璶(a璶+a璶+1)(a璶+1-a璶)=1d(a璶+1-a璶).

      S璶=1d(2-1+3-2+…+a璶+1-a璶)=1d(a璶+1-1).

      其中a璶+1=a1+nd.

      求和:S璶=11+2+12+3+…+1n+n+1.

      3.含對數(shù)的數(shù)列和

      已知正項(xiàng)數(shù)列a璶,求和:S璶=log璦a2a1+log璦a3a2+…+log璦a璶+1a璶(a>0且a≠1).

      解 log璦a璶+1a璶=log璦a璶+1-log璦a璶.

      S璶=log璦a2-log璦a1+log璦a3-log璦a2+…+log璦a璶+1-log璦a璶=log璦a璶+1-log璦a1.

      求和:S璶=lg21+lg32+…+lgn+1n.

      4.含三角函數(shù)的數(shù)列和

      (1)求和:S璶=sinx+sin2x+…+sinnx.

      解 sinnx=sinnxsinx2sinx2=-12sinx2cosnx+x2-cosnx-x2

      =-12sinx2cos2n+12x-cos2n-12x.

      S璶=-12sinx2cos32x-cosx2+cos52x-cos32x+…+cos2n+12x-cos2n-12x

      =-12sinx2cos2n+12x-cosx2.

      (2)求和:S璶=tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tannxtan(n+1)x.

      解 tanx=tan[(n+1)x-nx]=tan(n+1)x-tannx1-tan(n+1)xtannx.

      tan(n+1)xtannx=1-tan(n+1)x-tannxtanx.

      S璶=1-tan2x-tanxtanx+1-tan3x-tan2xtanx+…+1-tan(n+1)x-tannxtanx=n+tanx-tan(n+1)xtanx=n+1-tan(n+1)xtanx.

      5.含排列組合種數(shù)求和

      (1)S璶=1·1!+2·2!+…+n·n!.

      解 n·n!=(n+1)!-n!,S璶=2!-1!+3!-2!+…+(n+1)!-n!=(n+1)!-1.

      (2)S璶=12!+23!+…+n(n+1)!.

      解 n(n+1)!=(n+1)-1(n+1)!=1n!-1(n+1)!.

      S璶=11!-12!+12!-13!+…+1n!-1(n+1)!=1-1(n+1)!.

      (3)S璶=c22+c23+c24+…+c2璶.

      解 由組合性質(zhì)c2璳=c3璳+1-c3璳,得S璶=c22+c34-c33+c35-c34+…+c3璶+1-c3璶=c3璶+1.

      6.含指數(shù)的數(shù)列求和

      求和:S璶=a(a+1)(a2+1)+a2(a2+1)(a3+1)+…+a琻(a琻+1)(a琻+1+1)(a>0,且a≠1).

      解 a琻(a琻+1)(a琻+1+1)=1a-11a琻+1-1a琻+1+1.

      S璶=1a-11a+1-1a2+1+1a2+1-1a3+1+…+1a琻+1-1a琻+1+1=1a-11a+1-1a琻+1+1.

      求和:S璶=2(2+1)(22+1)+22(22+1)(23+1)+…+2琻(2琻+1)(2琻+1+1).

      7.等差數(shù)列的和

      已知a璶=2n+1,求S璶

      解 a璶=(n+1)2-n2,S璶=22-12+32-22+…+(n+1)2-1=n2+2n.

      8.等比數(shù)列的和

      已知a璶=2琻,求S璶.

      解 a璶=2琻+1-2琻,S璶=22-2+23-22+…+2琻+1-2琻=2琻+1-2.

      9.等差數(shù)列乘等比數(shù)列的和(主要用錯(cuò)位相減法)

      已知a璶=4n-55琻,求S璶.

      解 a璶=4n-55琻=n-15琻-1-n5琻,S璶=0-15+15-252+…+n-15琻-1-n5琻=-n5琻.

      綜上,我們可以看到裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.它使我們找到了一個(gè)能夠切入紛繁多變的數(shù)列求和中行之有效的實(shí)用手法.同行不妨一試,學(xué)者不妨效法.

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