張文娟，俞建寧，安新磊，楊留猛

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理與軟件工程學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

帶有粘性阻尼擺的自參數(shù)振動系統(tǒng)混沌研究

張文娟，俞建寧，安新磊，楊留猛

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理與軟件工程學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

對一類帶有粘性阻尼擺的自參數(shù)振動系統(tǒng)的復(fù)雜動力學(xué)行為進(jìn)行研究．根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)動的拉格朗日方程和牛頓第二定律，建立了系統(tǒng)的動力學(xué)方程，借助Poincaré截面和分岔圖研究了系統(tǒng)的混沌行為，通過數(shù)值仿真得到其相圖、Poincaré映射圖、分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜，進(jìn)而證明了該模型是混沌數(shù)學(xué)模型；對該系統(tǒng)彈簧振子剛度的增加，可導(dǎo)致該系統(tǒng)產(chǎn)生新的混沌區(qū)域．

自參數(shù)振動系統(tǒng)；混沌；Poincaré映射圖；分岔圖；Lyapunov指數(shù)譜

非線性因素是任何振動系統(tǒng)都存在的，它們來自系統(tǒng)物理的、結(jié)構(gòu)的、耗散的、運(yùn)動的以及這些非線性的組合等方面．與參數(shù)化的系統(tǒng)不同，自參數(shù)系統(tǒng)涉及至少兩種模式內(nèi)部耦合引起的振動．從數(shù)學(xué)的角度來看，激勵(lì)來自運(yùn)動方程[1]中呈現(xiàn)的非線性耦合項(xiàng)．自參數(shù)振動[2]一般由兩部分組成，第一部分是主振動系統(tǒng)，它在外激勵(lì)、參變激勵(lì)或者是自激勵(lì)作用下振動，第二部分為次系統(tǒng)（也稱為被激系統(tǒng)），次系統(tǒng)不直接受到激勵(lì)的作用，一般不隨著主系統(tǒng)振動，主系統(tǒng)實(shí)際上就充當(dāng)了次系統(tǒng)的參變激勵(lì)．自參數(shù)共振使得次系統(tǒng)吸收主系統(tǒng)的振動，從而抑制主系統(tǒng)的振動．自參數(shù)振動系統(tǒng)因?yàn)槠湄S富的動力學(xué)現(xiàn)象以及廣泛的工程背景，受到許多學(xué)者的關(guān)注．例如，Hatwal等[3]研究了自參數(shù)振動系統(tǒng)受到諧波激勵(lì)時(shí)產(chǎn)生的周期和混沌等運(yùn)動；Cuvalci和Ertas[4]對一個(gè)以擺為輔助系統(tǒng)的懸臂梁自參數(shù)振動系統(tǒng)進(jìn)行了研究．本文對一類帶有粘性阻尼擺的自參數(shù)振動系統(tǒng)進(jìn)行了研究，探討了該系統(tǒng)的復(fù)雜動力學(xué)行為[5-7]，包括相軌跡圖、Poincaré映射圖、分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜等，證實(shí)了該混沌系統(tǒng)存在，通過改變該系統(tǒng)彈簧振子剛度，可使系統(tǒng)混沌區(qū)域發(fā)生變化．

1 自參數(shù)振動系統(tǒng)模型

帶有粘性阻尼擺的自參數(shù)振動系統(tǒng)如圖1所示，它由兩個(gè)主要的子系統(tǒng)構(gòu)成,分別為：

由于外激勵(lì)作用，非線性振子受迫于一線性彈簧．假定彈簧振子為非線性Duffing型振子，即

以垂直方向的位移x和單擺的角度位移φ為廣義坐標(biāo)，運(yùn)用拉格朗日第二類方程和牛頓第二定律，建立系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程：

式中，cφ是單擺的粘性阻尼系數(shù)，c是振子的阻尼系數(shù)，l是單擺的長度．

圖1 系統(tǒng)力學(xué)模型

為了便于分析，引入下列無量綱量：

于是，系統(tǒng)無量綱化的運(yùn)動微分方程為：

這里，方程（3）中的自參數(shù)激勵(lì)是由耦合項(xiàng)即單擺角度位移φ的二階導(dǎo)數(shù)和一階導(dǎo)數(shù)平方所引起的．

2 系統(tǒng)混沌現(xiàn)象分析

2.1 系統(tǒng)的混沌數(shù)學(xué)模型

將上述方程（3）轉(zhuǎn)化為一階微分方程組的形式，即

圖2 系統(tǒng)的混沌吸引子相圖

2.2 分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜

由圖3可知，當(dāng)激勵(lì)頻率參數(shù)θ在0.6到0.62范圍取值時(shí)，出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，這時(shí)的運(yùn)動僅是由擺動構(gòu)成的不規(guī)則吸引子；當(dāng)激勵(lì)頻率參數(shù)θ在0.63 – 0.72和0.98 – 1.19時(shí)，混沌運(yùn)動是由單擺的旋轉(zhuǎn)和擺動共同構(gòu)成的；當(dāng)激勵(lì)頻率參數(shù)θ位于0.73到0.97之間時(shí)，單擺執(zhí)行完全的旋轉(zhuǎn)．

由Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖可直觀反映出非線性動力學(xué)系統(tǒng)隨參數(shù)變化的動態(tài)特性，當(dāng)有一個(gè)Lyapunov指數(shù)大于0時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)．系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜如圖4所示．由圖4可知，隨著參數(shù)θ的變化，在區(qū)域0.6 – 0.72和0.98 – 1.19內(nèi)系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)從小于0變化到大于0，亦即系統(tǒng)在這兩個(gè)區(qū)域是混沌運(yùn)動狀態(tài)，這與系統(tǒng)的分岔圖（圖3）完全吻合．

圖3 分岔圖

圖4 Lyapunov指數(shù)譜

圖5 系統(tǒng)對于不同γ值的分岔圖

2.3 系統(tǒng)的Poincaré映射圖

Poincaré映射是一種經(jīng)典的分析動力系統(tǒng)的技術(shù)，可以通過觀察Poincaré截面上截點(diǎn)的情況來判斷是否發(fā)生混沌．當(dāng)Poincaré截面上是一些成片的具有分形結(jié)構(gòu)的密集點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動是混沌的．通過Poincaré映射圖還可以觀察系統(tǒng)的動力學(xué)行為，根據(jù)Poincaré截面上點(diǎn)的情況，可以判斷系統(tǒng)的運(yùn)動情況．該系統(tǒng)屬于非自治系統(tǒng)，數(shù)值計(jì)算中，每隔2π周期取相軌線上的點(diǎn)，可得到系統(tǒng)的Poincaré映射圖，如圖6所示．

圖6 系統(tǒng)的Poincaré映射圖

3 結(jié) 語

本文建立了一個(gè)帶有粘性阻尼擺的自參數(shù)振動模型，分析了其復(fù)雜動力學(xué)特征，包括分岔圖、Lyapunov指數(shù)譜及Poincaré映射圖等，證實(shí)了該混沌系統(tǒng)的存在性．?dāng)?shù)值仿真結(jié)果表明，增加彈簧振子剛度，可導(dǎo)致該系統(tǒng)產(chǎn)生一種新的混沌區(qū)域，因此采用非線性的彈簧振子剛度似乎是一種提高動力吸收現(xiàn)象的理想方法.

參考文獻(xiàn)

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Chaos of the Autoparametric Vibration System with a Viscous Damping Pendulum

ZHANG Wenjuan, YU Jianning, AN Xinlei, YANG Liumeng
(School of Mathematics and Software Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070)

According to Lagrange equation of the dynamic motion and Newton's second law, the paper makes a study on the complex dynamic behavior of a kind of autoparametric vibration system with a viscous damping pendulum and thus establishes the kinetic equation of the system. With the help of the Poincaré sections and the bifurcation diagram, the paper has studied the chaotic behavior of the system, and then obtained its phase diagram, Poincaré map, bifurcation diagram and Lyapunov exponent spectrum by numerical simulation, and thus proved that the model is a chaotic mathematical one. And the increase of the spring oscillator stiffness of the system will cause the system to produce a new chaotic region.

Autoparametric Vibration System; Chaos; Poincaré Map; Bifurcation Diagram; Lyapunov Exponent Spectrum

O322

A

1674-3563(2012)06-0019-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2012.06.004 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2012-03-16

甘肅省自然科學(xué)基金(1010RJZA066；1010RJZA067)

張文娟(1987- )，女，甘肅蘭州人，碩士研究生，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)