非均勻復雜等離子體中的2+1維Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程

惠小霞，尤斌興

(甘肅省嘉峪關市第一中學，甘肅 嘉峪關 735100)

近年來塵埃等離子體中的非線性逆序結構(如孤波，激波)引起了人們極大的研究興趣［1-2］。塵埃等離子體是一種含有電子、離子和塵埃顆粒的電離氣體。目前，理論和實驗研究表明，帶電塵埃簇改變了原等離子體波的光譜，而且塵埃微粒帶電的動力學行為在塵埃等離子體中引入了許多新的特征［3］。在實際等離子體物理場中，背景場塵埃等離子體密度的分布是非均勻的，即，隨空間變化，而這一重要特征往往被人們忽略。Zhang 等運用約化攝動法研究了磁化塵埃等離子中激波的傳播，但是，沒有考慮非均勻性［4］。Xiao 等通過KdV Burgers 方程研究了非均勻塵埃等離子體中一維非線性波的演化［5］。最近，許多學者［6-7］研究了非均勻塵埃等離子中由ZK 方程描述的波的傳播特性。非均勻塵埃等離子體中的KP 方程還沒有人研究過。所以，非均勻塵埃等離子體中由KP 方程描述的非線性孤波的研究非常重要。

本文研究了非均勻性和高階擾動對復雜等離子體中非線性孤波的影響。運用約化攝動法得到了描述非均勻塵埃等離子體中孤波的2 +1 維非標準變系數(shù)Kadomtsev-Petviashvili (KP)方程，并且把此方程變?yōu)闃藴实? +1 維KP 方程，得到了KP 方程的孤立波解。

1 基本方程

非均勻碰撞塵埃等離子體由3 種成分組成:大質(zhì)量、帶負電量的塵埃顆粒;滿足玻爾茲曼分布的電子和離子。假定非均勻沿X 方向，無擾動時電中性條件為:ni0(x)=nd0(x)+ne0(x)，其中nd0(x)，ni0(x)，ne0(x)分別為無擾動的塵埃顆粒、離子和電子的數(shù)密度。對塵埃聲波，流體力學方程組為

電子密度和離子密度滿足波爾茲曼分布:

2 非線性方程的導出

在長波近似下，運用約化攝動法［8］推導出塵埃粒子所滿足的非線性方程。坐標伸展變換為

這里ε 是描述非線性強度的小參量，V0(x)是波的相速度。自變量的展開形式為

將式(5)代入式(1)，并比較ε 各冪次的系數(shù)，可得一次近似為

高次冪的連續(xù)性方程、X 方向的動量方程和泊松方程為

利用式(6)、式(7)消n2，u2和φ2，得到

其中系數(shù)A，B，C，D 分別為

方程(8)是描述非均勻塵埃等離子體中非線性塵埃聲孤波的非標準KP 方程。系數(shù)A，B，C 分別是非線性、色散系數(shù)，系數(shù)C 是由非均勻性引起的。

3 KP 方程的近似解

方程(8)的精確解很難給出，下面給出此方程的近似解。系數(shù)C 與非均勻性有關，所以有于是方程(8)變?yōu)闃藴实淖兿禂?shù)KdV 方程

其中系數(shù)A'是X 的函數(shù)，即隨X 的變化而變化，而系數(shù)B，D 沒有變化。如果不考慮高階橫向擾動，方程(9)就變?yōu)闃藴实腒dV 方程。為了得到方程(9)的孤立波解。設φ1=φ(θ)，對方程(9)作行波變換:即θ=kξ+lη-U0τ，得到孤立波解，

波的振幅φm和寬度δ 分別為是被塵埃聲速度無量綱化的波速，其值為常量。

4 結束語

本文研究了非均勻性和高階擾動對復雜等離子體中非線性孤波的影響。運用約化攝動法得到了描述非均勻塵埃等離子體中孤波的2 +1 維非標準變系數(shù)Kadomtsev-Petviashvili (KP)方程，并且把此方程變?yōu)闃藴实? +1 維KP 方程，得到了KP 方程的孤立波解。

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