巫志華 范小平

（東方汽輪機(jī)有限公司，四川 德陽(yáng)，618000）

0 引言

透平葉片葉根的形式對(duì)葉片的整體強(qiáng)度振動(dòng)特性有很大的影響。樅樹(shù)形葉根以其良好的承載特性和強(qiáng)度適應(yīng)性而在燃?xì)廨啓C(jī)及蒸汽輪機(jī)葉片設(shè)計(jì)中得到廣泛的應(yīng)用，尤其是在負(fù)荷較高，載荷比較復(fù)雜的透平級(jí)中，如透平末級(jí)，這類(lèi)葉根的應(yīng)用就更為普遍，但其尺寸精度要求比較高。在葉片的強(qiáng)度振動(dòng)分析中，首先需要得到包括葉根在內(nèi)的葉片型線數(shù)據(jù)，實(shí)際上，在很多情況下，原始的設(shè)計(jì)型線數(shù)據(jù)是無(wú)法得到的，如對(duì)進(jìn)口原裝機(jī)組葉片的力學(xué)性能分析，這就需要采用一定的方法進(jìn)行測(cè)繪處理得到型線后才能進(jìn)行相應(yīng)的分析。由于樅樹(shù)型葉根的型線相對(duì)比較復(fù)雜，測(cè)量數(shù)據(jù)相對(duì)比較多，采用的數(shù)據(jù)處理方法對(duì)在同一精度范圍內(nèi)的測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的處理將對(duì)分析結(jié)果的可信度有直接的影響。

已有大量的文獻(xiàn)和專(zhuān)著對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)處理的理論與方法進(jìn)行了研究和分析［1］。測(cè)量數(shù)據(jù)的處理在數(shù)學(xué)上通常表述為最優(yōu)問(wèn)題的求解。本文針對(duì)某一大功率汽輪機(jī)末級(jí)動(dòng)葉的測(cè)繪，對(duì)該動(dòng)葉的五齒樅樹(shù)型葉根測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，結(jié)合樅樹(shù)型葉根的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立了一種合理的最優(yōu)問(wèn)題求解模型，并采用差分進(jìn)化算法進(jìn)行求解，以解決此類(lèi)葉根測(cè)量數(shù)據(jù)的處理問(wèn)題。

1 樅樹(shù)型葉根測(cè)量數(shù)據(jù)處理的數(shù)學(xué)模型

1.1 樅樹(shù)型葉根的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

圖1是一種典型的五齒樅樹(shù)型葉根母線形式，也是本文測(cè)繪的葉根所采用的結(jié)構(gòu)形式，實(shí)際的葉根由母線通過(guò)旋轉(zhuǎn)或者沿指定方向的軸線延伸就可以得到。葉根母線上每個(gè)工作齒，由工作面、非工作面及由工作面到非工作面的過(guò)渡結(jié)構(gòu)組成。工作面和非工作面通常由直線組成，而過(guò)渡結(jié)構(gòu)則采用圓弧—直線—圓弧連接，實(shí)際上，過(guò)渡結(jié)構(gòu)也可以采用其他的形式。出于對(duì)力學(xué)性能要求的保證，在樅樹(shù)型葉根的設(shè)計(jì)和制造中，對(duì)工作面的加工要求要比非工作面的嚴(yán)格，而且工作面間的公差尺寸及間隙控制是非常嚴(yán)格的，這也意味著從測(cè)量數(shù)據(jù)在工作面的傾角及節(jié)距的一致性方面能夠反映出測(cè)量的準(zhǔn)確程度。本文所用到的測(cè)繪數(shù)據(jù)中，反映工作面特征的數(shù)據(jù)的一致性就非常好，因此可以采用簡(jiǎn)單的方法就確定了工作面的傾角和節(jié)距。以下的數(shù)學(xué)模型中就把工作面的傾角和節(jié)距作為約束條件進(jìn)行處理的。

圖1 五齒樅樹(shù)型葉根型線圖

1.2 數(shù)學(xué)模型的建立

對(duì)葉根的測(cè)量是在三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x上實(shí)現(xiàn)的，在固定z坐標(biāo)條件下，對(duì)母線軸線進(jìn)行測(cè)量得到一數(shù)據(jù)集合，該集合由119組 （x,y）坐標(biāo)點(diǎn)組成，因此，型線可以用y=f（x）的函數(shù)形式來(lái)描述。

從測(cè)量的數(shù)據(jù)特點(diǎn)來(lái)看，我們初步可以確定過(guò)渡結(jié)構(gòu)是采用圓弧—直線—圓弧連接的，過(guò)渡段與工作面或者非工作面間均是相切的關(guān)系，結(jié)合樅樹(shù)型葉根的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)特點(diǎn)，我們可以定義圖1中的各圓之間的幾何相關(guān)關(guān)系。即在理論設(shè)計(jì)型線中，T1，T2，T3，T4，T5各齒的工作面是完全一樣的，T1齒與其余各齒的非工作面略有區(qū)別。C1、C5、C9表示的圓半徑相同，而且C1圓心到C5圓心的距離與C5到C9圓心的距離相等，正好等于一個(gè)節(jié)距，其他的圓也有同樣的關(guān)系。此外，C1與C2圓相切的角度就是工作面的傾角θ1。因此，設(shè)定C1圓心為 （x1，y1）， 半徑為 r1， C2圓心為 （x2，y2），半徑為 r2， C3圓心坐標(biāo)為 （x3，y3）， 半徑為 r3， C4的半徑為 r4， 圓心為 （x4，y4）， C3和 C4外切線的傾角等于非工作面的傾角θ2，可見(jiàn)，母線的基本型線就可以由上述12個(gè)自由參數(shù)定義。根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，我們可以將測(cè)量數(shù)據(jù)映射到由這12個(gè)自由參數(shù)定義曲線上的相應(yīng)位置上。這樣，要求解這12個(gè)參數(shù)，我們就可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的一個(gè)最小值求解問(wèn)題，即：測(cè)量點(diǎn)偏離由該12個(gè)自由參數(shù)定義的曲線的距離最小。數(shù)學(xué)表述為：

定義點(diǎn)到直線的距離為Dis1，定義點(diǎn)到圓心的距離為Dis，點(diǎn)偏離圓弧的距離定義為Dis2=｜Dis-r｜，若認(rèn)為該點(diǎn)在弧線上的，則Dis1i=0，若認(rèn)為該點(diǎn)在直線上的，則認(rèn)為Dis2i=0，則

優(yōu)化變量為上述12個(gè)參數(shù)，同時(shí)根據(jù)設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，各r及θ2需要圓整。

在實(shí)際的優(yōu)化過(guò)程中，我們分兩次進(jìn)行優(yōu)化，第一次對(duì)r和θ2無(wú)圓整約束，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，對(duì)r和θ2進(jìn)行圓整處理進(jìn)行約束后進(jìn)行第二次優(yōu)化。

2 差分進(jìn)化算法 （DE）用于樅樹(shù)型葉根測(cè)量數(shù)據(jù)處理

進(jìn) 化 算 法 （Evolutionary algorithms， 簡(jiǎn) 稱(chēng)EAs），是模擬自然界的進(jìn)化和遺傳現(xiàn)象而提出的一類(lèi)隨機(jī)優(yōu)化算法，這類(lèi)算法已廣泛應(yīng)用于各種優(yōu)化問(wèn)題的求解。由Storn和Price為求解Cheby-shev多項(xiàng)式而提出的差分進(jìn)化算法 （Differential evolution，簡(jiǎn)稱(chēng)DE）[2]因其原理簡(jiǎn)單、受控參數(shù)少、算法結(jié)構(gòu)緊湊、操作簡(jiǎn)便，魯棒性強(qiáng)和優(yōu)秀的全局尋優(yōu)能力，已成為最好的進(jìn)化算法之一。

在DE算法中，通過(guò)差分算子，利用種群中多個(gè)個(gè)體的信息計(jì)算新個(gè)體，在完成對(duì)新個(gè)體適應(yīng)度的評(píng)價(jià)后進(jìn)行選擇操作生成新的種群。用表示第t代中第i個(gè)染色體：

可見(jiàn)在差分算子中只涉及兩個(gè)控制參數(shù)：變異算子 F和交叉算子 CR。其中 F， CR∈ ［0，1.0］，本文分別取0.7和0.5。r是 ［0，1.0］之間的隨機(jī)數(shù)。

圖2 DE算法流程圖

為了測(cè)試DE算法和計(jì)算程序的有效性，本文采用如下的函數(shù)來(lái)做測(cè)試：

圖3 函數(shù)y=f(x)的曲線圖

圖3是該函數(shù)在約束區(qū)域內(nèi)的變化曲線，從圖上可以發(fā)現(xiàn)，在該約束區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)多個(gè)極值，能很好的反映算法的尋優(yōu)能力。設(shè)種群數(shù)為50，最大迭代步數(shù)為100，在20步左右就達(dá)到最小值0.049740，與該函數(shù)在這一范圍內(nèi)的理論最小值相差無(wú)幾，可以作為問(wèn)題的全局最優(yōu)解?？梢?jiàn)，DE算法的尋優(yōu)能力是令人滿(mǎn)意的。

圖4 適應(yīng)度曲線

采用DE方法，對(duì)上述樅樹(shù)型葉根的12個(gè)參數(shù)進(jìn)行求解，設(shè)種群數(shù)為80，最大迭代步數(shù)為2000，對(duì)12個(gè)參數(shù)的搜索范圍的定義可以先根據(jù)原始測(cè)繪數(shù)據(jù)預(yù)估一個(gè)相對(duì)大的范圍，反復(fù)多次，最終優(yōu)化結(jié)果是一致的。從圖5的結(jié)果來(lái)看，計(jì)算結(jié)果是合理的。

圖5 樅樹(shù)型葉根擬合曲線圖

3 結(jié)論

本文結(jié)合樅樹(shù)型葉根的型線特點(diǎn)，將樅樹(shù)型葉根測(cè)量數(shù)據(jù)逆向工程問(wèn)題轉(zhuǎn)化成最優(yōu)問(wèn)題，并采用差分進(jìn)化算法進(jìn)行求解，計(jì)算結(jié)果表明：這一處理模式是合理的，這種模式同樣適用于其他形式的葉根測(cè)量數(shù)據(jù)處理;差分進(jìn)化算法很適合多約束條件下多參數(shù)的尋優(yōu)求解問(wèn)題。

[1]劉大杰,陶本藻,主編.實(shí)用測(cè)量數(shù)據(jù)處理方法.北京：測(cè)繪出版社,2000

[2]Storn R.On the usage of differential evolution for function optimization [A].BiennialConference of the North American Fuzzy Information Processing Society [C].1996.519-523

[3]宋立明.基于進(jìn)化算法的軸流式葉輪機(jī)械葉柵氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的研究 [D].西安交通大學(xué)博士學(xué)位論文，2006