反饋魯棒H∞控制器的存在條件

李晶晶

（山東科技大學(xué)理學(xué)院 山東 青島 266590）

1 簡述(Simple Description)

時(shí)滯現(xiàn)象是自然界中普遍存在的現(xiàn)象,在控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和分析中如不考慮時(shí)滯的影響，有可能導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)的不穩(wěn)定。因此近年來時(shí)滯系統(tǒng)的研究已經(jīng)成為控制領(lǐng)域一個(gè)非常熱門的研究方向[1-3]，H∞控制是一種重要的魯棒控制方法，它要求在系統(tǒng)存在不能精確測量的外部干擾情況下，設(shè)計(jì)控制器有效抵消外來干擾的影響在一定水平之下。H∞控制無論在理論研究還是工程應(yīng)用方面都取得了巨大的進(jìn)展。縱觀現(xiàn)有文獻(xiàn)，當(dāng)系統(tǒng)方程中含不確定項(xiàng)，狀態(tài)和控制同時(shí)有時(shí)滯情形，其相關(guān)的H∞控制研究幾乎還是個(gè)空白。本文對狀態(tài)和輸入帶時(shí)滯的不確定性線性系統(tǒng)，利用線性矩陣不等式LMI（Linear Matrix Inequality）[4]的處理方法，給出了狀態(tài)反饋魯棒H∞控制器存在的條件。本文所設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋控器能夠使時(shí)滯系統(tǒng)不僅對參數(shù)不確定性具有魯棒性而且對外部擾動(dòng)滿足給定的衰減性能指標(biāo)。

2 問題描述(Problem Description)

考慮不確定線性時(shí)滯連續(xù)系統(tǒng)：

其中 x(t)∈Rn為狀態(tài)變量，u(t)∈Rm為控制變量，ω(t)∈Rn為有限能量的外部干擾，y(t)為被調(diào)輸出變量，時(shí)滯d≥0。

假設(shè)參數(shù)不確定性滿足匹配和范數(shù)有界條件：

式中：H，Hd，E1，E2，Ed為適維常值矩陣，F(xiàn)(t)為時(shí)變適維 Lebesgue可測函數(shù)矩陣，且滿足

若采用無記憶狀態(tài)反饋控制

則閉環(huán)系統(tǒng)為：

本文的問題描述是：對不確定時(shí)滯連續(xù)系統(tǒng)（1），給定H∞干擾衰減指數(shù)r，如何求出狀態(tài)反饋控制（3），對任意d≥0滿足：

⑴閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的;

⑵ 從外部干擾ω(t)到輸出y(t)的傳遞函數(shù)矩陣G(s)的H∞范數(shù)不超過給定的常數(shù)r，即在零初始條件x(t)=0，t∈［-d, ］0 時(shí)：

其中，r是一預(yù)先規(guī)定的常數(shù)。

如果滿足上述條件的狀態(tài)反饋控制器（3）存在，稱系統(tǒng)（1）在狀態(tài)反饋控制器（3）的作用下是具有H∞范數(shù)界r可靠魯棒鎮(zhèn)定的。

3 主要結(jié)果(Main Conclusion)

引理1[1]對如下線性時(shí)滯系統(tǒng)：

若存在對稱正定矩陣，使下列矩陣不等式成立：

則系統(tǒng)（6）具有性能 r。

引理2[2]對任意矩陣M，H和E為合適維數(shù)的實(shí)矩陣，且對于所有的 F(t)滿足 F(t)TF(t)≤I，我們有

M+HF(t)E+ETF(t)THT＜0

當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)ε＞0，使得：

M+εHHT+ε-1ETE＜0

引理 3[3]（schur’s 補(bǔ)引理）：實(shí)矩陣 N，M=MT，R=RT＞0,下列兩個(gè)式子是等價(jià)的：

定理1對系統(tǒng)（1）和給定的干擾衰減指標(biāo)r＞0，使得對所有允許的不確定性F（t），如果存在對稱正定矩陣X，Q和矩陣W，以及標(biāo)量ε1＞0,ε2＞0，使得以下矩陣不等式成立：

則系統(tǒng)（1）存在具有H∞性能r的無記憶狀態(tài)反饋魯棒控制器。若（）是矩陣不等式（8）的一個(gè)可行解，則是系統(tǒng)（1）的一個(gè)狀態(tài)反饋魯棒H∞控制器。

證明:要使系統(tǒng)（1）具有H∞性能指標(biāo)r，根據(jù)引理1，須有下列不等式成立：

根據(jù)引理[2]，式（9）成立，當(dāng)切僅當(dāng)存在標(biāo)量 ε1＞0,ε2＞0，使得下式成立：

將y1代入，利用Schur補(bǔ)性質(zhì)，有：

再利用Schur補(bǔ)性質(zhì)，有：

其中，X=P-1W=KP-1Q=P-1SP-1

從而定理得證。

4 結(jié)論(Conclusion)

針對狀態(tài)和輸入帶時(shí)滯的不確定性線性系統(tǒng)，利用線性矩陣不等式LMI（Linear Matrix Inequality），提出了反饋魯棒H∞控制器的存在條件。本文所設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋控器能夠使時(shí)滯系統(tǒng)不僅對參數(shù)不確定性具有魯棒性而且對外部擾動(dòng)滿足衰減的性能指標(biāo)。

［1］Zhang,W.H.,Chen,B.S.,Feedback stabilizability of nonlinear stochastic systems with state and control-dependent noise[M].The 4th Asian Control Conference,2002,to appear.

［2］Mao,X.,Robustness of exponential stability of uncertain stochastic differential delay equations[M].System&Control Letters,35,325-336,1998.

［3］何關(guān)玨.線性控制系統(tǒng)理論[M].沈陽:遼寧人民出版社，1982.

［4］程云鵬,張凱院,徐仲.矩陣論[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社，2002.