劉庭洋，郭常寧，石寶樞，楊洪興

(1.上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240；2.浙江眾達(dá)傳動(dòng)股份有限公司，浙江 金華 321025)

球籠式等速萬(wàn)向節(jié)是前輪驅(qū)動(dòng)轎車(chē)的關(guān)鍵部件之一，其可以實(shí)現(xiàn)成夾角的輸入軸與輸出軸的等角速度傳動(dòng)。然而由于運(yùn)動(dòng)副配合需要[1]及其制造和裝配等方面的原因，其各零件之間存在間隙，其中軸向間隙以及由其形成的周向間隙是造成萬(wàn)向節(jié)內(nèi)部各零件竄動(dòng)與沖擊以及使用壽命降低的重要原因。文獻(xiàn)[2]對(duì)三球銷(xiāo)式等速萬(wàn)向節(jié)周向間隙的計(jì)算公式進(jìn)行了推導(dǎo)，給出了分析周向間隙的基本方法；文獻(xiàn)[3]對(duì)球籠式等速萬(wàn)向節(jié)周向間隙進(jìn)行了研究，分析了在給定制造誤差條件下周向間隙的變化規(guī)律；但這些研究均未涉及軸向間隙形成周向間隙的條件及計(jì)算方法。在此，針對(duì)球籠式等速萬(wàn)向節(jié)的結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)形式，計(jì)算了任意擺角和轉(zhuǎn)角下軸向間隙形成的周向間隙，并分析了周向間隙隨擺角和轉(zhuǎn)角的變化規(guī)律。

1 球籠式等速萬(wàn)向節(jié)的結(jié)構(gòu)

圖1為擺角為0時(shí)球籠式等速萬(wàn)向節(jié)的縱截面圖和橫截面圖。球籠式等速萬(wàn)向節(jié)由鐘形殼、星形套、保持架和6個(gè)均布鋼球構(gòu)成。鐘形殼和星形套上各有6條半雙心弧溝道。星形套、鐘形殼溝道曲率中心A和B等距地偏置在萬(wàn)向節(jié)傳動(dòng)中心O的兩側(cè)，偏心距為e；鋼球1的球心C在星形套中繞著A做圓周回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，其回轉(zhuǎn)半徑為R；6個(gè)鋼球由保持架約束，其球心均在D-D平面內(nèi)。球籠式等速萬(wàn)向節(jié)有兩組繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的球面副：一組為星形套外球面與保持架內(nèi)球面組成的球面副，另一組為鐘形殼內(nèi)球面與保持架外球面組成的球面副。

圖1 周向間隙的形成

如圖1所示，星形套初始時(shí)位于虛線(xiàn)位置，其球面中心與鐘形殼及保持架球面中心重合于O點(diǎn)，鋼球1與星形套溝道接觸于E點(diǎn)。由于在星形套外球面與保持架內(nèi)球面間存在徑向間隙[4]，假設(shè)鐘形殼和保持架不動(dòng)，星形套可在E點(diǎn)與鋼球1脫離接觸，沿OA方向移動(dòng)到實(shí)線(xiàn)位置，此時(shí)星形套外球面碰到保持架內(nèi)球面，星形套溝道曲率中心也由A點(diǎn)移動(dòng)到A0點(diǎn)。星形套沿OA方向移動(dòng)的最大位移即為星形套與保持架間的軸向間隙δt(δt=AA0)。顯然星形套移動(dòng)時(shí)未與6個(gè)鋼球發(fā)生干涉。星形套移動(dòng)后，鋼球與星形套溝道之間形成了周向間隙，星形套就可以相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。

鐘形殼不動(dòng)，星形套由虛線(xiàn)位置沿AO方向移動(dòng)，顯然星形套會(huì)與6個(gè)鋼球保持接觸，推動(dòng)鋼球和保持架一起移動(dòng)，直至保持架外球面碰到鐘形殼內(nèi)球面為止。星形套沿AO方向移動(dòng)的最大位移即為鐘形殼與保持架間的軸向間隙δk，星形套移動(dòng)后鐘形殼與鋼球之間同樣形成了周向間隙。形成周向間隙的方式可分為鐘形殼固定不動(dòng)，星形套移動(dòng)；或星形套固定不動(dòng)，鐘形殼移動(dòng)，星形套或鐘形殼移動(dòng)時(shí)都只能沿其軸線(xiàn)方向移動(dòng)。

2 空間坐標(biāo)系的建立

為了便于計(jì)算和分析需建立空間坐標(biāo)系，作如下假設(shè)：(1)鐘形殼、星形套的雙心弧溝道為理想溝道，不存在制造誤差；(2)假設(shè)鐘形殼不能擺動(dòng)，星形套可上下擺動(dòng)，其他情況可類(lèi)似推導(dǎo)。

如圖2所示，C點(diǎn)為鋼球1既未擺動(dòng)又未轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的球心位置，此時(shí)，星形套、保持架及鐘形殼三者的軸線(xiàn)重合于軸Ⅰ，鋼球1擺動(dòng)α角后球心由C點(diǎn)擺到了C0點(diǎn)位置，保持架和星形套的軸線(xiàn)也分別繞O點(diǎn)擺到了軸Ⅱ及軸Ⅲ的位置，星形套溝道中心也由A點(diǎn)擺動(dòng)到A1點(diǎn)，規(guī)定此時(shí)的擺動(dòng)方向?yàn)檎?/p>

圖2 空間坐標(biāo)系

(1)

在△A1OC1中A1C1=R，經(jīng)計(jì)算得

(2)

由(1)和(2)式得

(3)

(4)

3 α≠ 0時(shí)周向間隙的產(chǎn)生

(5)

或

(6)

由圖2知，第i+1個(gè)鋼球的轉(zhuǎn)角比第i個(gè)鋼球的轉(zhuǎn)角超前了60°，聯(lián)系(3)式即可得φi+1=φi(β+60°)，所以萬(wàn)向節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)60°后min{φ1,φ2,φ3,φ4,φ5,φ6}變成了min{φ2,φ3,φ4,φ5,φ6,φ1}，即min{φi}以60°為一變化周期。

做出α>0時(shí)φ1隨β的變化曲線(xiàn)可得

φ1<90°，β=0～60°，

(7)

做出α<0時(shí)φ3隨β的變化曲線(xiàn)同樣可得

φ3<90°，β=0～60°。

(8)

由(7)和(8)式可知，β=0～60°時(shí)，min{φi}<90°，由于min{φi}以60°為一變化周期，所以在任意α，β角下min{φi}<90°都成立，即(6)式恒不能滿(mǎn)足。

當(dāng)α>0，β=0～60°時(shí)，經(jīng)比較可得max{φi}=max{φ3,φ4}。圖3為α>0時(shí)φ3,φ4隨β的變化曲線(xiàn)，圖3中兩條曲線(xiàn)的上半部分即為max{φi}。

圖3 α>0時(shí)鋼球3，4的φ角隨β的變化曲線(xiàn)

由圖3可知，φa=φ4(0)=φ1(180°)；φb=φ4(30°)=φ1(210°)。則α>0，β=0～60°時(shí)max{φi}<90°等價(jià)于

(9)

β*滿(mǎn)足φ4(β*)=φ1(180°+β*)=90°，代入(3)式可得

(10)

類(lèi)似可推導(dǎo)得max{φi}以60°為一周期，顯然max{φi}關(guān)于α=0對(duì)稱(chēng)，這是由于萬(wàn)向節(jié)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性所致。根據(jù)max{φi}的變化特點(diǎn)聯(lián)立(3)，(4)，(9)，(10)式得

(11)

或

(12)

設(shè)使(11)～(12)式成立的(α,β)屬于集合Ω={(αk,βk)}，k=0，1,…,n。當(dāng)m>0,(α,β)∈Ω時(shí)，(5)式成立，即星形套可沿OA1方向移動(dòng)且不與6個(gè)鋼球發(fā)生干涉，在星形套外球面碰到保持架內(nèi)球面后不再移動(dòng)。

當(dāng)(α,β)不屬于Ω或m<0,(α,β)∈Ω時(shí)，(5)～(6)式均不能成立，則星形套無(wú)論沿OA1或A1O方向移動(dòng)至少會(huì)與一個(gè)鋼球發(fā)生干涉，即星形套會(huì)帶動(dòng)此鋼球一起移動(dòng)，由于萬(wàn)向節(jié)擺動(dòng)后鐘形殼溝道與星形套溝道是空間交錯(cuò)的[5]，所以星形套推動(dòng)鋼球移動(dòng)時(shí)，鋼球又會(huì)與鐘形殼溝道發(fā)生干涉，這就使得星形套實(shí)際上無(wú)法移動(dòng)?？傊?，只有當(dāng)(α,β)∈Ω時(shí)，星形套才能沿OA1方向移動(dòng)。

用類(lèi)似方法可推得，只有當(dāng)(α,β)∈Ω時(shí)，鐘形殼才能沿BO方向移動(dòng)，直至鐘形殼內(nèi)球面碰到保持架外球面為止。

4 軸向間隙形成的周向間隙的計(jì)算

如圖1所示，剖切線(xiàn)W-W與鋼球1固連，萬(wàn)向節(jié)擺動(dòng)α角轉(zhuǎn)動(dòng)β角后，剖切線(xiàn)W-W剖得的剖面Λ即為圖4(圖中鐘形殼未畫(huà)出)。O′y′z′面即位于面Λ上。設(shè)(α,β)∈Ω，如圖5所示，星形套可沿OA1方向由虛線(xiàn)位置移動(dòng)到相對(duì)于保持架的極限位置，相應(yīng)地星形套溝道曲率中心A1移動(dòng)到A3，星形套E端移動(dòng)到E′位置，顯然EE′//OA1。星形套與保持架間的軸向間隙δt=|EE′|。建立動(dòng)坐標(biāo)系O″x″y″z″，坐標(biāo)原點(diǎn)O″位于A3點(diǎn)，x″軸與x′軸平行(未畫(huà)出)，y″軸與直線(xiàn)A3C1重合，z″軸由右手定則產(chǎn)生，則O″x″y″z″坐標(biāo)系可看作是O′x′y′z′坐標(biāo)系沿z′軸平移位移d后，再繞移動(dòng)后的x′軸旋轉(zhuǎn)90°-γ2角后所得。

O″x″y″z″坐標(biāo)系到O′x′y′z′坐標(biāo)系的四階變換矩陣為

(13)

式中：d=e+δt。

過(guò)點(diǎn)E，E′作垂線(xiàn)分別交軸Ⅲ于F，F(xiàn)′點(diǎn)。由幾何關(guān)系可得

(14)

式中：Bt為星形套外球面中心至左端面的距離；Rt為星形套外球面徑和保持架內(nèi)球面徑的公稱(chēng)值；εt為星形套與保持架間的徑向間隙。

在△A1A3C1中，∠A3A1C1=180°-φ1，設(shè)A3C1=l，又A1C1=R，A1A3=δt，由余弦定理知

(15)

式中：l為星形套的溝道曲率中心與鋼球球心的距離。

如圖4所示，在O′y′z′坐標(biāo)系中，線(xiàn)段A3C1與線(xiàn)段A1C1在y′軸上的投影相等，即

lsinγ2=Rsinφ1，

則

(16)

實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中一般使用周向間隙角來(lái)評(píng)價(jià)周向間隙的大小，周向間隙角等于周向間隙除以接觸點(diǎn)到驅(qū)動(dòng)軸線(xiàn)的距離。為了計(jì)算周向間隙角，應(yīng)確定鋼球哪個(gè)部位與星形套之間的間隙最小，作無(wú)數(shù)條平行于x′軸的直線(xiàn)分別交同一側(cè)的鋼球和星形套溝道于J1，K1，J2，K2，…，求得所有線(xiàn)段中|JK|的最小值即為鋼球與星形套的最小間隙。如圖4所示可用一個(gè)簡(jiǎn)便的方法來(lái)計(jì)算，過(guò)點(diǎn)A3作垂直于Λ面的剖面將鋼球與星形套切成無(wú)數(shù)個(gè)面，計(jì)算出每個(gè)剖面上圓和雙心弧的最小間隙，比較這些間隙值，最后得到鋼球與星形套之間的最小間隙。根據(jù)星形套溝道的特點(diǎn)，可知過(guò)直線(xiàn)A3C1所做的剖面上，圓和雙心弧的最小間隙即是鋼球與星形套之間的最小間隙。

圖4 軸向間隙的計(jì)算

沿直線(xiàn)A3C1作垂直于Λ平面的剖面φ1，如圖5所示，鋼球與星形套溝道在φ1面上的投影分別為圓1和雙心弧1，圓1的圓心為C1，Q點(diǎn)為與雙心弧1相切的圓的圓心。雙心弧的溝道曲率半徑為rs,雙心弧溝道偏心距為es，鋼球的半徑為r。作平行于x″軸的直線(xiàn)分別交圓1和雙心弧1于G′，G點(diǎn)和H，H′點(diǎn)，交y″軸于M點(diǎn)。

圖5 圓和雙心弧間的間隙示意圖

由圖5可知，圓1的方程為

x″2+(y″2-l)2=r2，

(17)

x″>0時(shí)，雙心弧1的方程為

(18)

在O″x″y″坐標(biāo)系中，設(shè)G點(diǎn)縱坐標(biāo)為y″，由(17)～(18)式可得

(19)

令Δl=GH,由(19)式可得函數(shù)Δl為

(20)

對(duì)Δl求導(dǎo)

(21)

將(21)式代入(20)式，得最小間隙為

(22)

將(21)式代入(19)式可得G點(diǎn)在O″x″y″z″坐標(biāo)系上的坐標(biāo)為

(23)

在圖4中過(guò)點(diǎn)M作垂直于z′軸的剖面φ2，φ2面與z′軸交于N點(diǎn)，顯然φ2面平行于O′x′y′面。由于直線(xiàn)HH′∥x′軸，所以直線(xiàn)HH′位于φ2面上，即點(diǎn)G，G′和點(diǎn)H，H′位于φ2面上，如圖6所示。鋼球與星形套溝道在φ2面中的投影分別為圓2、雙心弧2，圓2的圓心為C7。線(xiàn)段GH的長(zhǎng)度即是鋼球與星形套的最小間隙，其局部放大圖如圖6b所示。

通過(guò)轉(zhuǎn)換矩陣M將G點(diǎn)由O″x″y″z″坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到O′x′y′z′坐標(biāo)系上，聯(lián)立(13)，(16)，(23)式可解得G點(diǎn)在O′x′y′z′上的坐標(biāo)為

(24)

(25)

圖6 圓和雙心弧間的周向間隙計(jì)算示意圖

(26)

由(24)～(26)式得

(27)

|GN|即為接觸點(diǎn)G到星形套軸線(xiàn)的距離。在曲邊△GPQ中，∠GQP=90°，∠HGP=ω1，∠HGQ=ω2，由余弦定理知|GQ|=|GH|cosω2=|GR|cos(ω2-ω1)，則鋼球與星形套之間的周向間隙即弧長(zhǎng)|GP|為

(28)

所以星形套與鋼球之間的周向間隙角

(29)

5 計(jì)算示例與分析

現(xiàn)以星形套與鋼球之間的周向間隙角θ1為例進(jìn)行分析，鐘形殼與鋼球之間的周向間隙角可作類(lèi)似分析。某球籠式等速萬(wàn)向節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)為：εt=0.07 mm，Rt=29.35 mm，Bt=10.3 mm，rs=9.08 mm，es=0.246 4 mm，r=8.731 5 mm，R=30.4 mm，e=4.5 mm。由(11)式可知，|α|<16.84°時(shí)軸向間隙與周向間隙存在，由(14)式可得軸向間隙δt=0.099 3；由(12)式知，16.84°<|α|<19.47°時(shí)，只有在β位于某些區(qū)間時(shí)軸向間隙與周向間隙存在，隨著|α|的增大，這些區(qū)間逐漸變小，當(dāng)|α|>19.47°時(shí)軸向間隙與周向間隙均不存在。

圖7 周向間隙角隨軸向間隙的變化規(guī)律

當(dāng)α=0～16.84°，β=0～360°時(shí)，單個(gè)鋼球θ1的變化率k1的三維變化規(guī)律如圖8所示。由圖可知，萬(wàn)向節(jié)未擺動(dòng)時(shí)，k1為一條直線(xiàn)，隨著萬(wàn)向節(jié)擺角的逐漸增大，k1由一條直線(xiàn)變?yōu)橛嘞仪€(xiàn)且曲線(xiàn)的波幅越來(lái)越大。當(dāng)α=16.84°，β=0或360°時(shí)，k1達(dá)到最大值31.42；當(dāng)α=16.84°，β=180°時(shí)，k1達(dá)到最小值1.078。萬(wàn)向節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)一周，k1隨β角的變化出現(xiàn)一次波動(dòng)，k1在β=0或360°(以鋼球1的起始角度為0)時(shí)取得最大值，這是由于鋼球的φ角在β=0或360°時(shí)取得極小值。將(15)式化為二階麥克勞林公式為

圖8 單個(gè)鋼球k1的三維變化規(guī)律

(30)

由(30)式可知，鋼球的φ角取得極小值時(shí)，一次項(xiàng)系數(shù)cosφ取得極大值，這就使得星形套溝道曲率中心與鋼球球心的距離l的變化率取得極大值，而k1與l的變化率成正比；k1在β=180°時(shí)取得極小值，這是由于鋼球的φ角在此時(shí)取得極大值，同理可知，此時(shí)l的變化率取得極小值。

考慮到6個(gè)鋼球相互制約，因而，周向間隙角θ1隨軸向間隙δt的實(shí)際變化率應(yīng)為6個(gè)鋼球θ1的變化率k1的最小值。圖9為α=0～16.84°，β=0～360°時(shí)，實(shí)際變化率k1隨α和β的變化規(guī)律。由圖9知，α=0時(shí)實(shí)際變化率k1為一條直線(xiàn)且最大值為16.88，隨著α的增大，實(shí)際變化率k1減小，當(dāng)α接近16.84°，k1趨近于零。萬(wàn)向節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，實(shí)際變化率k1共出現(xiàn)6次波動(dòng)，其中最大值分別出現(xiàn)在β=30°，90°，150°，210°，270°及330°(以鋼球1的起始角度為0)位置，最小值分別出現(xiàn)在β=0，60°，120°，180°，240°及300°位置。由θ1=k1δt可知，隨著α的增大實(shí)際變化率k1減小，意味著軸向間隙引起的實(shí)際周向間隙角θ1隨著α的增大而減小，所以增大擺角可有效減小由軸向間隙形成的周向間隙；實(shí)際變化率k1的6次波動(dòng)即是軸向間隙引起的實(shí)際周向間隙角θ1的6次波動(dòng)，而這6次波動(dòng)正是導(dǎo)致萬(wàn)向節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)內(nèi)部各零件竄動(dòng)與沖擊以及使用壽命降低的重要原因。總的周向間隙角θ=θ1+θ2，θ2與θ1有著相同的變化規(guī)律，只是大小不同。

圖9 實(shí)際變化率k1的變化規(guī)律

6 結(jié)論

(1)當(dāng)擺角α大于某一值(20°左右)時(shí)，軸向間隙與周向間隙角均為零，在擺角、轉(zhuǎn)角不變時(shí)，周向間隙角隨軸向間隙變化的曲線(xiàn)為一條凸曲線(xiàn)，在軸向間隙的實(shí)際范圍內(nèi)，該曲線(xiàn)可近似為一條直線(xiàn)。

(2)單個(gè)鋼球的周向間隙角θ的變化率k隨著擺角α和轉(zhuǎn)角β的變化而變化。當(dāng)α=0時(shí)，k為一定值；當(dāng)α≠0時(shí)，k隨著β的變化呈余弦曲線(xiàn)變化；k在β為0和360°時(shí)取得極大值，在180°時(shí)取得極小值。

(3)實(shí)際變化率k隨著α的增大總體上有一個(gè)由大變小的趨勢(shì)。萬(wàn)向節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)一周，實(shí)際變化率k共出現(xiàn)6次波動(dòng)，其中波峰分別出現(xiàn)在β=30°，90°，150°，210°，270°及330°位置上，其中波谷分別出現(xiàn)在β=0，60°，120°，180°，240°和300°位置上，而這6次波動(dòng)是造成萬(wàn)向節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)內(nèi)部各零件竄動(dòng)與沖擊以及使用壽命降低的重要原因。