成文婧 徐玉清 劉兆和 王 欣

（1.總裝工程兵科研一所，江蘇 無錫214035 2.國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，湖南 長沙410073）

引 言

放大轉(zhuǎn)發(fā)（AF）協(xié)同波束成形系統(tǒng)，不僅實現(xiàn)簡單，而且通過波束成形技術(shù)可獲得協(xié)同分集［1－4］。該技術(shù)通過在各中繼節(jié)點處乘以預(yù)先設(shè)計的波束成形因子，使得目的節(jié)點處獲得較好的性能。與一般意義的波束成形問題［5］類似，該技術(shù)也是通過預(yù)先知道系統(tǒng)的一些信息來優(yōu)化波束成形向量，以達到一定的優(yōu)化目標(biāo)（如目的節(jié)點信噪比（SNR）最大化、誤碼率最小化等）。波束成形系統(tǒng)要求中繼節(jié)點已知理想信道狀態(tài)信息（CSI），但是受信道估計誤差、量化誤差、反饋延遲等因素影響，實際一般不能獲得理想CSI。此時根據(jù)理想CSI設(shè)計的傳統(tǒng)波束成形算法性能嚴(yán)重下降。設(shè)計對不準(zhǔn)確CSI具有魯棒性的波束成形算法是波束成形技術(shù)實用化的關(guān)鍵之一。

傳統(tǒng)波束成形設(shè)計準(zhǔn)則一般有兩種：一是在保證目的節(jié)點SNR大于某門限的前提下，以最小化中繼節(jié)點總功率為準(zhǔn)則；二是在中繼節(jié)點功率約束下，以最大化目的節(jié)點SNR為準(zhǔn)則。不同準(zhǔn)則下的波束成形，需要設(shè)計對應(yīng)不同的魯棒算法。針對第一種準(zhǔn)則，文獻［6－7］基于最壞情況思想，設(shè)計了對應(yīng)魯棒算法。其中文獻［6］假設(shè)中繼節(jié)點得到的CSI僅在幅度上存在誤差，研究魯棒功率分配算法。文獻［7］進一步考慮CSI在幅度和相位上均存在誤差，設(shè)計了對應(yīng)魯棒波束成形因子。針對第二種準(zhǔn)則，文獻［8－9］也基于最壞情況思想，研究對應(yīng)魯棒算法。但是文獻［8］僅考慮了第二階段（中繼到目的）CSI存在誤差，沒有考慮第一階段（源到中繼）信道誤差的影響。文獻［9］雖然考慮兩階段CSI信息都存在誤差，但是只考慮CSI幅度誤差，沒有考慮相位誤差。目前為止，針對獲得的兩階段CSI在幅度和相位上均存在誤差的情況，最大化目的節(jié)點SNR準(zhǔn)則對應(yīng)的魯棒波束成形算法還沒有進行研究。

針對所有中繼功率約束（TPC）下以最大化目的節(jié)點SNR為準(zhǔn)則的協(xié)同波束成形系統(tǒng)，設(shè)計了對應(yīng)的魯棒算法。具體來說，考慮中繼節(jié)點獲得的兩階段CSI存在復(fù)誤差，基于最壞情況思想，建立了對應(yīng)保證魯棒性的優(yōu)化問題。進而根據(jù)擴展S引理和復(fù)數(shù)矩陣Schur補定理，將此問題由不可解的半無限問題轉(zhuǎn)化為可解的準(zhǔn)凸問題，可通過對分搜索算法獲得最優(yōu)解。每次搜索可利用高效的內(nèi)點算法來判斷聯(lián)合線性約束、二階錐（SOC）約束和線性矩陣不等式（LMI）約束的凸問題是否可解。仿真表明，提出的魯棒波束成形算法能夠有效抵抗不準(zhǔn)確CSI帶來的性能損失。

符號表示：（）·′、（）·T、（）·H分別表示取共軛、轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置；表示a的模、∠a表示a的相位；⊙表示Hadamard乘積；diag｛w｝表示對角線元素為w的對角矩陣。

1 系統(tǒng)模型

圖1 協(xié)同場景

考慮由源節(jié)點S、目的節(jié)點D和Nr個中繼節(jié)點Ri，i＝1，…，Nr組成的協(xié)同系統(tǒng)，如圖1所示。各節(jié)點均配置半雙工的單天線。假設(shè)S和D間沒有直達路徑，由Nr個中繼節(jié)點協(xié)助S與D進行通信。令fi表示S到Ri的信道，wi表示Ri到D的信道，其中fi和wi服從均值為0、方差為1的復(fù)高斯分布。假設(shè)中繼節(jié)點對應(yīng)各信道相互獨立，且各節(jié)點間達到理想同步。協(xié)同過程可分為兩個階段：

1）源節(jié)點以功率Ps將符號信息s發(fā)送給各中繼節(jié)點，且滿足E｛｜s｜2｝＝1.則中繼節(jié)點Ri的接收信號為

式中ni表示Ri處的噪聲，服從均值為0，方差為1的復(fù)高斯分布。

2）Ri對接收信號ri乘以功率歸一化因子β＝然后乘以波束成形因子g′i后發(fā)送至目的節(jié)點。則Ri的發(fā)送信號為

目的節(jié)點的接收信號為

式中，η表示目的節(jié)點處的噪聲，服從均值為0，方差為1的復(fù)高斯分布。

由式（5）可得，目的節(jié)點接收信號中的有效信號功率為Psig＝Psβ2gHhhHg，噪聲功率為Pnoise＝β2gHΛΛwg＋1，則目的節(jié)點接收信號的SNR為

2 傳統(tǒng)波束成形設(shè)計

假設(shè)中繼節(jié)點的總功率不超過Pmax.由式（3）和式（6）可得，此波束成形設(shè)計問題可表示為

由文獻［11］可得，優(yōu)化問題（7）的最優(yōu)解為

其中Lmax｛·｝表示矩陣的最大特征值。

3 最壞情況下的魯棒波束成形設(shè)計

實際系統(tǒng)中，節(jié)點很難獲得理想CSI.不準(zhǔn)確CSI會嚴(yán)重影響傳統(tǒng)波束成形算法的性能。魯棒波束成形的目的是：合理設(shè)計波束成形矢量g，使得當(dāng)節(jié)點得到的CSI存在誤差時，仍能獲得較好的性能。首先定義信道的不確定集，然后推導(dǎo)魯棒波束成形因子。

3.1 不確定集建模

假設(shè)實際信道向量是在中繼節(jié)點已知的信道向量上疊加一個復(fù)誤差向量。此時實際信道所有可能的取值構(gòu)成信道不確定集，假設(shè)為橢圓不確定集：

由式（8）可得Λf的不確定集為

由式（9）可得Λw的不確定集為

由式（8）和（9）可得

3.2 魯棒波束成形設(shè)計

由于信道的不確定性，TPC下的魯棒波束成形設(shè)計問題不能由第2節(jié)的方法得到解析解。

引入輔助變量α，優(yōu)化問題（7）可等價為

則保證魯棒性的最優(yōu)化問題可表示為

進一步等價為

優(yōu)化問題（15）的最優(yōu)解即為最優(yōu)魯棒波束成形因子。但是不確定集U1和U2中包含無窮個f和w，相當(dāng)于優(yōu)化問題（15）中包含無窮個約束條件，難以求解。實際上，要保證不確定集中任意信道都滿足約束條件，只要保證最壞情況下滿足條件即可。以下我們將基于最壞情況思想，建立新的約束條件，將優(yōu)化問題（15）轉(zhuǎn)化為可解的凸問題。近似認為優(yōu)化問題（15）的第一個約束條件的不等式兩邊涉及的不確定集是獨立的［6，9］。引入輔助變量τ≥0，優(yōu)化問題（15）可等價為

定理：優(yōu)化問題（16）等價為可解的準(zhǔn)凸問題（17）

證明：

由于qHq≤1，根據(jù)Cauchy－Schwarz不等式可得

2）第二個約束條件等價為

引入范數(shù)表示后可等價為

由式（11）可得

將式（20）代入式（19）中，并根據(jù)范數(shù)性質(zhì)‖x‖2＝xHx，式（19）可等價為

根據(jù)擴展S引理（附錄A），式（21）成立等價于：存在ρ1≥0，滿足

由于ρ1，λ均為非負數(shù)，所以一定存在θ1≥0，滿足ρ1＝λθ1.則式（22）等價為

中的Schur補，根據(jù)復(fù)數(shù)矩陣的Schur補定理（見附錄B），S≥0等價于T1≥0.

因此第二個約束條件等價為

3）由式（3）可得，第三個約束條件gHΛg ≤Pmax，?Λf∈U3等價為

式（25）可等價為式（26）、（27）和（28）的聯(lián)合

式（26）可以寫成二次型的形式，即

由于式（27）和（19）有著相似的結(jié)構(gòu)，可通過類似的推導(dǎo)，得出式（27）的等價條件為

綜上所述，式（18），式（24），式（28），式（29）和式（30）為新的約束條件。

由于對g進行旋轉(zhuǎn)，不會影響優(yōu)化問題（16）的目標(biāo)函數(shù)，也不會影響新的約束條件，所以，可適當(dāng)旋轉(zhuǎn)g，使得＾hHg為實數(shù)。于是有優(yōu)化問題（16）等價于式（17），定理得證。優(yōu)化問題（17）的最優(yōu)解即為最優(yōu)魯棒波束成形矢量。該問題為準(zhǔn)凸問題［12］，可以通過對分搜索得到最優(yōu)解。每次搜索需求解一個凸問題［13］，包含4個線性約束，3個SOC約束和2個LMI約束。

4 仿真結(jié)果

仿真時取中繼數(shù)目Nr＝5.為方便起見，取各中繼對應(yīng)的兩階段信道的不準(zhǔn)確程度一致，即δi＝εi＝δ，i＝1，…，Nr.對分搜索時取ξ＝1×10－6.

4.1 性能評價

當(dāng)信道存在偏差時，非魯棒傳統(tǒng)算法設(shè)計的波束成形因子對應(yīng)的節(jié)點功率可能大于功率約束。為公平比較算法性能，提出有效信噪比（ESNR）的概念。

定義中斷概率為ESNR小于門限γth的概率，即仿真中取γth＝15dBw.

仿真過程如表1所示，取mon和time均為1 000.

表1 仿真過程

4.2 性能仿真

圖2為TPC下非魯棒傳統(tǒng)波束成形算法在不同δ值下的中斷概率性能曲線?？梢钥闯?，當(dāng)δ＝0.2時，CSI誤差對系統(tǒng)性能的影響不能忽略，而且隨著δ的增大，CSI誤差導(dǎo)致的性能損失更為嚴(yán)重。

圖3為δ＝0.2和δ＝0.4時，非魯棒傳統(tǒng)算法和提出的魯棒算法的性能比較，其中‘非魯棒’表示中繼節(jié)點已知的CSI存在誤差時，傳統(tǒng)波束成形算法根據(jù)有誤差的CSI設(shè)計的波束成形因子對應(yīng)的性能，‘魯棒’表示中繼節(jié)點已知的CSI存在誤差時，提出的魯棒波束成形算法的性能?？梢钥闯?，提出的魯棒波束成形算法能夠有效改善CSI誤差對系統(tǒng)性能的惡化影響。

5 結(jié) 論

所提出的魯棒波束成形算法，可歸結(jié)為求解一個準(zhǔn)凸問題，應(yīng)用對分搜索可獲得最優(yōu)解。每次搜索通過高效的內(nèi)點算法來判斷聯(lián)合線性約束、SOC約束和LMI約束的凸問題是否可解。該算法能夠有效降低CSI偏差帶來的中斷概率性能損失，具有重要的實際意義。

［1］JING Y，JAFARKHANI H.Network beamforming using relays with perfect channel information［J］.IEEE Transaction on Information Theory，2009，55（6）：2499－2516.

［2］PHAM T，NGUYEN H，TUAN D.Beamforming in nonorthogonal amplify－and－forward relay networks［J］.IEEE Transaction on Vehicular Technology，2011，60（3）：1258－1263.

［3］CHENG W，HUANG Q，GHOGHO M，et al.Distributed beamforming for OFDM－based cooperative relay networks under total and per－relay power constraints［C］／／IEEE ICASSP 2011.Prague，Czech Republic，22－27May，2011：3328－3331.

［4］CHEN H，GERSHMAN A，SHAHBAZPANAHI S.Filter－and－forward distributed beamforming in relay networks with frequency selective fading［J］.IEEE Transaction Signal Processing，2010，58（3）：1251－1262.

［5］李洪濤，賀亞鵬，朱曉華，等.基于譜分析的穩(wěn)健自適應(yīng)波束成形算法［J］.電波科學(xué)學(xué)報，2012，27（1）：147－151.LI Hongtao，HE Yapeng，ZHU Xiaohua，et al.Spectral analysis based robust adaptive beamforming algorithm［J］.Chinese Journal of Radio Science，2012，27（1）：147－151.（in Chinese）

［6］QUEK T Q S，SHIN H，WIN M Z.Robust wireless relay networks：slow power allocation with guaranteed QoS［J］.IEEE Journal on Selected Topics in Signal Processing，2007，1（4）：700－713.

［7］UBAIDULLA P，CHOCKALINGAM A.Robust distributed beamforming for wireless relay networks［C］／／IEEE PIMRC 2009.Tokyo，Japan，September 13－16，2009：2345－2349.

［8］ZHENG G，WONG K K，PAULRAJ A，et al.Robust Collaborative－relay beamforming［J］.IEEE Transaction on Signal Processing，2009，57（8）：3130－3143.

［9］QUEK T Q S，WIN M Z，CHIANI M.Robust power allocation algorithms for wireless relay networks［J］.IEEE Transaction on Communication，2010，58（7）：1931－1938.

［10］VOROBYOV S A，GERSHMAN A B，LUO Z Q.Robust adaptive beamforming using worst－case performance optimization：A solution to the signal mismatch problem［J］.IEEE Transaction Signal Processing，2003，51（2）：313－324.

［11］SHAHBAZPANAHI S，GERSHMAN A B，LUO Z Q，et al.Robust adaptive beamforming for generalrank signal models［J］.IEEE Transaction on Signal Processing，2003，51（9）：2257－2269.

［12］BOYD S，VANDENBERGHE L.Convex Optimization［M］.Cambridge：Cambridge University Press，2004.

［13］GRANT M，BOYD S.CVX：Matlab software for Disciplined Convex Programming［Online］.http：／／stanford.edu／boyd／cvx

［14］LI J，STOICA P，WANG Z S.Doubly constrained robust capon beamformer［J］.IEEE Transaction Signal Processing，2003，52（9）：2407－2423.