陸偉剛，周秀彩

（1．揚(yáng)州大學(xué) 水利科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州225127；2．江蘇省水利勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，江蘇 揚(yáng)州225009）

目前，城市化的發(fā)展直接或間接地改變著水環(huán)境，可用水資源日益減少，以致影響了人民的生活質(zhì)量和社會(huì)總體福利水平［1］，減污、治污工作迫在眉睫．為此，必須研究污染物在水中擴(kuò)散輸移的過程，其主要方法有理論分析、物理實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬等［2－6］．有關(guān)污染物的降解過程，國外對(duì)水質(zhì)模型研究較多［7－11］；國內(nèi)也開展了一些研究，如吳迪軍等［12］建立了水污染擴(kuò)散的二維數(shù)學(xué)模型，采用有限差分法求解水動(dòng)力方程和污染擴(kuò)散方程，獲得污染物濃度的時(shí)空分布；武周虎等［13］給出了河流污染物濃度的二維解析計(jì)算方法及污染物的無量綱濃度分布方程；李娜［14］結(jié)合WebGIS技術(shù)，提出了水污染事故應(yīng)急分析中的一維水體污染擴(kuò)散模擬實(shí)現(xiàn)方案．本文主要探討污染物橫向擴(kuò)散過程，對(duì)現(xiàn)有水力學(xué)理論公式進(jìn)行簡化，建立二維流場(chǎng)污染物擴(kuò)散的數(shù)學(xué)模型，以揭示污染物擴(kuò)散過程中期濃度在平面流場(chǎng)中隨時(shí)間的變化規(guī)律，為預(yù)報(bào)納污水域中水體受污染的程度、水質(zhì)的保護(hù)、水資源的開發(fā)和利用提供依據(jù)．

1 橫向擴(kuò)散濃度

污染物通過在水體中溶解擴(kuò)散以及隨流輸移而擴(kuò)大影響范圍，其與水體的混合過程通常可分為3個(gè)階段：第1階段是發(fā)生在排污口附近水域，通常稱為近區(qū)，其他2個(gè)階段發(fā)生過程距離排污口較遠(yuǎn)，稱為遠(yuǎn)區(qū)；第2階段可作為二維擴(kuò)散問題處理；第3階段可作為一維縱向離散問題處理．

在通常情況下，近區(qū)問題關(guān)聯(lián)因素眾多，須作為三維模型進(jìn)行研究，但在某些特定條件下可以化為二維模型處理．一般河道，其水深比河寬小得多，所以污染物在垂向的混合幾乎在瞬間完成，隨后主要是橫向擴(kuò)散過程．若污染物為中性物質(zhì)，接近納污水體重度，則三維擴(kuò)散可簡化為二維擴(kuò)散，本文著重討論污染物在特定條件下的二維擴(kuò)散問題．

假設(shè)明渠屬于理想的順直河流，則擴(kuò)散系數(shù)可視為常數(shù)；河流以縱向平流作用為主，可忽略二維擴(kuò)散方程［15］右邊第1項(xiàng)；垂向以混合擴(kuò)散作用為主，可忽略垂向平流作用，故二維擴(kuò)散方程左邊第3項(xiàng)也可忽略；因分子擴(kuò)散作用很小，故其方程第3，4項(xiàng)可忽略，則污染物的二維擴(kuò)散方程可變?yōu)?/p>

式中c為污染物濃度，t為污染物擴(kuò)散時(shí)間，U 為水流縱向平均流速，Ey為河流橫向擴(kuò)散系數(shù)，K 為污染物的衰減速度常數(shù)，x，y 分別為河流的縱向和橫向坐標(biāo)．

通常情況下污水連續(xù)排放，為時(shí)間連續(xù)源，本文著重分析連續(xù)點(diǎn)源排放問題．設(shè)投放物質(zhì)強(qiáng)度為m，則連續(xù)點(diǎn)源二維擴(kuò)散的解為

式中y0為污染點(diǎn)源與坐標(biāo)原點(diǎn)的橫向距離．對(duì)于不可降解物質(zhì)，K＝0，式（2）變?yōu)閏（x，y，t）＝設(shè)河道寬度為B，y0分別為0，0．3B，0．5B，0．7B時(shí)的污染物擴(kuò)散濃度分布示于圖1．由圖1可以看出：濃度峰值位于排放點(diǎn)處．若污水排放口在河道中心線上，則濃度的分布對(duì)稱于河道中心線．從實(shí)繪圖形分析來看，結(jié)論是合理的．污染物排放點(diǎn)定為坐標(biāo)原點(diǎn)，y0＝0，則c（x，y，t）＝為計(jì)算方便，取1 次反射，并忽略污染物降解項(xiàng)，得

圖1 y0 分別為0，0．3B，0．5B，0．7B 時(shí)的橫向濃度分布Fig．1 Abeam concentration distribution of pollutants with y0＝0，0．3B，0．5B，0．7B

2 橫向混合時(shí)間

設(shè)垂向擴(kuò)散完成的時(shí)間尺度為tz，橫向擴(kuò)散完成的時(shí)間尺度為ty，因tz與H2／（4Ez），ty與B2／（4Ey）成正比，所以

式中H 為水深，B 為河寬，Ey為橫向擴(kuò)散系數(shù)，Ez為垂向擴(kuò)散系數(shù)．通常取Ey＝0．6 Hu＊，Ez＝0．067 Hu＊，其中u＊為垂線上的渠底摩阻流速，則

河流具有代表性的深寬比為H／B＝1／30，于是

由此可見，污染物橫向擴(kuò)散時(shí)間的長短與其垂向擴(kuò)散的時(shí)間有關(guān)．

3 垂向混合時(shí)間

在通常情況下，污染物為連續(xù)源排放，本文討論與水體密度相當(dāng)?shù)奈廴疚锶苜|(zhì)，接納水體是明渠均勻流，河流含沙量較?。?/p>

工程中假定為順直明渠，擴(kuò)散系數(shù)粗略認(rèn)為是常數(shù)；對(duì)于河道縱向，平流作用遠(yuǎn)大于離散作用，所以污染物二維擴(kuò)散方程可以忽略右邊離散項(xiàng)；對(duì)于河道垂向，混合擴(kuò)散作用遠(yuǎn)大于平流作用，因此可以忽略污染物擴(kuò)散方程的左邊平流項(xiàng)；同橫向擴(kuò)散一樣，也可忽略右邊第3，4項(xiàng)，則污染物二維擴(kuò)散方程可變?yōu)?/p>

式中z為河流的垂向坐標(biāo)．

設(shè)m 為連續(xù)源單位時(shí)間投放的物質(zhì)強(qiáng)度，則時(shí)間連續(xù)點(diǎn)源擴(kuò)散方程可解為

式中z0為污染點(diǎn)源與坐標(biāo)原點(diǎn)的垂向距離．此時(shí)可粗略計(jì)算排污口下游控制斷面的污染物濃度，坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在污染源排放中心點(diǎn)處，z0＝0，僅反射1次，則

通常污染源多為表面排放，此時(shí)坐標(biāo)原點(diǎn)若設(shè)在污染源排放中心點(diǎn)處，則z0＝0．假設(shè)在水面（z＝0）及河底（z＝H）處完全反射，則那么式（9）可寫為

式中n為水面及河底反射次數(shù)．

對(duì)于連續(xù)排放的等強(qiáng)度污染源，其最大與最小濃度分別出現(xiàn)在水面與河底處．設(shè)c（x，0，t）為河道表面濃度，c（x，H，t）為河底濃度，則河底與水面的濃度比值為

定義污染物在近區(qū)垂向均勻混合距離lmin為污染排放點(diǎn)到垂向均勻混合點(diǎn)的縱向長度．取n＝1，由c（x，H，t）＝R c（x，0，t），列出方程

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

若某一方向上污染物濃度差在5%以內(nèi)，則可認(rèn)為該方向上污染物已完全均勻混合，此時(shí)取R＝95%，則污染排放點(diǎn)到垂向均勻混合點(diǎn)的縱向長度為

本文用文獻(xiàn)［16］的實(shí)驗(yàn)結(jié)果加以驗(yàn)證，比較情況列于表1．由表1可見，垂向均勻混合縱向距離的計(jì)算值與實(shí)測(cè)值結(jié)果較為接近．

表1 垂向均勻混合縱向距離的計(jì)算值與實(shí)測(cè)值比較Tab．1 Comparison between calculated and measured values for the fore－and－aft distance of vertical uniformity mixing

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