沈逸軒

現(xiàn)將大偶數(shù)都可表為兩個(gè)奇素（質(zhì)）數(shù)之和的奇妙證明，分三方面敘述如下.

一、260多年的研究簡(jiǎn)要?dú)v史

以史為鑒，知興替.1992年獲中國(guó)圖書(shū)一等獎(jiǎng)和最優(yōu)秀十大暢銷書(shū)之一的《中國(guó)少年兒童百科全書(shū).科學(xué)技術(shù)卷》等有關(guān)科普著作介紹，哥德巴赫猜想260多年的研究簡(jiǎn)要?dú)v史如下.

1742年，德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫給大數(shù)學(xué)家歐拉（Euler，1707—1783）的一封信中提出一組數(shù)學(xué)猜想，這組數(shù)學(xué)猜想最后歸結(jié)為：每一個(gè)2N≥6的偶數(shù)都可表為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和.歐拉用相當(dāng)精力研究后，回信說(shuō)，這個(gè)猜想是正確的，但不能證明.

1900年在巴黎召開(kāi)的第二次國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，譽(yù)為古今中外十大數(shù)學(xué)家之一的德國(guó)的希爾伯特（Hilbert，1862—1943）在大會(huì)報(bào)告中，提出了20世紀(jì)全世界數(shù)學(xué)家需要共同努力解決的23個(gè)問(wèn)題，其中第8個(gè)問(wèn)題是素?cái)?shù)問(wèn)題，其中包括哥德巴赫猜想.

1912年在英國(guó)劍橋召開(kāi)的第五次國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，來(lái)自德國(guó)哥廷根大學(xué)的著名數(shù)學(xué)家蘭道指出：在數(shù)論領(lǐng)域中，有四個(gè)難題以當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)水平是不可能很快解決的，這四個(gè)難題中包括“哥德巴赫猜想”.

1920年，挪威數(shù)學(xué)家布朗用古老的“篩法”證明了“每一個(gè)大偶數(shù)是二個(gè)素因子都不超過(guò)九個(gè)的”數(shù)之和，俗稱（9+9）.1958年中國(guó)王元證明了（2+3）.用此法證明的成果有一個(gè)弱點(diǎn)，就是其中的二個(gè)數(shù)沒(méi)有一個(gè)是可以肯定為素?cái)?shù).

1948年，匈牙利數(shù)學(xué)家蘭恩易仍主要用“篩法”證明了：每一個(gè)大偶數(shù)都是一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)“素因子不超過(guò)六個(gè)的”數(shù)之和，即他證明了（1+6）.1962年，中國(guó)潘承洞證明了（1+5）.同年，中國(guó)王元、潘承洞證明了（1+4）.1956年，布赫斯塔勃、維諾格拉多夫和龐皮艾黎證明了（1+3）.1966年，中國(guó)陳景潤(rùn)（1933—1996）證明了（1+2）.當(dāng)時(shí)論文長(zhǎng)達(dá)兩百多頁(yè)，不斷簡(jiǎn)化后，1973年才發(fā)表.

陳景潤(rùn)在《初等數(shù)論Ⅰ》（科學(xué)出版社，1978年12月）第9頁(yè)寫道：“這個(gè)哥德巴赫猜想直到現(xiàn)在還沒(méi)有肯定的或否定的答案，我們認(rèn)為哥德巴赫猜想是肯定的可能性很大.這個(gè)問(wèn)題現(xiàn)在最好的結(jié)果是：每一個(gè)充分大的偶數(shù)都是一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超二個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和.華羅庚、王元、潘承洞、丁夏畦、尹文霖和陳景潤(rùn)都曾經(jīng)在這方面進(jìn)行過(guò)不少工作.”

1986年，英國(guó)出了本書(shū)——《數(shù)學(xué)新的黃金時(shí)代》（基斯·德夫林著，李文林等譯，上海教育出版社，2001年11月），2001年11月再版時(shí)，世界級(jí)著名數(shù)學(xué)家陳省身在第2頁(yè)作序?yàn)椋骸伴_(kāi)創(chuàng)新世紀(jì)的數(shù)學(xué)文化.”該書(shū)第6頁(yè)寫道：“計(jì)算機(jī)已對(duì)100，000，000以下的所有偶數(shù)作了驗(yàn)算，證明對(duì)于這些數(shù)哥德巴赫猜想成立；但是時(shí)至今日，還沒(méi)有適當(dāng)?shù)霓k法證明整個(gè)猜想的正確性.”

以上就是1742—2007年哥德巴赫猜想研究的簡(jiǎn)要?dú)v史.

二、奇妙的證明和一個(gè)推論

為了證明大偶數(shù)都可表為兩個(gè)素?cái)?shù)之和的正確性，用中國(guó)孫子兵法的“以正合，以奇勝”的思維，引入比爾·蓋茨（Bill Gates，1955—）在《未來(lái)之路》一書(shū)中，提倡的“技術(shù)上相互兼容”的原則，啟用構(gòu)建新函數(shù)等新思維，建立如下7個(gè)引理.

引理1 引用韋達(dá)（Vieta，法國(guó)，1540—1603）定理和逆定理，構(gòu)造方程

X2-2NX+P4P5=0.（1A）

當(dāng)正整數(shù)2N≥6，則方程（1A）有N組P4，P5都是正整數(shù)的解.

證 據(jù)《初中三年級(jí)數(shù)學(xué)》一書(shū)（楊騫主編，科技文獻(xiàn)出版社，2003年3月）第50頁(yè)，方程（1A）有兩個(gè)正整數(shù)根的判定公式是：

Δ=（2N）2-4P4P5=m20.（1—1）

（1—1）式中，m0為非負(fù)整數(shù)，（1—1）式可化為：

N2-P4P5=m2.（1—2）

（1—2）式中m為非負(fù)整數(shù)，可化為：

N2-m2=P4P5=（N-m）（N+m）. （1—3）

由（1—3）式得出：當(dāng)m=0，1，…，（N-1）都有非負(fù)的P4，P5整數(shù)解，共有N組，引理1證畢.即（1）式有N組正整數(shù)解，且P4P5可表為N組正整數(shù)解的乘積.

當(dāng)能證明N組解中，有一組P4，P5都是奇素?cái)?shù)，則據(jù)韋達(dá)定理和逆定理，方程（1）成立，本題獲證.以下?lián)怂季S進(jìn)行探索.

引理2 正整數(shù)正因數(shù)個(gè)數(shù)d（n）定理.設(shè)a ， b是二個(gè)正整數(shù)，且a， b互素，a，b的標(biāo)準(zhǔn)分解分別為：a=ρ瑇11…ρ瑇璶璶，b=δβ11…δβ璶璵，其中ρ1…ρ璶，δ1…δ璵都是素?cái)?shù)，而

χ1…χ璶，β1…β璵都是正整數(shù)，則a乘b的正因數(shù)的個(gè)數(shù)d（ab）=d（a）·d（b）=（x1+1）…（x璶+1）（β1+1）…（β璵+1）.

（2A）

證 此定理引于陳景潤(rùn)《初等數(shù)論Ⅱ》（科學(xué)出版社，1980年5月），詳細(xì)證明見(jiàn)該書(shū)79～80頁(yè).北京景山學(xué)校編《中學(xué)生百科知識(shí)日讀（下）》（知識(shí)出版社，1983年）582～583頁(yè)也給出了相應(yīng)知識(shí)和公式.

當(dāng)N≥3是常數(shù)，可用（2A）式求出N組解的d（p4p5），以m為橫坐標(biāo)，d（p4p5）為縱坐標(biāo)，成不連續(xù)的波浪狀點(diǎn)，以下構(gòu)造方程，求d（p4p5）的最小值.

引理3 一元連續(xù)函數(shù)的介值定理.假若f（X）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，f（a）≠f（b），而C是介于f（a）與f（b）之間的任一值，那么[a，b]上至少有一點(diǎn)X1，滿足f（X1）=C.

證 此定理引于《一元函數(shù)微分學(xué)》（趙慈庚，上?？萍汲霭嫔?，1980年7月）221～223頁(yè).由《大學(xué)生數(shù)學(xué)手冊(cè)》（郭大均主編，山東科技出版社，1985年9月）128頁(yè)，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性也得出同樣成果.

引理4 陳氏定理，每一個(gè)充分大的偶數(shù)都是一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過(guò)二個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和.

證 引于《初等數(shù)論Ⅱ》（陳景潤(rùn)，科學(xué)出版社，1978年12月）第9頁(yè).

據(jù)陳氏定理，由（1）式得：2N=P1+P2P琸璶.（1—1）

（1—1）式中，當(dāng)2N≥6，P1，P2，P璶都是素?cái)?shù)，k=0或1.

引理5 構(gòu)建初等函數(shù)方程

f（m）=N2-m2=P1P2P琗璵璶.（3A）

其中：正整數(shù)N≥3是常數(shù)，0≤m≤（N-1）是連續(xù)變數(shù)，P1，P2，P璶是素?cái)?shù)，P1，P2指數(shù)為1，0≤X璵，1≤P琗璵璶=N2-m2[]P1P2.

證 據(jù)“高級(jí)中學(xué)課本微積分初步（甲種本）”（人民教育出版社數(shù)學(xué)室，人民教育出版社，1985.9，33～150頁(yè)，下稱高中課本），當(dāng)1≤P琗璵璶定義在0≤X璵，P琗璵璶是基本連續(xù)函數(shù)，取值在[1，+∞＼），故是P琗璵璶取值范圍內(nèi)，據(jù)引理3.

P琗璵璶=N2-m2[]P1P2成立，故（3A）式成立，即：

1≤N2-m2[]P1P2，f（m）=P1P2P琗璵璑=N2-m2.（3A）

上述（3A）式有兩個(gè)重要特性.

3—1 據(jù)高中課本33～35頁(yè)連續(xù)函數(shù)知識(shí)，上述（3A）式是一個(gè)在0≤m≤（N-1）定義域上的連續(xù)函數(shù).

3—2 （3A）式求d（m）最小值時(shí)符合引理4，表述極小值的要求.

因?yàn)橛桑?—1）式和（3A）式，可得：

N2-m2=P1P2P璑琄，其中K在（3A）式X璵定義范圍內(nèi).

引理6 據(jù)引理2和引理5，求f（m）方程的d（m）值的方程可表為：

d（m）=（1+X1）（1+X2）（1+X璵）=41+ln（N2-m2）-lnp1p2[]lnp璶

.（4A）

證 由于（3A）式中，X1=X2=1，故

（1+X1）（1+X2）=4.（4 —1）

由（3A）式得：

N2-m2=P1P2P琗璵璶.（3A）

（3A）式兩邊取自然對(duì)數(shù)，化簡(jiǎn)后，得：

X璵=ln（N2-m2）-lnP1P2[]lnP璶.（4 —2）

將（4 —1）和（4 —2）代入（4A），（4A）式成立.引理4證畢.

引理7 方程（4A）的d（m）的最小值中必有一個(gè)為4或3.

證 為求方程（4A）的d（m）的最小值，當(dāng)N≥3為常數(shù)，0≤m≤（N-1），m為主變量，據(jù)高中課本33～35頁(yè)，（4A）式是一個(gè)初等連續(xù)函數(shù)，用高中課本73頁(yè)求商的導(dǎo)數(shù)公式，得（4A）式d（m）的導(dǎo)數(shù)是：

d′（m）=4[ln（N2-m2）-lnP1P2]′lnP璶-[ln（N2-m2）-lnP1P2]ln′P璶[]ln2P璶.（5 —1）

據(jù)高中課本133～144頁(yè)的知識(shí)為求（4A）式d（m）最小值，令導(dǎo)數(shù)d′（m）=0，得：[ln（N2-m2）-lnP1P2]′lnP璶=[ln（N2-m2）-lnP1P2]ln′P璶.

（5 —2）

由（5 —2）式，當(dāng)P璶=1，lnP璶=0；同時(shí)據(jù)（3A）式，當(dāng)P璶=1，N2-m2=P1P2，即：ln（N2-m2）=lnP1P2.

故（5 —2）式兩邊同時(shí)為0，即（5 —2）式成立.

故P璶=1，是導(dǎo)數(shù)d′（m）=0的一個(gè)解.用（4A）式求d（m）最小值，涉及0[]0的不定值高難度求解.故改用（3A）式求d（m）.由（3A）式，當(dāng)P璶=1，則

N2-m2=P1P2.

（5 —3）

由引理2，得P1P2的d（m），當(dāng)P1≠P2，d（m）=（1+1）（1+1）=4，當(dāng)P1=P2，d（m）=（1+2）=3.引理7證畢.

由于引理1，2，3，4，5，6和7成立，故（1）式成立，即哥德巴赫猜想成立.表述如下：

由于N≥3為整數(shù)，P1，P2是素?cái)?shù)，用（5 —3）式，兩邊乘4，得：

（2N）2-（2m）2=4P1P2.（6 —1）

即：（2N）2-4P1P2=（2m）2=m20.（6 —2）

用（6 —2）式與引理1中的（1 —1）式對(duì)比，得：

X2-2NX+P1P2=0.（6 —3）

對(duì)比（6 —3）與引理1中的（1A）式，據(jù)韋達(dá)定理與逆定理，知素?cái)?shù)P1，P2是（1A）式的兩個(gè)正整數(shù)根.

故有P1，P2是（1）式的一組解，故：

2N=P1+P2=P4+P5.（6 —4）

由于2N≥6，且為偶數(shù)，偶素?cái)?shù)只有2，因此必有一組P1，P2均為奇素?cái)?shù).故每一個(gè)2N≥6的偶數(shù)都可表為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和成立.

1742年提出的哥德巴赫猜想正確性得到奇妙的證明.

從以上證明得出一個(gè)推論：乘法公式

N2-m2=（N+m）（N-m）=P1P2.

在整數(shù)范圍內(nèi)（N，m，P1，P2都是整數(shù)），對(duì)每一個(gè)正整數(shù)N≥3，必有一個(gè)表法是唯一的表達(dá)式.即：P1=（N+m），P2=（N-m）是素?cái)?shù).

三、三個(gè)對(duì)比和三個(gè)價(jià)值

1.三個(gè)對(duì)比

陳景潤(rùn)定理是本命題研究2007年前的最好成果，與本研究成果進(jìn)行三方面比較如下.

（1）使用基本方法的比較.陳景潤(rùn)成果用“篩法”為基本方法，譽(yù)為“篩法”的“光輝頂點(diǎn)”.本成果是用多個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)，繼承陳氏定理，構(gòu)建新的連續(xù)函數(shù)理念，加以科學(xué)的聯(lián)合運(yùn)用.

（2）成果完整性比較.陳氏定理是本命題的階段性成果，俗稱（1+2），本成果是命題成果，可稱為（1+1），即此命題研究已達(dá)終點(diǎn).

（3）成果可讀性和文稿長(zhǎng)短的比較.陳景潤(rùn)定理只有少數(shù)高級(jí)數(shù)論大師才能看懂，本成果，優(yōu)秀高中畢業(yè)生有2%能看懂，全世界看懂超過(guò)千萬(wàn)人.陳景潤(rùn)定理簡(jiǎn)化后仍有約兩萬(wàn)多字，本成果全部不足五千字.

2.本成果的三個(gè)價(jià)值

本成果的三個(gè)價(jià)值是：一是用多方面中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)，構(gòu)建新的連續(xù)函數(shù)和理念后，聯(lián)合科學(xué)運(yùn)用，得出奇妙的證明，豐富了數(shù)論的科研方法和內(nèi)容，且千百萬(wàn)人能看懂，對(duì)啟發(fā)知識(shí)創(chuàng)新有很大參考價(jià)值.二是由于古今古典世界六大數(shù)學(xué)難題，找到了奇妙證明，全部古典六大數(shù)學(xué)難題已解決，有很大歷史文化價(jià)值.三是再證明了20世紀(jì)最偉大的思想家和科學(xué)家愛(ài)因斯坦（Einstein，1879—1955）一句名言的價(jià)值：據(jù)景山學(xué)校編《中學(xué)生百科知識(shí)日讀》（知識(shí)出版社，1983）645頁(yè)，愛(ài)因斯坦認(rèn)為“提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更重要，因?yàn)榻鉀Q問(wèn)題也許僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技能而已，而提出新的問(wèn)題、新的可能性，從新的角度看舊的問(wèn)題，卻需要有創(chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步”.