趙學勝，范德芹，王嬌嬌，王 磊

1.中國礦業(yè)大學（北京）地球與測繪工程學院，北京 100083；2.北京師范大學 資源學院，北京 100875

1 引 言

隨著空間數據采集技術的飛速發(fā)展和全球經濟一體化的不斷深入，許多應用領域如全球環(huán)境變化監(jiān)測、災害的預報預警、資源可持續(xù)開發(fā)、大型工程設計、國防安全乃至戰(zhàn)爭、“數字地球”等，越來越頻繁地使用大范圍（甚至全球）高分辨率地形數據進行分析決策。但是，由于受當前的計算機硬件及網絡的限制，為了提高顯示效率并實現全球DEM數據的無縫繪制和渲染，就需要在保證地形精度的前提下進行DEM格網簡化，即構建全球多分辨率DEM表達模型。這樣就不可避免地在相鄰不同分辨率DEM格網之間產生裂縫，因而消除鄰近格網間的裂縫成為全球地形多分辨率連續(xù)表達的關鍵問題之一［1］。

目前傳統(tǒng)的裂縫消除方法主要有：垂直邊緣法、漸變法、調整高程值法等。垂直邊緣法（vertical skirt）［2－4］即在塊的邊界上建立一個由地表到水平面的垂直外包體，當有塊間裂縫存在時，在視覺上裂縫將被“垂直裙”擋住，但并未從本質上消除。此法只適用于不同分辨率分層加載格網的情況，不適用于消除同一層次不同分辨率格網簡化時產生的裂縫。漸變法［5－11］采用限制性四叉樹（即控制鄰近格網的剖分層次差），再通過平滑數據、增減節(jié)點或網格線等方式實現裂縫消除。該方法要求相鄰地塊的剖分層次差不能超過1，并需要時刻檢測邊界，計算量大［12－13］，若用于全球會產生大量冗余三角形。調整高程值法［14－15］通過調整裂縫處節(jié)點的高程值實現無縫拼接，會導致T型節(jié)及地形失真，也會帶來繪制時的光照不連續(xù)現象，對于有些顯卡也可能導致一些空洞小點。其他方法還有：自適應網格法［16］、簇依賴（cluster dependencies）法［17］及跳點法［18］等。

上述研究大都針對局部地形進行可視化操作，若應用于全球，將可能大大增加數據量，尤其在南北兩極處，將會出現大量的數據冗余，造成不必要的計算資源消耗，降低顯示效率［19］。針對上述問題，本文擬采用全球退化四叉樹（degenerate quadtree grid）格網作為實現全球多分辨率DEM格網無縫表達的構模框架。全球DQG是一種類似經緯度格網的全球離散格網系統(tǒng)，不同的是涉及極點的格網退化為三角形，而這種退化是規(guī)則的和自適應的，既可以直接利用以經緯度格網為參考系的各種新舊數據源，又避免了經緯度格網的非均勻性和極點奇異性問題，且易于構建空間鄰近關系和檢索機制［20］。本文重點探討全球退化四叉樹的層次分塊構建方法，設計了由于格網簡化所產生的各類裂縫自適應消除算法。最后，通過屬性渲染，實現了全球多分辨率DEM格網的無縫可視化表達。

2 基于退化四叉樹的全球分塊結構及格網簡化

2.1 球面退化四叉樹格網剖分原理

球面退化四叉樹格網的初始剖分和QTM（quaternary triangular mesh）一樣，選取球內接正八面體作為球面格網劃分的基礎，其頂點占據球面主要點（包括兩極），而邊的投影則與赤道、主子午線和90°、180°、270°子午線重合，首次剖分將球面劃分成8個等正球面三角形（亦稱八分體）。在進一步對每一個初始八分體（三角形）進行細分時，首先對初始三角形3個頂點的經緯度進行兩兩平分，得到3個新點（這3個點位于球面上），將三角形兩腰上的兩個新點彼此連成一條緯線，再將該緯線的中點與另一新點彼此連成一條經線，這樣就形成了一個新的球面三角形和兩個四邊形，如圖1（a）所示；在第二層次，對于三角形部分按第一次剖分的方法進行剖分，對于四邊形部分，將四邊形4個頂點的經緯度進行兩兩平分，得到4個新四邊形，如圖1（b）所示；在第三層次依此類推，如圖1（c）所示；如此遞歸進行，直到滿足一定的分辨率要求為止，詳細請參考文獻［17］。

圖1 球面退化四叉樹層次剖分Fig.1 Hierarchical partition of spherical degenerate quadtree grid

2.2 DQG球面分塊四叉樹結構模型

下面在球面DQG剖分的基礎上對八分體進行分塊，構建球面DQG分塊四叉樹結構。當剖分層次為4時，如圖2所示，將北半球的一個八分體（已劃分為三角形）剖分成10個部分。由于八分體結構的對稱性，在用四叉樹方法生成格網時，只需考慮八分體的一半即可，另一半與其結構相同。以八分體左側部分為例，將其劃分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ5個地塊。塊Ⅰ為三角形，對應為極點附近三角形塊；塊Ⅱ為四邊形塊，對應為非四叉樹四邊形塊，其上側鄰近格網為極點三角形塊Ⅰ，下側鄰近格網為四叉樹塊Ⅲ；塊Ⅲ的上側鄰近格網為非四叉樹四邊形塊Ⅱ，下側鄰近格網為四叉樹塊Ⅳ；塊Ⅳ上側鄰近格網為四叉樹塊Ⅲ，下側鄰近格網為四叉樹塊Ⅴ；四叉樹塊Ⅴ上側鄰近格網為四叉樹塊Ⅳ，下側鄰近格網為南半球八分體中與其層次相同的四叉樹塊。在此八分體中，極點三角形塊Ⅰ和Ⅹ、非四叉樹四邊形塊Ⅱ和Ⅸ不需要簡化，因其已屬最簡形式，只有在去除所有頂點高程近似相等的格網或去除海面格網（各頂點高程均為0）時才考慮將其去除；對于四叉樹塊Ⅲ、Ⅷ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ 和Ⅶ，則需考慮用四叉樹格網細分簡化方法進行簡化。

球面分塊四叉樹模型的構建方法如圖2所示。在一個八分體中，四叉樹塊Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ和Ⅷ 均視為球面八分體的一個地塊。將每一地塊的中心點作為根節(jié)點，從這個根節(jié)點出發(fā)，檢查根節(jié)點是否滿足某種分割條件，即根據格網4個頂點與其各邊中點高差是否在閾值內，若在閾值內則不再對格網進行細分，并將其作為葉節(jié)點保存；否則把根節(jié)點遞歸地不斷分割成相等的4個節(jié)點區(qū)域，直到不能再分割為止，若一直不在閾值內就細分到設定的最高層次。對于八分體中的非四叉樹塊Ⅱ、三角形塊Ⅰ，因其已經為最簡形式，所以不需對其繼續(xù)分割。在DQG剖分方法中，全球是由8個八分體構成的，因而當剖分層次為4時，將全球剖分成16個極點三角形塊，16個極點附近四邊形塊，48個四叉樹地塊。

圖2 北半球的一個八分體（剖分層次為4）Fig.2 An octahedron of northern hemisphere（partition level is 4）

該方法可以避免生成多余三角形，最大限度地實現格網簡化目標。但這樣在節(jié)點拼接處會產生格網分辨率差大于1的復雜裂縫。此外，由于是對全球進行分塊退化四叉樹分割，在各個分塊間進行拼接時也將產生不同類型的裂縫，下節(jié)重點討論裂縫的類型及消除方法。

3 多分辨率格網裂縫的自適應消除方法

對于節(jié)點分辨率層次不同的情況，消除不同類型的裂縫通常有兩種方法：在拼接處增加一條邊，或去掉一條邊。相對來說，第1種方法更復雜，但是也更全面，適用于拼接處兩個節(jié)點的分辨率相差任意大的情況。第2種方法則更加簡單，但它要求拼接處的兩個節(jié)點的層次差距最多不超過1。本文綜合采用了這兩種消除裂縫的方法，并充分利用四叉樹索引結構的特點，對格網節(jié)點進行搜索，分別對四叉樹塊內、四叉樹塊間及四叉樹塊與非四叉樹塊間的裂縫進行了消除。

3.1 四叉樹塊內裂縫的消除方法

根據四叉樹塊內簡化格網與鄰近格網相差的層次不同，裂縫的消除分為兩種情況：一種是與鄰近格網相差一個層次，另一種是相差兩個及以上層次。

3.1.1 鄰近格網相差一個層次

此時去掉1條邊，將相鄰的葉節(jié)點的兩個子三角形進行合并，就可以消除裂縫，具體如圖3所示。

四叉樹塊內簡化格網abcd與未簡化格網adgf相差一個細分層次，即簡化格網abcd的寬度為未簡化格網adgf的兩倍。根據設定的四叉樹節(jié)點可知，簡化格網abcd的中心點o為葉節(jié)點，未簡化格網adgf的中心點e為根節(jié)點，根據設定的四叉樹細分條件，eo之間距離為格網adgf寬度的兩倍，此時若o點為根節(jié)點則將三角形ade細分，連接ep點；若o為葉節(jié)點則不再將三角形ade細分，不連接ep點。類似的，對于簡化格網abcd與其下側、左側、右側鄰近的未簡化格網層次相差1的情況，均采用此法消除裂縫。

3.1.2 鄰近格網相差兩個及以上層次

當相鄰節(jié)點細分層次超過1時，消除裂縫的原理是：先根據3.1.1的方法消除相鄰節(jié)點間相差一個層次的裂縫，然后根據四叉樹節(jié)點之間的關系，搜索到已簡化的格網，再分別按層次搜索與其鄰近的上側、下側、左側、右側相同寬度（即相同細分層次）的格網節(jié)點的標識。若相鄰格網寬度相同，則不需要消除裂縫；若相鄰格網寬度大于簡化的格網，亦不需要消除裂縫；若相鄰格網寬度小于簡化的格網寬度的1／2，則根據節(jié)點標識記錄裂縫點，并同時存儲裂縫三角形的坐標，最后繪制三角形時讀出裂縫三角形的坐標文件，實現裂縫的消除繪制與顯示。

如圖4（a）所示，以簡化的四邊形abcd為例，只考慮四邊形abcd格網上側相鄰的三角形A、B。由于P點高程插值后不一定與直線ad內插中點的高程相等，從而格網簡化后可能產生裂縫三角形apd，若要對其進行消除，則需要補充繪制三角形apd。圖4（b）所示為消除格網abcd簡化引起的裂縫后的效果。采用同樣方法進行下側鄰近、左側鄰近、右側鄰近的四叉樹格網內部裂縫的消除。

圖4 塊內簡化格網與鄰近格網相差兩個及以上層次的裂縫消除Fig.4 Level difference between adjacent grids is two or more

3.2 塊間裂縫的消除方法

根據裂縫沿緯度方向還是經度方向不同，塊間裂縫分為上下塊間裂縫和左右塊間裂縫，下面首先給出上下裂縫的不同類型及相應的消除方法。如圖2所示，上下塊間裂縫分為以下幾種不同類型。

類型1：塊邊界上側為極點三角形塊，下側為非四叉樹塊，如Ⅰ與Ⅱ。

類型2：塊邊界上側為非四叉樹塊，下側為四叉樹塊，如Ⅱ與Ⅲ。

類型3：塊邊界上側為四叉樹塊，下側也為四叉樹塊，如Ⅲ與Ⅳ、Ⅳ與Ⅴ。

對于塊邊界裂縫類型1，只考慮八分體的左側部分，如圖5（a）所示，可見極點三角形塊Ⅰ與其底邊鄰近的非四叉樹四邊形塊Ⅱ間不存在裂縫。

對于塊間裂縫類型2（如圖2中的Ⅱ部分和Ⅲ部分）：① 若下側四叉樹塊Ⅲ已簡化，如圖5（b）所示，此時上下塊Ⅱ、Ⅲ間不存在裂縫；② 若下側四叉樹塊Ⅲ未簡化（如圖5（c）），由于非四叉樹格網的層次比其塊邊界下側四叉樹格網層次大1，將可能在ab中點p處產生裂縫，可通過添加三角形apb消除裂縫，如圖5（d）所示。

圖5 類型1和類型2Fig.5 Type 1and type 2

對于塊邊界裂縫類型3，又可根據塊邊界上下側簡化情況不同細分為3種情況：① 塊邊界上側鄰近格網未簡化，下側亦未簡化或簡化后格網寬度小于等于塊邊界上側格網，此種情況記為類型3－1；② 塊邊界上側格網簡化，下側未簡化或簡化后寬度小于等于邊界上側格網，此種情況記為類型3－2；③ 塊邊界下側格網簡化后寬度大于塊邊界上側鄰近格網未簡化或簡化后的寬度，此種情況記為類型3－3。

對于塊邊界類型3－1，由于上下塊間在進行DQG剖分時已相差一個剖分層次，而不同塊的四叉樹結構是相對獨立的，因此在塊間邊界處將出現裂縫。如圖6所示，塊邊界上側四叉樹格網iack未簡化，其寬度為ab，塊邊界下側格網adeb未簡化，其寬度為ap＝ab／2，塊邊界下側格網befc已簡化，寬度為bc＝ab?？梢娫谔砑痈叱虝r上下塊邊界p點處出現裂縫。

圖6 類型3－1裂縫消除前后Fig.6 Before and after type 3－1cracks elimination

消除裂縫方法為：

（1）根據塊邊界上側四叉樹格網的四叉樹結構節(jié)點標識，搜索出邊界上側鄰近的未簡化格網的中心點j的坐標及格網寬度ab。

（2）根據j點坐標及格網寬度ab確定塊邊界下側鄰近格網搜索的最大寬度為ab。

（3）根據塊邊界下側四叉樹的標識，確定下側鄰近格網的寬度，由此可知未簡化格網adeb的寬度小于上側格網iack的寬度，因此在上下塊邊界拼接處產生裂縫，并確定裂縫點為p。簡化格網bcef的寬度等于上側格網iack的寬度，因此塊邊界上側三角形jbc與塊邊界下側三角形bec之間不存在裂縫。

（4）根據p點和已知的a、b點，存儲三角形apb的坐標。將四叉樹中三角形格網坐標轉換為經緯度坐標，再將經緯度坐標轉換為三維空間坐標，存儲在三維坐標文件中，用于最終三維圖形的繪制與顯示。

對于塊邊界裂縫類型3－2、3－3，雖然塊邊界上下側簡化情況不同，但裂縫消除原理同第1種情況。如圖7至8所示，裂縫點分別為p1和p2，消除裂縫需添加的三角形分別為ap1b和p1p2b、ap1d和p1p2d。

圖7 類型3－2裂縫消除前后Fig.7 Before and after type 3－2cracks elimination

圖8 類型3－3裂縫消除前后Fig.8 Before and after type 3－3cracks elimination

左右塊間簡化只存在一種情況：塊邊界左右側均為四叉樹塊Ⅴ和Ⅵ（如圖2），它們允許細分的最小寬度相同。當塊邊界兩側簡化格網寬度與未簡化格網寬度不同時，將會在邊界處出現裂縫，消除裂縫的原理及方法與四叉樹塊內左右側消除裂縫方法類似。

4 試驗結果與分析

試驗采用美國地質測量局（USGS）發(fā)布的地形數據GTOPO30為數據源，根據雙線性插值方法獲取格網點高程。應用VC＋＋6.0語言和OpenGL三維工具，設計開發(fā)了基于球面退化四叉樹的全球多分辨率DEM無縫可視化原型系統(tǒng)。根據GTOPO30數據精度，在本次試驗中格網剖分層次最高為12層。試驗結果得到裂縫消除前后對照圖（如圖9a）以及相應的屬性渲染圖（如圖9b）。紅色面片及圈出部分表示消除裂縫所需添加的三角形。由于是在球面顯示，有些裂縫三角形由于球體旋轉的角度不同，在屏幕上捕捉圖時看不見，而局部放大圖裂縫則清晰可見（如圖10）。

圖9 全球DQG格網裂縫消除前后對照及相應的屬性渲染圖Fig.9 Before and after cracks elimination of global DQG and the corresponding render

圖10 局部放大圖Fig.10 Enlarged figures in local area

格網簡化、裂縫消除前后的格網數目及對比分析結果見表1。其中：

（1）裂縫消除代價——定義為以消除裂縫增加的三角形數與格網簡化減少的三角形數之比（以%表示）；

（2）簡化效率——表示為簡化前總格網數（qz）減去格網簡化及裂縫消除后總格網數qj除以簡化前總格網數qz（以%表示）。

可見，DQG格網簡化數目隨著剖分層次的遞增迅速增加，而消除裂縫增加的三角形數隨著剖分層次的遞增僅有小幅增加，這使得最終的簡化效果十分明顯。其中，裂縫消除代價隨著剖分層次的遞增迅速下降（如圖11）；而簡化效率隨剖分層次的增加而增加（如圖12），剖分層次越高，簡化效果越明顯，12層時的簡化效率已接近67%，優(yōu)于傳統(tǒng)的經緯度格網（其簡化效率在7層之后趨近于常值45%，如表1和圖12）。

5 結 論

本文提出一種基于退化四叉樹格網的全球多分辨率DEM無縫可視化表達方法。該方法在不限制相鄰節(jié)點間剖分層次的前提下，根據地形粗糙度對格網進行充分簡化，并對簡化過程中產生的各種塊內、塊間裂縫進行自適應消除。試驗結果表明：采用本文方法進行格網簡化并消除裂縫后，格網數目大大減少，呈現簡化效率隨格網剖分層次遞增而提高的規(guī)律，當格網剖分層次為12層時，簡化效率為66.8%，明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的經緯度格網。初步實現了全球多分辨率DEM的無縫可視化表達，基本滿足了全球多分辨DQG格網模型繪制過程中對繪制速度和逼真度的要求。盡管如此，該方法還不是很完善，下一步的工作包括：DQG格網簡化和裂縫消除的高效性、交互性設計與空間分析及其大區(qū)域地形應用模式等。

表1 格網簡化數目對比分析Tab.1 Comparison and analysis of the simplified grid numbers

圖11 DQG格網的裂縫消除代價Fig.11 Costs of crack elimination in DQG

圖12 DQG和經緯度格網簡化效率對比Fig.12 The simplification efficiency of DQG and Long／Lag grid

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