楊海霞

(甘肅聯(lián)合大學(xué)師范學(xué)院，蘭州 730000)

加拿大著名生態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)家Clark.C.W［1］在研究可再生資源的最優(yōu)管理問題方面作出了比較突出的貢獻(xiàn)，他系統(tǒng)地闡明了人類對(duì)生物種群的開發(fā)應(yīng)追求經(jīng)濟(jì)利益和環(huán)境利益的統(tǒng)一，這樣才能實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展。毒物對(duì)生態(tài)群落的影響成為最近幾十年人們所關(guān)心的主要環(huán)境問題之一。海洋環(huán)境下的關(guān)于生態(tài)毒理學(xué)問題的數(shù)學(xué)研究已經(jīng)開始。最近學(xué)者們對(duì)由海洋生物種群自己釋放的毒物產(chǎn)生的生態(tài)毒理學(xué)效應(yīng)很感興趣［2-3］，已成為水生態(tài)的一個(gè)主要研究方向。Shukla等［4］對(duì)這類生態(tài)毒理學(xué)問題建立數(shù)學(xué)模型，并研究了毒物對(duì)生物種群的影響。

由文獻(xiàn)［2-3］知，在一個(gè)兩種群競爭的Lotka‐Volterra系統(tǒng)中，Maynard Smith加上了毒素物質(zhì)作用這一項(xiàng)，并且假設(shè)只有當(dāng)對(duì)方存在時(shí)每個(gè)種群就都會(huì)向?qū)Ψ结尫乓环N毒物來阻止對(duì)方的生長。受文獻(xiàn)［2-3］的啟發(fā)，文獻(xiàn)［5］將Maynard Smith的思想推廣到兩競爭的魚群中，研究了毒素環(huán)境下對(duì)兩競爭魚群之一進(jìn)行捕獲的優(yōu)化問題。本文將進(jìn)一步研究對(duì)兩競爭魚群進(jìn)行獨(dú)立捕獲的最優(yōu)策略問題［6-7］。

1 模型的建立

對(duì)文獻(xiàn)［5］中的模型進(jìn)行修正，假設(shè)兩魚群都遵守Logistic增長規(guī)律，且服從的是獨(dú)立捕獲模式，此時(shí)增長方程可以寫為

其中:x(t)、y(t)代表兩競爭種群在任一時(shí)間的 t時(shí)刻的種群密度;r1、r2、α1、α2、β1、β2、k1、k2都是正常數(shù);r1、r2代表兩種群的內(nèi)稟增長率，k1、k2是它們的環(huán)境容納量;β1、β2分別是y種群對(duì)x種群和x種群對(duì)y的毒素作用系數(shù)。兩種群為了一個(gè)外部食物資源而相互競爭，在沒有對(duì)方時(shí)，每個(gè)種群都按Logistic增長規(guī)律增長。r1/k1和r2/k2是種內(nèi)競爭系數(shù)。β1x2是y種群對(duì)x種群密度的一種功能反應(yīng)，它來自于由y種群為阻止x種群食用共同的的食物資源而產(chǎn)生的一種毒素物質(zhì)。因?yàn)閐(β1x2)/dx=2β1x＞0和d2(β1x2)/dx2=2β1＞0，所以當(dāng)競爭對(duì)手越多時(shí)，此種群釋放毒素的速率會(huì)增大。β2y2可以進(jìn)行類似的解釋。

這種捕獲方式是用E1的努力量捕獲x種群，用E2的努力量捕獲y種群。兩種群分別進(jìn)行捕獲。其中q1、q2是兩種群的捕獲能力系數(shù)，q1E1x和q2E2y稱為捕獲率函數(shù)。

2 平衡點(diǎn)及其性態(tài)分析

系統(tǒng)(1)可能的平衡點(diǎn)是

的解，即

其中點(diǎn)P3(x*，y*)滿足方程組:

以下對(duì)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的分析依據(jù)的是常微分方程定性理論知識(shí)［8］，推導(dǎo)過程類似于文獻(xiàn)［5］中對(duì)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的分析。內(nèi)稟增長率r和捕獲能力系數(shù)q之比r/q稱作是種群的BTP，因此，BTPx=r1/q1，BTPy=r2/q2。

定理1 E1＞BTPx，E2＞BTPy，則平衡點(diǎn) P0(0，0)是系統(tǒng)(1)的一個(gè)穩(wěn)定結(jié)點(diǎn);若 E1＞ BTPx，E2＜BTPy，則平衡點(diǎn) P0(0，0)是系統(tǒng)(1)一個(gè)不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn);若 E1＜ BTPx，E2＜ BTPy或者 E1＜ BTPx，E2＞BTPy，則平衡點(diǎn)P0(0，0)是系統(tǒng)(1)一個(gè)鞍點(diǎn)。

定理2 設(shè)

定理3 設(shè)

定理4

1)若毒素系數(shù)比 β1/β2滿足，則系統(tǒng)(1)的正平衡點(diǎn)P3(x*，y*)是局部漸近穩(wěn)定的。

2)若毒素系數(shù)比β1/β2滿足或，有A1x*+B1y*+C1＞0成立，則系統(tǒng)(1)的正平衡點(diǎn)P3(x*，y*)是局部漸近穩(wěn)定的。其中:

證明在證明平衡點(diǎn)P3(x*，y*)的局部穩(wěn)定性之前，首先說明正平衡點(diǎn)的存在性。

因?yàn)?P3(x*，y*)是

其中:

時(shí)，x*是上面這個(gè)方程的唯一正解。

由x*可得由y*的表達(dá)式可以看出，要使y*＞0，只有即時(shí)，y*＞0。當(dāng)然，為保證x*＞0，不等式r1-q1E1＞0也應(yīng)該成立。

由以上的分析知，當(dāng)不等式

同時(shí)成立時(shí)，唯一的正平衡點(diǎn)是存在的。

正平衡點(diǎn)P3(x*，y*)的局部穩(wěn)定性證明過程類似于文獻(xiàn)［5］中定理1的證明。

通過上面的討論分析，得到了以下重要結(jié)論:

結(jié)論1 毒素物質(zhì)對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性有影響，即兩種群釋放毒素的強(qiáng)度可以改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性(在無毒素釋放時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，而在有毒素釋放時(shí)系統(tǒng)是可以變成穩(wěn)定的)。

定理5 若條件成立，則系統(tǒng)(1)的正平衡點(diǎn)P3(x*，y*)是全局漸近穩(wěn)定的。

此定理的生物意義是:對(duì)2個(gè)相互見面時(shí)釋放毒素的競爭種群而言，即使對(duì)兩種群進(jìn)行獨(dú)立捕獲，但當(dāng)參數(shù)滿足一定條件時(shí)，系統(tǒng)不會(huì)出現(xiàn)周期振蕩，兩種群最終將保持在各自的平衡水平，持續(xù)生存。

定理6 系統(tǒng)(1)在第1象限內(nèi)不存在極限環(huán)。

定理6表明:對(duì)2個(gè)相互見面時(shí)釋放毒素的競爭種群而言，如果對(duì)兩種群進(jìn)行獨(dú)立捕獲，系統(tǒng)不會(huì)出現(xiàn)周期振蕩現(xiàn)象。

定理7 從R2+出發(fā)的系統(tǒng)(1)的所有解是一致有界的。

定理7表明:系統(tǒng)有很好的生物性態(tài)，從R2+出發(fā)的系統(tǒng)的所有解軌線最終都會(huì)進(jìn)入同一個(gè)區(qū)域內(nèi)。

3 最優(yōu)收獲策略

在可再生資源的商業(yè)開發(fā)中，最基本的問題是在現(xiàn)在和將來的收獲之間作出一個(gè)最優(yōu)的決策。如果從同這個(gè)問題有關(guān)的政治社會(huì)和哲學(xué)領(lǐng)域都去研究的話，這個(gè)問題非常困難，可能無法解決。不過，如果僅從經(jīng)濟(jì)觀點(diǎn)考慮此問題，就必須使用時(shí)間貼現(xiàn)這個(gè)基本工具來解決跨時(shí)間經(jīng)濟(jì)效益的問題，這在商業(yè)管理中是一種慣用的行為。Clark在文獻(xiàn)［1］中證明了應(yīng)用最大可持續(xù)經(jīng)濟(jì)租金這個(gè)概念是不現(xiàn)實(shí)的，因?yàn)樗喈?dāng)于使時(shí)間貼現(xiàn)率等于零。

要使種群資源開發(fā)有長期利潤，就需要考慮怎樣控制捕獲量才能使得一定時(shí)間內(nèi)捕獲所得到經(jīng)濟(jì)收入最大，并且使種群保持一個(gè)正常的生長繁殖能力。因此，為決定一個(gè)最優(yōu)收獲策略，本文的目標(biāo)是使一個(gè)連續(xù)時(shí)間段收入的現(xiàn)值(現(xiàn)值收入)達(dá)到最大，此現(xiàn)值由式(2)給出。

其中:J表示總收入的現(xiàn)值;δ表示瞬時(shí)年貼現(xiàn)率。此問題通過采用最優(yōu)控制理論中的Pontryagin最大值原理來求解。

此問題可歸結(jié)為如下最優(yōu)控制問題

其中:x、y是狀態(tài)變量;Ei，i=1，2是控制變量。

首先構(gòu)建這個(gè)問題的Hamilton函數(shù):

其中:λ1(t)和λ2(t)是伴隨變量;控制變量E1、E2在Hamilton函數(shù)H中是線性的。

假設(shè)控制約束沒有起到約束作用，也就是最優(yōu)平衡點(diǎn)不會(huì)出現(xiàn)在(Ei)min或(Ei)max處，就必有奇異控制，它滿足，于是有

因此，由方程(4)和(5)可以看出影子價(jià)格e-δtλi(t)，i=1，2在最優(yōu)平衡點(diǎn)處不會(huì)隨時(shí)間而變化。這樣它們滿足在無窮大處的橫截條件，即當(dāng)t→∞時(shí)，影子價(jià)格仍然有界。

這表明了對(duì)每個(gè)種群而言，每單位努力量收獲的使用者成本必須等于在平衡努力量水平下努力量將來邊際利潤的貼現(xiàn)值。

這里要導(dǎo)出這個(gè)問題的一個(gè)最優(yōu)平衡解。因?yàn)橐紤]的是一個(gè)平衡解，所以x、y、E1和E2在下面的計(jì)算步驟中按常數(shù)對(duì)待。

根據(jù)最大值原理，伴隨變量λ1和λ2必須滿足

上面這組方程可以重寫為

本文考慮的是最優(yōu)平衡解，因此可以令˙x=˙y=0，從而有

將方程(4)、(5)和(8)代入方程(6)，化簡后有

此方程可以看作是關(guān)于x的一元二次方程，很容易判斷它存在一個(gè)正根。

同理，將方程(4)、(5)和(9)代入方程(7)，經(jīng)化簡后有

把這個(gè)方程看作是關(guān)于y的一元二次方程，經(jīng)判斷它存在2個(gè)實(shí)根，一個(gè)為負(fù)根，一個(gè)為正根。從生態(tài)意義考慮，僅對(duì)正根感興趣。此正根為

將方程(12)代入式(10)，經(jīng)化簡后得

其中:

滿足方程(13)的正解(如果存在)就是最優(yōu)解x=x*，然后從方程(12)中可以得到y(tǒng)=y*，從而有

4 結(jié)論

無論是對(duì)兩競爭種群進(jìn)行獨(dú)立捕獲或是只對(duì)其中之一進(jìn)行捕獲，都得到了相似的結(jié)論:在一定條件下，可以保證兩種群的持續(xù)生存;兩種群釋放毒素的強(qiáng)度可以改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性;毒素物質(zhì)的釋放對(duì)平凡平衡點(diǎn)和邊界平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性沒有影響;系統(tǒng)不會(huì)出現(xiàn)周期振蕩現(xiàn)象;系統(tǒng)的所有解都是一致有界的;利用Pontryagain最大值原理得到了最優(yōu)的捕獲努力量和相對(duì)應(yīng)的最優(yōu)種群規(guī)模。

［1］Clark C W.Mathematical Bioeconomics，the Optimal Control of Renewable Resource［M］.New York:John Wiley sons Inc，1990.

［2］Kar T K，Chaudhuri K S.On non-selective harvesting of two competing fish species in the presence of toxicity［J］.Ecological Modeling，2003，161:125-137.

［3］Bandyopadhyay M.Dynamical analysis of a allelopathic phytoplankton model［J］.Jorunal of Biological Systems，2006，14(2):205-217.

［4］Shukla J B，Agrawal A K，Dubey B，et al.Existence and survival of two competing species in a polluted environment:a mathematical model［J］.J Biol Syst，2001，9(2):89-103.

［5］楊海霞.有毒素時(shí)兩競爭魚群的最優(yōu)捕獲策略［J］.甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，25(1):8-13.

［6］趙琳，雒志學(xué)，王利紅.在容量較小的污染環(huán)境中種群的最優(yōu)捕獲問題［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011(2):122-126.

［7］倪春青，胡志興.一類具有常數(shù)收獲率的具有功能性反應(yīng)捕食模型的定性分析［J］.重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010(3):235-239.

［8］馬知恩，周義倉.常微分方程的定性與穩(wěn)定性方法［M］.北京:科學(xué)出版社，2001.