解曉娟, 宋賢梅

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系 安徽 蕪湖 241003)

0 引言

作者定義了新的環(huán)類，即中心弱Armendariz環(huán)，通過(guò)例子說(shuō)明中心弱Armendariz環(huán)是弱Armendariz環(huán)的真推廣,也是中心Armendariz環(huán)的真推廣.因此，對(duì)中心弱Armendariz環(huán)的研究是有意義的.作者主要給出了中心弱Armendariz環(huán)的等價(jià)刻畫;說(shuō)明了中心弱Armendariz環(huán)與Abelian環(huán)以及p.p.-環(huán)的關(guān)系；證明了若R是半素環(huán)且R[x]/(x2)是中心弱Armendariz，則R是約化環(huán)；若R/I是中心弱Armendariz的且理想I是約化的，則R是中心弱Armendariz的.

1 主要結(jié)果

定義設(shè)R是環(huán).對(duì)任意的f(x)=a0+a1x,g(x)=b0+b1x∈R[x],若f(x)g(x)=0,則對(duì)任意的i,j,有aibj∈C(R),那么稱R是中心弱Armendariz環(huán).

由定義易知，交換環(huán)、約化環(huán)、中心Armendariz環(huán)、弱Armendariz環(huán)和中心弱Armendariz環(huán)的子環(huán)都是中心弱Armendariz環(huán).

例1存在一個(gè)環(huán)，是中心弱Armendariz環(huán)，但不是中心Armendariz環(huán).

故R是弱Armendariz環(huán).所以R是中心弱Armendariz環(huán).

例2存在一個(gè)環(huán),是中心弱Armendariz環(huán),但不是弱Armendariz環(huán).

設(shè)R=Z2[x,y]/(x2,y2),其中Z2是階為2的Galois域，Z2[x,y]是Z2上關(guān)于可交換的未定元x,y的多項(xiàng)式環(huán)，(x2,y2)是由x2,y2生成的理想.

在文[2]和文[3]中,分別給出了中心Armendariz環(huán)和弱Armendariz環(huán)的等價(jià)刻畫.下面給出中心弱Armendariz環(huán)的等價(jià)刻畫.回憶R稱為Abelian環(huán),如果R的每個(gè)冪等元都在中心C(R)中[7].

定理1若R是環(huán)，則下列條件等價(jià)：

(1)R是中心弱Armendariz環(huán);

(2)R是Abelian環(huán)，且對(duì)任意的冪等元e∈R,eR和(1-e)R是中心弱Armendariz環(huán);

(3)存在中心冪等元e∈R,使得eR和(1-e)R是中心弱Armendariz環(huán).

證明(1)?(2) 易知eR和(1-e)R是中心弱Armendariz的.下證R是Abelian的.

設(shè)e是R的冪等元,則對(duì)任意r∈R,令f(x)=e-er(1-e)x,g(x)=(1-e)+er(1-e)x∈R[x]，則f(x)g(x)=0.由于R是中心弱Armendariz環(huán),于是er(1-e)∈C(R)，故er(1-e)=e[er(1-e)]=[er(1-e)]e=0,即er=ere.

類似地,令h(x)=(1-e)-(1-e)rex,t(x)=e+(1-e)rex∈R[x],則h(x)t(x)=0.于是(1-e)re=0,即ere=re.因此re=er.所以R是Abelian環(huán).

(2)?(3)是顯然的.

由條件(2)知,對(duì)任意的i,j,有eaiebj∈C(eR),(1-e)ai(1-e)bj∈C((1-e)R).

因?yàn)閑∈C(R),(1-e)∈C(R),R=eR⊕(1-e)R.故aibj=eaibj+(1-e)aibj∈C(R).所以R是中心弱Armendariz環(huán).

例3Abelian環(huán)未必是中心弱Armendariz環(huán).

在文[7]中,環(huán)R稱為右p.p.-環(huán),如果R中元素的右零化子由冪等元生成.

定理2若環(huán)R是右p.p.中心弱Armendariz環(huán),則R是弱Armendariz環(huán).

證明由定理1可知,R是Abelian環(huán).

由于R是右p.p.-環(huán),所以存在ei∈R,使得r(ai)=eiR,i=0,1.因此a0e0=0,b0=e0b0.對(duì)等式a0b1+a1b0=0兩邊同時(shí)右乘e0,有0=a0b1e0+a1b0e0=a0e0b1+a1e0b0=a1b0,于是a0b1=0.所以R是弱Armendariz環(huán).

例4存在一個(gè)中心弱Armendariz環(huán),既不是弱Armendariz環(huán),也不是右p.p.-環(huán).

設(shè)R=T(Z8,Z8).因?yàn)镽是交換環(huán),所以R是中心弱Armendariz環(huán).

環(huán)R稱為可逆的,如果對(duì)任意的a,b∈R,若ab=0有ba=0[8].

例5存在一個(gè)可逆環(huán)R,使得R的平凡擴(kuò)張T(R,R)不是中心弱Armendariz環(huán).

根據(jù)文[3],若R的約化環(huán)(即R中不含非零的冪零元),則R[x]/(x2)是弱Armendariz環(huán),因此也是中心弱Armendariz的.在半素的條件下,有逆命題成立.

定理3設(shè)R是半素環(huán).如果R[x]/(x2)是中心弱Armendariz環(huán),則R是約化環(huán).

證明設(shè)R是半素環(huán)，且S=R[x]/(x2)是中心弱Armendariz環(huán).只需證明對(duì)任意r∈R且r2=0,有r=0即可.

最后,考慮對(duì)環(huán)R,如果環(huán)R/I和理想I都是中心弱Armendariz,那么R是否是中心弱Armendariz環(huán).例6說(shuō)明一般情況下是不成立的,但是定理4證明了在I是約化的條件下，結(jié)論成立.

定理4設(shè)I是環(huán)R的約化理想，且R/I是中心弱Armendariz環(huán)，則R是中心弱Armendariz的.

證明設(shè)a,b∈R.若ab=0,則abI=0,于是(bIa)2=0.而I是約化的,故有bIa=0.注意到(aIb)3?(aIb)I(aIb)=0,因此aIb=0.

下證對(duì)任意的ai,bj,ajIbj=bjIai=0.

對(duì)等式a0b1+a1b0=0兩邊同時(shí)右乘Ib0,則有a0b1Ib0+a1b0Ib0=0.由于a0b1Ib0?a0Ib0=0,于是a0b1Ib0=0,進(jìn)而a1b0Ib0=0.注意到(b0Ia1)3?(b0I)(a1b0Ia1b0)Ia1?(b0I)(a1b0Ib0)Ia1=0,故b0Ia1=0,進(jìn)而a1Ib0=0.

對(duì)等式a0b1+a1b0=0兩邊同時(shí)左乘a0I,有a0Ia0b1+a0Ia1b0=0,于是a0Ia0b1=0,因此有(b1Ia0)3=0,于是b1Ia0=0,進(jìn)而a0Ib1=0.所以aiIbj=bjIai=0.

參考文獻(xiàn)：

[1] Rege M B, Chhawchharia S. Armendariz rings[J]. Proc Japan Acad： Ser A Math Sci, 1997, 73: 14-17.

[3] Jeon Y C, Kim H K, Lee Y, et al. On weak Armendariz rings[J]. Bull Korean Math Soc, 2009, 46(1): 135-146.

[4] Lee T E, Wong T L. On Armendariz rings[J]. Houston J Math, 2003, 29: 583-593.

[5] Kim N K, Lee Y. Armendariz rings and reduced rings[J]. J Algedra, 2000, 223: 477-488.

[6] Hong C Y, Kwak T K, Rizvi S T. Extensions of generalized Armendariz rings[J]. Algebra Collq, 2002, 30(2): 751-761.

[7] Armendariz E. A note on extensions of Baer and p.p.-rings[J]. J Austral Math Soc, 1974, 18:470-473.

[8] Kim N K, Lee Y. Extensions of reversible rings[J]. J Pure Appl Algebra, 2003, 185: 207-223.