楊 鑫

(重慶理工大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院，重慶 400054)

在過去的幾十年里，基于模型的PID控制器設(shè)計研究發(fā)展迅速，提出了很多設(shè)計方法，例如連續(xù)循環(huán)法［1］、直接合成法［2］、內(nèi)?？刂品?(internal model control，IMC)［3-6］等［7-11］。其中 IMC-PID是應(yīng)用最廣泛的方法［11］，通過調(diào)節(jié)PID設(shè)計算法中的λ參數(shù)，可得到很好的控制效果。但是此過程需要先得到過程模型，并需要通過模擬或是工廠實驗來調(diào)節(jié)其參數(shù)，很費時間，工程代價也比較高。

為克服上述缺點，Campi等［12］提出了一種基于過程輸入輸出數(shù)據(jù)，不需要建立過程模型的PID控制器設(shè)計方法——虛擬參考反饋參數(shù)整定法(virtual reference feedback tuning，VRFT)。但是該方法的應(yīng)用只限于離散時間系統(tǒng)［12-13］。為此Yang等［14-15］將VRFT方法發(fā)展到連續(xù)時間系統(tǒng)，提出了一種基于數(shù)據(jù)的PID控制器的設(shè)計方法。此方法不需要建立過程模型和進行反復(fù)實驗來調(diào)節(jié)控制器參數(shù)，取得了很好的設(shè)計效果。Yang等［14-15］的研究表明，參考模型的選取對基于數(shù)據(jù)的PID控制器設(shè)計很重要。為研究不同參考模型對控制器設(shè)計效果的影響，本文采用2個參考模型對過程進行基于數(shù)據(jù)的PID控制器設(shè)計，并對計算結(jié)果進行分析比較。

1 基于數(shù)據(jù)的PID控制器設(shè)計

在基于數(shù)據(jù)的PID控制器設(shè)計中，需要用到一個參考模型，如圖1所示。

圖1 參考模型

參考模型T(s)表示一個反饋控制系統(tǒng)，其中包含了一個線性過程G(s)和PID控制器C(s)，如圖2所示。

控制器的設(shè)計目標(biāo)是令圖2中的反饋控制系統(tǒng)盡可能接近事先選定的圖1中的參考模型T(s)。

圖2 反饋控制系統(tǒng)

過程G(s)未知，但是其過程輸入輸出數(shù)據(jù)U(s)和Y(s)可以通過開環(huán)實驗得到。令s=jω，通過對過程輸入輸出數(shù)據(jù)進行離散傅里葉變換，得到在不同頻率下的輸入輸出數(shù)據(jù) U(jωi)和Y(jωi)，其中是離散傅里葉變換計算需要的頻率范圍的上限。最后控制器的設(shè)計目標(biāo)變?yōu)樵陬l率范圍 [ 0 ωmax]內(nèi)的最小化問題，見方程(1)。推導(dǎo)過程詳見文獻［14-15］。

其中:Re(·)和Im(·)分別表示復(fù)數(shù)矩陣(或者向量)的實部和虛部;θ是參考模型T(s)的調(diào)節(jié)參數(shù);Kc是比例增益;τI是積分時間;τD是微分時間。

對給定的θ，通過最小二乘法可得到方程(1)的解:

在給定的θ范圍內(nèi)，通過尋找最小的 J(θ)，也就是J(θ*)，其相應(yīng)的解W*(θ*)可用來計算PID控制器參數(shù)。

2 參考模型T(s)及ωmax

本文選取了2個參考模型，第1個模型是基于環(huán)路傳遞方程L(s)的參考模型［9］，另一個模型是二階加純滯后模型(SOPDT)［8］。

因為ωmax跟控制器設(shè)計緊密相關(guān)，可將ωmax設(shè)定為反饋系統(tǒng)的帶寬頻率ωb。由于過程模型和控制器未知，因此計算ωb的唯一方法是通過參考模型［14-15］，見式(8)。

2.1 參考模型1及ωmax

參數(shù)θ的范圍包含過程的時間延遲范圍，并與方程(1)的優(yōu)化求解有關(guān)。將參考模型1代入式(8)，對每個 θ，ωb可通過式(10)得到［14］。

2.2 參考模型2及ωmax

第2個參考模型是二階加純滯后模型:

在控制器設(shè)計中，參考模型［15］采用 τ =0.5θ，ξ=0.9或1.0。既然 τ 是 θ的函數(shù)，ξ是固定的，因此方程(1)也與參數(shù)θ相關(guān)，θ的范圍同樣包括過程的時間延遲范圍。

將參考模型2代入式(8)，對每個 θ，得到

基于數(shù)據(jù)的PID控制器設(shè)計方法分為以下幾步來執(zhí)行:

步驟1 從開環(huán)實驗中得到過程輸入輸出數(shù)據(jù)u(t)和y(t)，并且給定θ的范圍。

步驟2 求解方程(1)。對每個θ，根據(jù)參考模型可得到相應(yīng)的ωb，令ωmax=ωb。

步驟3 用離散傅里葉變換得出過程輸入輸出數(shù)據(jù)的頻率響應(yīng) U(ωi)和Y(ωi)。

步驟4 重復(fù)步驟2和3，直到在給定的θ范圍內(nèi)得到最小的J，其相應(yīng)的最優(yōu)結(jié)果W*可用來計算得到最佳的PID控制器參數(shù)。

3 算例

圖3 輸入輸出數(shù)據(jù)(G1(s))

通過使用相同的輸入輸出數(shù)據(jù)和θ范圍，分別用上述2個參考模型設(shè)計得到了PID控制器。圖4比較了控制器的目標(biāo)單位階躍伺服響應(yīng)。表1列出了控制器參數(shù)和其控制響應(yīng)的絕對誤差積分(IAE)。由此看出，采用基于L(s)的參考模型得到的控制器要比采用2階加純滯后模型T(s)得到的控制器產(chǎn)生的響應(yīng)更快，但是過沖更大一點，振蕩也稍多一點。從IAE結(jié)果比較看來，用這2個參考模型設(shè)計得到的控制器性能很相似。

表1 基于數(shù)據(jù)的PID控制器設(shè)計(G1(s))

圖4 基于數(shù)據(jù)的PID控制器的目標(biāo)單位階躍伺服響應(yīng)(G1(s))

除了第1個例子的G1(s)，也對下面所列的其他10個過程進行比較研究。對每個過程，采用相同的輸入輸出數(shù)據(jù)和θ范圍，用這2個參考模型分別設(shè)計了PID控制器。圖5比較了控制器產(chǎn)生的目標(biāo)單位階躍伺服響應(yīng)。通過比較可以看出，用基于L(s)參考模型設(shè)計的控制器要比第2個參考模型T(s)響應(yīng)稍快，但是過沖稍微大一點。表2比較了控制器參數(shù)和其產(chǎn)生的控制響應(yīng)的IAE數(shù)值。從IAE的比較來看，用這2個模型設(shè)計的PID控制器性能相當(dāng)。

表2 基于數(shù)據(jù)的PID控制器設(shè)計(G2(s)-G11(s))

圖5 基于數(shù)據(jù)的PID控制器的目標(biāo)單位階躍伺服響應(yīng)(G2(s)-G11(s))

4 結(jié)束語

介紹了在連續(xù)時間系統(tǒng)下基于數(shù)據(jù)的PID控制器的設(shè)計方法，并研究比較了參考模型對該設(shè)計方法的影響效果。通過采用2種不同形式的參考模型來設(shè)計基于數(shù)據(jù)的PID控制器，結(jié)果表明，設(shè)計得到的控制器性能相當(dāng)。也就是說，這2種參考模型都可以用來設(shè)計基于數(shù)據(jù)的PID控制器。該設(shè)計方法相對基于模型的IMC-PID控制器設(shè)計方法來說，不需要事先確定過程模型，也不需要迭代實驗來找出最佳的控制器調(diào)節(jié)參數(shù)，從而節(jié)省了時間，降低了工程成本。

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