具有風險的供應商選擇中延遲成本的計算算法

李補喜，蔚曉嬌

(1.山西大學工商管理研究所，太原030006;2.山西大學數(shù)學科學學院，太原030006)

供應商，是指可以為企業(yè)提供原材料、設備及其他資源的企業(yè)。它可以是生產(chǎn)企業(yè)，也可以是流通企業(yè)。供應商對企業(yè)的生產(chǎn)和發(fā)展起著非常重要的作用。供應商選擇是供應鏈及其風險管理中的一個經(jīng)典決策問題。企業(yè)在選擇供應商時不僅考慮各個供應商提供的產(chǎn)品的質量、價格、送貨的及時性，同時，在面對各種不確定的情況下，還要考慮采購過程可能碰到的各種風險，如，因地震、自然災害等造成供應商不能及時送貨從而導致企業(yè)生產(chǎn)中斷，不能按時滿足顧客需求，由此產(chǎn)生企業(yè)違約，給企業(yè)帶來損失[1-3]。此外，為了降低風險，企業(yè)在全面考慮各種因素的基礎上，通常選擇從多個供應商采購不同數(shù)量的貨物。因此，在有不確定性的情況下，進行供應商選擇決策時，需要比較各種可能情形下的成本，通常選擇成本或風險價值(VAR或CVAR[4-5])最低的供應商組合。然而，實際中，供應商選擇中面臨的不確定的情況復雜，供應商的不同采購組合情景數(shù)量很大，如10個供應商，每個供應商的不確定因素有10種可能，這時供應商的所有可能組合有100億種。要對如此龐大的組合比較相應的成本，進而選擇出成本最低的供應商組合，其計算工作量巨大。因此如何處理供應商選擇過程中碰到的數(shù)據(jù)量大、可能情景多，即如何減少計算工作量，是一個十分重要的問題。本文的目的在于考慮具有離散指數(shù)分布延遲風險的供應商選擇問題。許多文獻考慮了供應商選擇模型，或者是單周期模型，或者是多周期模型[6-9]。還有文獻考慮了供應商選擇評價指標體系[10]。而本文目的既不在于建立供應商選擇模型，也不在于對供應商選擇進行評價，而是利用數(shù)學模型將數(shù)量龐大的情景轉化為數(shù)量較少的另一種情景。

2 取值組合的重新劃分

首先給出一個定義:

定義 若X為連續(xù)型隨機變量，Y為離散型隨機變量。如果對于任何整數(shù)k，Y的概率分布滿足:P(Y=k)=P(k≤X＜k+1)

則稱Y為連續(xù)型隨機變量X的離散化隨機變量。

假設一個生產(chǎn)商為顧客不同訂單組裝生產(chǎn)多種類型的產(chǎn)品，生產(chǎn)使用的零部件是向多個供應商采購的。每個供應商能為生產(chǎn)商提供所需的定制部件。然而，供應商的供應能力不同，并且提供零部件的價格，質量以及按時交貨的可能性方面不同。設I={1，2，…，m}為m個供應商的集合，每個供應商單位周期(如天)單位產(chǎn)品的延遲懲罰成本不同，假設供應商i的單位周期單位產(chǎn)品的延遲成本為ei.同時，假設不同供應商的延遲周期相互獨立，且供應商i的延遲周期數(shù)Yi是指數(shù)分布的離散化隨機變量，其最大延遲周期為ni，對應的指數(shù)分布為Xi.則，對于任何非負整數(shù)k＜ni，有:

且P(Yi=ni)=P(ni≤Xi)

在具有延遲風險的供應商選擇決策中，從不同供應商訂購不同數(shù)量零部件(設從供應商i訂購的數(shù)量為zi，(z1，z2，L，zm)是決策變量)的延遲成本為:

顯然，由于Yi為隨機變量，若要選擇供應商，需要窮盡所有可能的供應商的延遲組合(Y1，Y2，L，Ym)，并計算不同供應商組合下的延遲成本(1)并進行比較。若供應商的數(shù)量較大(如m=10)，且每一供應商的可能延遲周期數(shù)較大(如ni=10)，那么，供應商的延遲組合(Y1，Y2，L，Ym)數(shù)量為 1110。顯然，這會導致供應商選擇模型的計算工作量很大。

為了解決上述組合數(shù)量龐大所導致的計算量問題，需要將大量的原始組合從不同視角進行重新分組，劃分為組合數(shù)量較少的情形。為此，考慮所有供應商總延遲的離散化隨機變量，記為Y，定義如下:

在這種情況下，如果m=10且ni=10，那么，可能的情形只有101種，由此降低供應商延遲的可能情形的數(shù)量。這時，用Y估計的每一可能情形下的延遲成本。

需要指出，Y與不同，二者之間的差異及其對延遲成本的影響，還有待研究。本文著重強調(diào)大樣本問題轉化為小樣本問題的簡化方法。

2 延遲成本的估計

定理1 設隨機變量Xi(i=1，2，…，m)服從參數(shù)為 λi(i=1，2，…，m)的指數(shù)分布，且Xi(i=1，2，…，m)相互獨立。

(1)若λ1=λ2=… =λm=λ，則服從Ga(m，λ)，其密度函數(shù)為:

(2)若 λi(i=1，2，…，m)互不相同，則X=的密度函數(shù)為:

證明 (1)的證明利用卷積公式容易得到，下面給出(2)的證明過程。

利用數(shù)學歸納法證明。

當m=2時，易證結論成立。

假設當m=k-1時，結論成立，即的密度函數(shù)為:

當m=k時，的密度函數(shù)為:

故結論成立。

因此，當λ1=λ2=…=λm=λ時，

當 λi(i=1，2，…，m)互不相同時，

上述定理將不同供應商的延遲周期轉化為所有供應商的總延遲周期。這意味著，不同供應商延遲周期的組合，將以總和的形式加以表現(xiàn)。因此，這為不同供應商延遲周期的所有可能情形(組合數(shù)量為)轉化為所有供應商總的延遲周期的可能情形(組合數(shù)量為()提供了基礎，顯然，可能情形的數(shù)量大大降低。

同時，上述定理也為所有供應商總的延遲周期的每一取值出現(xiàn)的概率提供了計算基礎。

定理2 設供應商i(i=1，2，…，m)的延遲周期為非負連續(xù)型隨機變量Xi(i=1，2，…，m)的離散化隨機變量Yi(i=1，2，…，m)，其最大延遲周期為ni(i=1，2，…，m)。且假定，Xi(i=1，2，…，m)相互獨立。若zi為從供應商i訂購的產(chǎn)品數(shù)量，ei為供應商i的單位周期單位產(chǎn)品的延遲成本。則對于任意非負整數(shù)，在的情形下，從全部供應商訂購零部件總平均延遲成本為:

證明 對于供應商i，Yi是供應商i的隨機延遲周期，由于Xi，i=1，2，…，m相互獨立，則Yi，i=1，2，…，m，相互獨立。設ki是Yi的可能取值，ni是Yi的最大可能取值。當時，供應商i延遲周期為的ki概率為

由條件期望的定義[11]可知:

由于Yi，i=1，2，…，m為非負隨機變量，且ni是Yi的最大可能取值。因此，當ki＞k或ki＜時，

(1)若ni≤k，則當時，從供應商i訂購零部件的平均延遲成本:

(2)若ni＞k，則當時，從供應商i訂購零部件的平均延遲成本:

顯然，定理2給出了所有供應商的總延遲周期在不同取值情形下相應的延遲成本，這為供應商選擇決策中比較不同方案的成本提供了可能。由式(4)可以看出，在計算從供應商訂購零部件的平均延遲成本時需要計算，定理1為計算指數(shù)分布和的離散化情形奠定了基礎。

3 算法

為了計算所有供應商總延遲周期在不同取值情形下的總延遲成本，利用定理1與定理2，我們給出如下算法:

算法

1 對i=1，2，…，m執(zhí)行:

1.1 對于ki=0，1，…，ni利用指數(shù)分布的密度函數(shù)計算P(Yi=ki):當ki＜ni時，P(Yi=ki)=P(ki≤Xi＜ki+1)當ki=ni時，P(Yi=ki)=P(ni≤Xi)

1.2 對于j=0，1，…

2 對k=0，1，…執(zhí)行:

2.1 令i=1;Sum=0;

2.2 令ki=max();sum=0.

2.3利用第1步的結果計算

2.4 令ki=ki+1，

如果ki≤ min(ni，k)，返回 2.3 步;

否則，退出循環(huán)。

2.5 計算 Sum=Sum+sum.

2.6 令i=i+1，

如果i≤m，返回第2.2 步;

否則，退出循環(huán)。

3輸出Sum

當所有供應商的延遲隨機變量獨立同分布時，上述算法可以簡化。這是由于對于i=1，2，…，m，Yi同分布也同分布。

[1]SAWIK T.Supplier Selection in Make-to-order Environment with Risks[J].Mathematical and Computer Modelling，2011，53(9-10):1670-1679.

[2]SAWIK T.Selection of supply portfolio under disruption risks[J].Omega，2011，39:194-202.

[3]SAWIK T.Single vs Multiple Objective Supplier Selection in a Make-to-order Environment[J].Omega，2010，38:203-212.

[4]ROCKAFELLAR R T，URYASEV S.Optimization of Conditional Value-at-risk[J].The Journal of Risk，2000，2(3):21-41.

[5]ROCKAFELLAR R T，URYASEV S.Conditional Value-at-risk for General Loss Distributions[J].Journal of Banking and Finance，2002，26(7):1443-1471.

[6]BASNET C，LEUNG M Y.Inventory Lot-sizing with Supplier Selection[J].Computers ＆ Operations Research，2005，32:1-14.

[7]USTUN O，DEMIRTAS E A.An Intergrated Multi-objective Decision Making Process for Multi-period Lot Sizing with Supplier Selection[J].Omega:The International Journal of Management Science，2008，36:509-521.

[8]GHODSYPOUR S H，BRIEN C O.The Total Cost of Logistics in Supplier Selection under Conditions of Multiple Sourcing，Multiple Criteria and Capacity Constraints[J].International Journal of Production Economics，2001，73:15-27.

[9]CHE Z H，WANG H S.Supplier Selection and Supply Quantity Allocation of Common and Non-common Parts with Multiple Criteria under Multiple Products[J].Computers and Industrial Engineering，2008，55:110-133.

[10]方園園，王耀文.基于熵技術的供應商模糊分析評價方法和應用[J].太原科技大學學報，2007，28(3):220-222.

[11]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京:高等教育出版社，2004.