緩解交通擁擠的多目標(biāo)優(yōu)化模型和算法研究

吳中，何群

(河海大學(xué) 土木與交通學(xué)院，江蘇 南京 210098)*

0 引言

隨著我國社會(huì)經(jīng)濟(jì)和城市化水平的發(fā)展與提高，交通擁擠成為困擾許多大城市的難題，單純的增加交通供給已被證明不能解決擁擠問題，征收“擁擠費(fèi)”作為交通需求管理的一種形式，成為大城市緩解擁堵的備選方案.交通擁擠收費(fèi)的理論最初由Pigou于上個(gè)世紀(jì)20年代提出，之后Waters和 Vickery繼承并發(fā)展發(fā)展了 Beckman［1］(1965)的理論，提出出行者支付費(fèi)用使用擁擠道路，可以平衡邊際社會(huì)成本與邊際個(gè)人成本之間的差值，達(dá)到系統(tǒng)最優(yōu)的目的.征收“擁擠費(fèi)”在國外已經(jīng)成功施行多年，新加坡的成果最為顯著［2］.從1975年開始的人工收費(fèi)系統(tǒng)(ALS)發(fā)展到現(xiàn)在的電子收費(fèi)系統(tǒng)(ERP)，收費(fèi)使常年日交通量減少15%，上午7:30～9:30高峰小時(shí)交通量減少16%，多次進(jìn)入限制區(qū)的交通量減少到34%.國外經(jīng)驗(yàn)表明，擁擠收費(fèi)是緩解交通擁擠行之有效的管理手段.

國內(nèi)對(duì)擁擠收費(fèi)的研究起步較晚，李志純等［3］(2001)利用雙層規(guī)劃模型與步長加速法和罰函數(shù)法組合的啟發(fā)式算法對(duì)彈性需求下的道路收費(fèi)問題進(jìn)行了研究，給出了不同路段的收費(fèi)費(fèi)率，以求達(dá)到網(wǎng)絡(luò)交通流的平衡，但其方法復(fù)雜、費(fèi)率變化，難以推廣應(yīng)用.郭瑞軍、王晚香等［4］(2008)運(yùn)用定量和定性方法探討了交通擁擠中社會(huì)和個(gè)體成本的組成，以及兩者之間的關(guān)系，但未給出應(yīng)用于實(shí)際的計(jì)算模型.張琳琪、宋瑞等［5］(2008)基于UE均衡原則，分析交通收費(fèi)條件下的用戶和系統(tǒng)的關(guān)系，從而確定擁擠收費(fèi)費(fèi)率，但其方法主要考慮交通平衡，未計(jì)社會(huì)總成本的損失.本文在綜合考慮流量與成本的關(guān)系基礎(chǔ)上，構(gòu)建了合理阻抗函數(shù)，以個(gè)體成本總量和社會(huì)總成本最小化為目標(biāo)建立多目標(biāo)模型，并給出相應(yīng)的算法，分析不同擁擠費(fèi)對(duì)交通配流的影響，以達(dá)到多路徑選擇下個(gè)體與社會(huì)總成本最優(yōu)的目的.

1 建立模型

1.1 目標(biāo)函數(shù)的確定

出行者路徑選擇不當(dāng)會(huì)造成自身出行費(fèi)用的增加，這種自身承擔(dān)的損失成本叫做內(nèi)部成本.不當(dāng)路徑選擇還會(huì)造成其他道路使用者、交通資源與社會(huì)環(huán)境乃至生活中無直接聯(lián)系的第三方的損失，由于自身車輛的加入而使道路更加擁擠，導(dǎo)致其他各方增加的成本叫做外部成本.

個(gè)體成本是指個(gè)體出行者在出行過程中的行駛時(shí)間、車輛折舊、油耗費(fèi)、擁擠等內(nèi)部成本.社會(huì)總成本包括所有個(gè)人成本，交通設(shè)施設(shè)備的消耗成本，還包括大氣污染、道路公司流量損失等外部成本.

個(gè)體成本小說明出行者選擇了利于自己的出行路徑;社會(huì)總成本小說明交通管理組織有效.僅憑個(gè)人成本總量最優(yōu)或是社會(huì)總成本最優(yōu)還不能很好地確定擁擠費(fèi)取值，以個(gè)人成本總量和社會(huì)總成本最小為目標(biāo)構(gòu)建規(guī)劃方程，通過協(xié)調(diào)控制兩者的大小，可以兼顧各方利益，合理地確定交通擁擠費(fèi)率.

1.2 阻抗函數(shù)的構(gòu)建

單個(gè)出行者往往只考慮內(nèi)部成本，選擇路線阻抗函數(shù)較小的路線，忽視給他方帶來的不便與損失，致使某些道路資源在特定時(shí)段出現(xiàn)使用緊張或過度閑置的現(xiàn)象，造成社會(huì)外部成本增加.道路阻抗函數(shù)和行駛時(shí)間、距離、通過費(fèi)用等內(nèi)部成本有關(guān).其中影響阻抗大小的主要因素是行程時(shí)間和通過費(fèi)用，由于交通能源消耗、舒適性、安全性等因素都與行程時(shí)間和通過費(fèi)用有關(guān)，本文只考慮行程時(shí)間、通過費(fèi)用這兩個(gè)主要因素，形成包括行程時(shí)間費(fèi)用和通過費(fèi)用的廣義費(fèi)用，即

式中，C為廣義費(fèi)用;CT為行程時(shí)間費(fèi)用;μ為道路通過費(fèi)用，交通“擁擠費(fèi)”也應(yīng)計(jì)入在內(nèi).

在式(1)中，CTi是車流量為xi時(shí)車輛通過路段i所需的時(shí)間費(fèi)用.顯然，隨著車流量的增加，時(shí)間費(fèi)用不斷增加，當(dāng)車流密度達(dá)到臨界時(shí)，車流量不增反降，但時(shí)間費(fèi)用仍然呈現(xiàn)增加趨勢(shì).具體如圖1所示.μ的取值范圍要考慮當(dāng)?shù)氐慕?jīng)濟(jì)、文化和時(shí)間價(jià)值以及出行者接受水平.

圖1 交通量與行程時(shí)間費(fèi)用的關(guān)系圖

設(shè)路段i的交通容量為pi，零流量情況下車輛通過的行程時(shí)間費(fèi)用為Ai，參考美國BPR公式，利用時(shí)間價(jià)值系數(shù)γ同質(zhì)化行程時(shí)間函數(shù)轉(zhuǎn)換成費(fèi)用有:

式中，xi為路段i的當(dāng)量標(biāo)準(zhǔn)車流量;pi為路段i的基本通過能力.行程時(shí)間費(fèi)用CTi右端第一項(xiàng)為正常行駛行程時(shí)間費(fèi)用，第二項(xiàng)ε是由于行程時(shí)間易受天氣、交通事故影響而考慮的隨機(jī)應(yīng)變量，服從正態(tài)分布.

1.3 多目標(biāo)非線性規(guī)劃模型

出行者選擇主觀上的最優(yōu)路徑，不支付因?yàn)樽陨斫o系統(tǒng)帶來的額外延誤，受益大于支出，為了緩解管理方與出行者之間的這一矛盾，充分發(fā)揮道路網(wǎng)絡(luò)的多路連通效用，使交通網(wǎng)絡(luò)上的交通流達(dá)到基本均衡狀態(tài)［6］，有必要將部分交通外部成本內(nèi)部化.引入交通“擁擠費(fèi)”、增大通過費(fèi)用μ，可以直接緩解外部成本相對(duì)過高的問題.依據(jù)出行者與管理方利益共贏的理念，使個(gè)體成本總量與社會(huì)總成本在交通“擁擠費(fèi)”費(fèi)率約束下達(dá)到相對(duì)差值最小，建立規(guī)劃模型(3)如下.

式中，xi為路段i的交通量;ximin為路段i的最小服務(wù)交通量;ximax為路段i的最大服務(wù)交通量;ui為路段i的擁擠費(fèi);uimin為路段i道路管理者所能接受的最小擁擠費(fèi);uimax為路段i道路使用者所能接受的最大擁擠費(fèi);Ci(xi，ui)為是路段i關(guān)于交通量和擁擠費(fèi)的費(fèi)用函數(shù)，可用交通阻抗函數(shù)表示;f1(X，U)為建立在道路使用者主觀路線選擇行為基礎(chǔ)上的個(gè)體成本總量;f2(X，U)為建立在管理者系統(tǒng)最優(yōu)基礎(chǔ)上的社會(huì)總成本;qrs為OD對(duì)(r，s)之間總交通量;為OD對(duì)(r，s)之問路徑k上的總交通量;為如果路段 i在連接OD對(duì) (r，s)之間路徑上，其值為1，否則為0;gj(X)為變量 x1，x2，…，xn之間的聯(lián)系

2 非線性規(guī)劃模型算法

由模型(3)可以看出，兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)相互影響、相互制約，出行者的內(nèi)部成本總量變化趨勢(shì)并不總與社會(huì)出行總成本相一致.為不造成資源浪費(fèi)、同時(shí)保證通過效率，交通網(wǎng)絡(luò)及其它的交通量分布信息也被列入約束條件之中，模型(3)實(shí)際上成為交通網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及其交通流量流向分布條件下的、考慮系統(tǒng)與用戶利益均衡的交通“擁擠費(fèi)”決策優(yōu)化模型.式(2)中的費(fèi)用轉(zhuǎn)化隨機(jī)量ε，可由實(shí)際情況與環(huán)境調(diào)查數(shù)據(jù)的方差決定，亦可按收斂與否、人為試算、合理性判別確定.ε的不同選值，效果上影響到交通“擁擠費(fèi)”征收的高低，可作為“擁擠費(fèi)”的調(diào)節(jié)參數(shù)使用.模型可采用增量系數(shù)法［7］計(jì)算出最佳交通量分配下的個(gè)人成本總量和社會(huì)總成本.

算法具體步驟如下:

Step 1 確定精確精度ε=0.1，初始化目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù)m=1，路段i=0，迭代次數(shù)s=1.轉(zhuǎn)step1;

Step 2 對(duì)于雙目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)優(yōu)化問題(1)，計(jì)算第m個(gè)目標(biāo)函數(shù)fm(X)的最優(yōu)解和最優(yōu)值.令(X)為第m個(gè)目標(biāo)函數(shù)在約束集合R內(nèi)的最優(yōu)值，=(xm，1，xm，2，…，xm，n)是第 m 個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.令m=m+1，得到下一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解和最優(yōu)值，分別表示為=(xm+1，1，xm+2，1，…，xm+1，n)和(X).轉(zhuǎn)step 3;

3 案例

路網(wǎng)結(jié)構(gòu)如圖2所示，由2個(gè)節(jié)點(diǎn)，一個(gè) OD對(duì)，2條路段組成.路線為單向，其中路徑1道路等級(jí)高，行程距離長，路段2道路等級(jí)低，行程距離短.其中已知總交通流量為20 pcu/h，路徑1最大服務(wù)交通量18 pcu/h，路徑2最大服務(wù)交通量15 pcu/h.不考慮隨機(jī)因子，取ε=0(不影響問題說明).正常情況下，行程時(shí)間C1(x1，u1)=4x1+u1，C2(x2，u2)=(2x2+u2)2.試采用在路徑2 征收擁堵費(fèi)u重新分配交通量.

圖2 OD網(wǎng)絡(luò)圖

路徑1和路徑2的阻抗都是隨著交通量的增大而增大，但OD對(duì)間的交通量相對(duì)比較穩(wěn)定.顯然隨著路徑2交通量的增加，路徑1的交通量會(huì)減少，路徑2的阻抗小于路徑1.協(xié)調(diào)控制既不能讓路徑1的通過能力過度空置，也不能因?yàn)?的行程距離短造成擁堵.本例給出的阻抗函數(shù)是單調(diào)遞增的，不考慮擁堵時(shí)流量減小的情況，為緩解路徑2的交通擁堵并發(fā)揮路段2最大交通效益，欲為路徑2設(shè)一收費(fèi)站，具體規(guī)劃模型如下.

建立模型:

利用增量系數(shù)法求解多目標(biāo)優(yōu)化問題，得到如表1所示的計(jì)算結(jié)果.不難看出，不收擁堵費(fèi)時(shí)外部成本較高，社會(huì)總成本遠(yuǎn)大于個(gè)人成本總量.擁堵費(fèi)征收增加，個(gè)人成本總量也隨之上升，但相對(duì)于個(gè)人成本總量，社會(huì)總成本增長緩慢.這表明在一般情況下，社會(huì)總成本的變化率總是小于個(gè)人成本總量的變化率，社會(huì)總成本與個(gè)人成本總量完全可以通過不太高的交通收費(fèi)達(dá)到平衡.圖3表達(dá)了不同擁擠收費(fèi)率情況下的個(gè)人成本總量與社會(huì)總成本間的變化關(guān)系.當(dāng)擁堵費(fèi)征收較少時(shí)(小于圖中A點(diǎn)坐標(biāo))，社會(huì)總成本高于個(gè)人成本總量，出行者欠付交通平衡費(fèi)，當(dāng)擁擠費(fèi)較高時(shí)，個(gè)人成本總量高于社會(huì)總成本，出行者超額支付，個(gè)人成本總量與社會(huì)總成本增長曲線的交點(diǎn)A即為收費(fèi)平衡點(diǎn).擁堵費(fèi)的征收緩解了外部成本的過大偏置，當(dāng)社會(huì)總成本與個(gè)人成本總量相等時(shí)，外部成本為零.

表1 相同流量不同路徑對(duì)于征收不同擁堵費(fèi)的敏感度分析

圖3 不同擁擠費(fèi)下目標(biāo)函數(shù)值的變化圖

考查本文模型的優(yōu)化水平，與其他優(yōu)化方式進(jìn)行比較.選擇方案一為用戶均衡UE優(yōu)化的交通配流模型;方案二為用戶和系統(tǒng)共同優(yōu)化，不考慮收費(fèi)措施的配流模型;方案三為本文用戶系統(tǒng)共同優(yōu)化的收費(fèi)模型，其比較結(jié)果見表2.對(duì)應(yīng)三種方案，計(jì)算外部成本分別為 1 533.33，610.94和0.9，方案三最小.表明與對(duì)照的兩個(gè)方案比較，本文模型較好地平衡了個(gè)人內(nèi)部成本總量與外部總成本，基本達(dá)到了合理征收交通“擁擠費(fèi)”的目標(biāo).在合理收費(fèi)條件下，交通流量的分配也依據(jù)道路的實(shí)際狀況更加趨于合理.

表2 各方案優(yōu)化效果對(duì)比圖

4 結(jié)論

擁擠收費(fèi)是一項(xiàng)十分有效的交通需求管理措施，本文所提出的模型考慮到用戶與系統(tǒng)的需求，收費(fèi)率的確定同時(shí)依賴于交通網(wǎng)絡(luò)的狀況和交通需求的狀況，個(gè)人與社會(huì)成本的計(jì)算也對(duì)模型結(jié)果有影響.交通擁擠收費(fèi)除了可以抑制交通的不必要需求外，驗(yàn)證算例還表明，合理的交通擁擠收費(fèi)可以較好地分配交通資源，促使交通網(wǎng)絡(luò)達(dá)到更好的平衡.由于社會(huì)的巨大容量，社會(huì)成本的變化大大低于個(gè)人成本變化的速率，這使得征收較少量額的交通擁擠費(fèi)就可以達(dá)到外部成本為零的目標(biāo)成為可能.模型計(jì)算對(duì)比結(jié)果還表明，一項(xiàng)好的交通政策不僅僅只須滿足Wordrop第一原理或第二原理，還需要兼顧管理者(社會(huì))與用戶(個(gè)人)雙方的利益.正確地描述和表達(dá)各方權(quán)益才能取得良好的效果，交通擁擠費(fèi)率的確定也是如此.

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