馬 翠，程攀科，周先東，劉悅寧

(1.第三軍醫(yī)大學(xué) a.數(shù)學(xué)教研室;b.學(xué)員旅13隊(duì)，重慶 400038;2.重慶市墊江縣人民武裝部，重慶 408300)

CAGD/CAD系統(tǒng)是通過(guò)用多項(xiàng)式曲線或曲面來(lái)表示零件的形狀，進(jìn)而精確地制造出零件。阿基米德螺線是CAGD/CAD系統(tǒng)中很重要的幾何對(duì)象，但阿基米德螺線是空間 {1，sint，cost，tsint，tcost}中的曲線［1-5］，因此不能在CAGD/CAD系統(tǒng)中直接利用。通過(guò)用擬Bernstein基來(lái)表示阿基米德螺線，進(jìn)而構(gòu)造出多邊形來(lái)控制阿基米德螺線，可使其在CAGD/CAD系統(tǒng)中得到很好的利用。由于阿基米德螺線的精度隨其擬Bernstein基階數(shù)的增加而增加，而現(xiàn)有的文獻(xiàn)只考慮到5階的情況［6-7］，不一定滿足高精度的要求，因此對(duì)n階的情形進(jìn)行研究具有實(shí)際意義。本文通過(guò)對(duì)n階情形的討論，得到相應(yīng)的多邊形的頂點(diǎn)通式，從而確定了多邊形。工業(yè)生產(chǎn)時(shí)，綜合考慮經(jīng)濟(jì)因素和實(shí)際價(jià)值得到對(duì)應(yīng)的精度，進(jìn)而利用多邊形的頂點(diǎn)通式及面積差值法即可確定擬Bernstein基的最佳階數(shù)。運(yùn)用阿基米德螺線來(lái)構(gòu)造凸輪［8-10］，可使凸輪更加接近理想形狀，從而體現(xiàn)了阿基米德螺線的實(shí)際意義。

1 阿基米德螺線的表示

設(shè)R、Q是阿基米德螺線上的2點(diǎn)，O是極點(diǎn)，并且∠ROQ=α，則α是弦RQ對(duì)應(yīng)的張角，其中弦長(zhǎng)如圖1所示。

阿基米德螺線在直角坐標(biāo)系中表示為

圖1 阿基米德螺線的確定

2 擬Bernstein基的確定

由于阿基米德螺線必須要在多邊形的控制下才能在CAGD/CAD系統(tǒng)中很好地利用，故接下來(lái)首先討論確定多邊形所需要的擬Bernstein基及其相關(guān)性質(zhì)。定義擬Bernstein基的初始基［6-12］如下:

當(dāng)n≥4時(shí)，由文獻(xiàn)［8-12］可知:

擬Bernstein基具有如下性質(zhì)［6-10］:

性質(zhì)1 端點(diǎn)性質(zhì):0 是 ui，n(t)的 i階零點(diǎn)，α 是 ui，n(t)的(n-i)階零點(diǎn)，即{ui，n(t)}ni=0在端點(diǎn)處滿足:

性質(zhì)2求導(dǎo)公式

3 多邊形的確定

由擬Bernstein基及其相關(guān)性質(zhì)，可推出多邊形的頂點(diǎn)表達(dá)式，即確定多邊形。在直角坐標(biāo)系中，阿基米德螺線的參數(shù)方程可表示為

對(duì)文獻(xiàn)［6-7］中的結(jié)論進(jìn)行拓展，即可得到阿基米德螺線的n階擬Bernstein基，表示為

當(dāng)t=0和t=α?xí)r，分別對(duì)式(1)求1，2，…，n階導(dǎo)可得:

由式(2)可得到用n階擬Bernstein基表示的阿基米德螺線的多邊形頂點(diǎn)的通式為

得到多邊形的頂點(diǎn)后，利用文獻(xiàn)［6］中所述多邊形的畫法及向量與向量夾角的相關(guān)性質(zhì)，即可確定在n階擬Bernstein基表示下所得到的多邊形。

4 阿基米德螺線擬Bernstein基最佳階數(shù)的確定

阿基米德螺線的精度是隨其擬Bernstein基階數(shù)的增加而增加的。從工業(yè)生產(chǎn)加工成形的經(jīng)濟(jì)性角度出發(fā)，在滿足精度要求的前提下，確定最佳階數(shù)具有重要的實(shí)際意義。

本文以張角為α，弦長(zhǎng)為l的阿基米德螺線為例，討論其擬Bernstein基從4階向5階增加時(shí)，求出相應(yīng)的精度，進(jìn)而推導(dǎo)出求精度的公式。

針對(duì)同一段阿基米德螺線，S0是定值，因此擬Bernstein基的階數(shù)由4階變?yōu)?階后阿基米德螺線的精度

進(jìn)一步推廣，當(dāng)擬Bernstein基由k階變?yōu)?k+1)階時(shí)，只需將S0求出，即可求得阿基米德螺線的精度

通過(guò)上述推導(dǎo)方法(即面積差值法)，在給定精度條件下，即可得到相應(yīng)阿基米德螺線的擬Bernstein基的最佳階數(shù)。

圖2 控制4階和5階的阿基米德螺線的擬Bernstein基的多邊形圖形

5 實(shí)例驗(yàn)證

阿基米德螺線在CAGD/CAD系統(tǒng)中最重要的運(yùn)用就是構(gòu)造凸輪［6-10］。本文利用的一段阿基米德螺線進(jìn)行凸輪的構(gòu)造。利用本文方法求出在不同階的擬Bernstein基表示下的控制該段阿基米德螺線的多邊形的頂點(diǎn)，并確定多邊形，進(jìn)而利用面積差值法計(jì)算出相應(yīng)的精度。如表1所示。

從表1明顯看出，阿基米德螺線的精度隨擬Bernstein基階數(shù)的增加而增加。本文以95%的精度為例，選取相應(yīng)階數(shù)的擬Bernstein基表示的阿基米德螺線(即7階)用于構(gòu)造凸輪。

表1 不同階數(shù)表示的精度

首先畫出用7階擬Bernstein基來(lái)表示的阿基米德螺線;然后作出一條與其呈縱軸對(duì)稱的阿基米德螺線，并連在一起;最后再作出與該2段阿基米德螺線呈橫軸對(duì)稱的曲線，并連在一起，從而構(gòu)造出凸輪(圖3)。

6 結(jié)束語(yǔ)

討論了用n階擬Bernstein基來(lái)表示阿基米德螺線所得到的多邊形頂點(diǎn)的通式，進(jìn)而確定多邊形;同時(shí)利用面積差值法推導(dǎo)出了在各階擬Bernstein基表示下的計(jì)算阿基米德螺線的精度的公式，從而在給定精度的條件下，確定阿基米德螺線的最佳擬Bernstein基的階數(shù)。實(shí)例驗(yàn)證表明，本文的研究具有明顯的實(shí)際意義。

圖3 凸輪及其控制多邊形

［1］ZHANG Jien.C-curves:an extension of curves［J］.ComputerAided Geometric Design，1996，13(3):199-217.

［2］MAINAR E，PENA J M，SANCHEZREYES J.Shape preserving alternatives to the rational Bezier model［J］.Computer Aided Geometric Design，2001，18(1):37-60.

［3］胡晴峰，汪國(guó)昭.雙曲混合多項(xiàng)式形式的Ball曲線［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版，2004，31(6):625-630.

［4］JIN Yiming，WANG Guozhao.Generation and properties about quintic C-Bézier curves［J］.Applied Mathematics A Journal of Chinese Universities Serial A，2005，20(1):91-96.

［5］Paolo Mancosu，Andrew Arana.Descartes and the cylindrical helix［J］.Historia Mathematica，2010，37(1):403-427.

［6］張瑞坤，汪國(guó)昭.阿基米德螺線的擬Bernstein基表示［J］.計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2006，18(7):918-923.

［7］張瑞坤，汪國(guó)昭.阿基米德螺線的擬Bernstein基表示［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版，2007，34(2):163-167.

［8］張永崗，姚文席.阿基米德螺線超越離合器的楔角研究［J］.機(jī)械工程師，2007，10(11):17-18.

［9］Triantafyllidis G K，Stefanidis N G.Fracture Characteristics of Tensional-Torsional Fatigue Failure of Archimedes Helix［J］.J Fail Anal and Preven，2011，11(1):222-226.

［10］Xinhon Xiong，Haiou Zhang，Guilan Wang，et al.Hybrid plasma deposition and milling for an aeroengine double helix integral impeller made of superalloy［J］.Robotics and Computer-Integrated Manufacturing，2010，26(1):291-295.