求線性矩陣方程異類約束解的修正共軛梯度法

解培月,張凱院,薛彬

(1.西北工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,陜西 西安 710072; 2.中國科學(xué)院西安光學(xué)精密機(jī)械研究所,陜西 西安 710119;3.中國科學(xué)院大學(xué),北京 100049)

求線性矩陣方程異類約束解的修正共軛梯度法

解培月1,2,3,張凱院1,薛彬2

(1.西北工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,陜西 西安 710072; 2.中國科學(xué)院西安光學(xué)精密機(jī)械研究所,陜西 西安 710119;3.中國科學(xué)院大學(xué),北京 100049)

基于求解線性代數(shù)方程組共軛梯度法的基本思想,給出求線性矩陣方程異類約束解的修正共軛梯度法,并證明算法的有限步收斂性問題.利用該算法不僅可以判斷線性矩陣方程的異類約束解是否存在,而且在有異類約束解時,可通過選取特殊的初始矩陣,求得唯一極小范數(shù)異類約束解.同時,能夠給出指定矩陣在異類約束解集合中的最佳逼近矩陣.數(shù)值算例表明,該算法是有效的.

線性矩陣方程;異類約束解;修正共軛梯度法;最佳逼近

1 引言

約束矩陣方程問題是在滿足一定條件的矩陣集合中求矩陣方程的解,不同的矩陣方程或不同的約束條件都將導(dǎo)致不同的約束矩陣方程問題.此類問題在最優(yōu)化設(shè)計、參數(shù)識別、自動控制、圖像復(fù)原等許多科學(xué)計算領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用.近幾年,對此類問題的研究已取得了一些成果.某些學(xué)者針對不同的方程,對未知矩陣屬于同一矩陣集合的情形,采用不同的方法求得了其解或最小二乘解.如:文獻(xiàn)[1]針對矩陣方程AX B=C,文獻(xiàn)[2]針對一般線性矩陣方程

對未知矩陣屬于中心對稱矩陣集合的情形,分別采用廣義奇異值分解和迭代算法求得了相應(yīng)的解;針對矩陣方程AX B+CY D=E,對未知矩陣屬于對稱矩陣集合的情形,文獻(xiàn)[3]建立了求其相應(yīng)解的迭代算法.文獻(xiàn)[4-5]建立了求某種特殊最小二乘解的迭代算法;文獻(xiàn)[6]針對矩陣方程A1X1B1+A2X2B2=C的未知矩陣屬于自反和反自反矩陣集合的情形,綜述性的研究了求解的迭代方法.另外,針對矩陣方程組,對未知矩陣屬于自反矩陣集合的情形,文獻(xiàn)[7]也給出了相應(yīng)的求解方法.可以看出,近幾年中外學(xué)者對約束矩陣方程問題的研究一直沒有中斷.1998年,離散廣義系統(tǒng)穩(wěn)定性分析及控制中提出了Lyapunov方程在求最小二乘解的過程中,也會出現(xiàn)類似的某些未知矩陣相等的方程.對此,文獻(xiàn)[8]研究了大型線性矩陣方程AX B+CX D=F的參數(shù)迭代解法.本文以雙變量線性矩陣方程

2 問題 I的迭代算法

3 問題 I的極小范數(shù)解

由引理3知,u?是線性方程組(8)的唯一極小范數(shù)解,故(X?,Y?)是矩陣方程組(6)的唯一極小范數(shù)解,由定理1知(X?,Y?)是矩陣方程(1)的唯一極小范數(shù)約束3-7解,即問題Ⅰ的極小范數(shù)解.

綜上所述,應(yīng)用 MCG 3-7算法,對任意的初始矩陣 (X(1),Y(1))∈?3-7,若存在正整數(shù) k,使得 Rk?=O而 Zk=O,則問題Ⅰ不相容.若問題Ⅰ相容,則對任意的初始矩陣(X(1),Y(1))∈?3-7,均可在有限步計算后得到矩陣方程(1)的一組約束3-7解.特別地,若按式(7)選取初始矩陣,則可得到矩陣方程(1)的唯一極小范數(shù)約束3-7解.

4 問題 II的解

5 數(shù)值算例

用本文建立的 MCG3-7算法求矩陣方程 (1)的約束 3-7解和極小范數(shù)約束 3-7解,并給出指定矩陣在解集合中的最佳逼近矩陣 (M atlab 6.1軟件 -PIV 1.50GHz微機(jī)).終止準(zhǔn)則ε=10?9,給定矩陣

3 結(jié)論

本文以雙變量線性矩陣方程為例,建立了一種適用于求線性矩陣方程異類約束解的修正共軛梯度法,理論證明了算法的收斂性,數(shù)值算例驗證了其有效性.易從原理推得該算法適用于求解形式為:

的異類約束解問題,進(jìn)而拓展了該算法的適用范圍.并進(jìn)一步證明了MCG算法在求解約束方程問題上的優(yōu)勢:

(1)具有無條件收斂性,無論線性矩陣方程是否有解,該算法均能在有限步內(nèi)停止;

(2)具有廣泛適用性,不要求等價線性代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣正定、可逆或列滿秩;

(3)能自動判斷線性矩陣方程是否有某種異類約束解,有某種異類約束解時,可以求得一組異類約束解或極小范數(shù)異類約束解.該算法用于求線性矩陣方程組的異類約束解及最小二乘異類約束解問題的工作正在進(jìn)行.

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The modified con jugate grad ient m ethod for d iff eren t
constrained solu tion of linear m atrix equation

Xie Peiyue1,2,3,Zhang Kaiyuan1,Xue Bin2

(1.Department of App lied Mathematics,Northwestern Polytechnical University,Xi′an 710072,China; 2.X i′an Institute of Optics and Precision M echanics of Chinese Academ y of Sciences,X i′an 710119,China; 3.University of Chinese Academ y of Sciences,Beijing 100049,China)

Based on the con jugate gradientmethod of solving linear algebraic equations,amodified con jugate gradient m ethod for finding diff erent constrained solution is given to solve linear m atrix equation,and the convergence is proved.By thism ethod,not on ly the solvability of the equation can be determ ined autom atically, but when the equation has the corresponding solution,its least-norm diff erent constrained solution can be got by choosing special initialm atrix.M eanwhile,the optim al approxim ation of given m atrix is resolved from the solution set.Finally,num erical experim ents present that thism ethod is eff ective.

linearmatrix equation,diff erent constrained solution,modified conjugate gradientmethod, op tim al approxim ation

O29

A

1008-5513(2012)06-0792-11

2011-04-28.

國家自然科學(xué)基金(11071196,60808028).

解培月(1984-),博士生,研究方向：計算數(shù)學(xué)及高光譜圖像處理.

2010 M SC:65F10,15A 24