各向同性與正交異性材料Ⅲ型界面端應(yīng)力場(chǎng)

趙 靜，李俊林

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原030024)

文獻(xiàn)[1]得到Ⅰ型和Ⅱ型界面裂紋尖端應(yīng)力具有振蕩奇異性，Ⅲ型裂紋尖端應(yīng)力具有的奇異性而無振蕩性。文獻(xiàn)[2]采用Mellin變換法研究了各向同性雙材料界面端問題，得出界面端的應(yīng)力場(chǎng)具有奇異性。文獻(xiàn)[3]對(duì)各向同性雙材料反平面界面端奇異應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)行了分析，利用位移函數(shù)的級(jí)數(shù)展開，得出了對(duì)稱類反平面界面端的應(yīng)力奇異指數(shù)變化規(guī)律。文獻(xiàn)[4]對(duì)反平面界面裂紋進(jìn)行了研究，結(jié)果顯示反平面問題中界面裂紋尖端應(yīng)力不存在振蕩性，只有冪次奇異。文獻(xiàn)[1-3]研究的均是各向同性雙材料界面裂紋，文獻(xiàn)[5-6]研究的是正交異性雙材料界面端，關(guān)于各向同性與正交異性雙材料界面端奇異應(yīng)力場(chǎng)尚未研究。本文主要研究各向同性與正交異性雙材料界面端這樣一個(gè)新的模型，并巧妙的采用引入三角函數(shù)的方法化簡了含奇異指數(shù)的特征方程，最終得到了幾種各向同性與正交異性雙材料Ⅲ型非對(duì)稱界面端的應(yīng)力奇異指數(shù)及其變化規(guī)律。

1 力學(xué)模型

圖1 任意結(jié)合角的各向同性與正交異性雙材料Ⅲ型界面端模型Fig.1 The model of isotropic and orthotropic bi-material ModeⅢinterface end with arbitrary angles

如圖1所示，x＞0，y=0為材料粘接界面。y＞0部分為各向同性復(fù)合材料，其材料工程常數(shù)為(G23)1=(G31)1=μ.而y＜0為正交異性復(fù)合材料，其材料工程常數(shù)為(G23)2，(G31)2.考慮到受反平面剪應(yīng)力的作用，由彈性力學(xué)知，控制方程組為:

其中wj(j=1，2)是位移函數(shù)。(Q44)2，(Q55)2是表征材料剪切模量的材料常數(shù)。圖1的界面連續(xù)條件在極坐標(biāo)下可以表示為:

由彈性力學(xué)知相應(yīng)的應(yīng)力分量為:

位移分量為:uj= υj=0，wj=wj(x，y)，(j=1，2)，r和θ為從裂紋邊緣起度量的極坐標(biāo)，而常數(shù)(G23)1=(G31)1= μ，(G44)2=(G23)2，(G55)2=(G31)2，其中 μ，(G23)2，(G31)2為剪切模量。

2 應(yīng)力函數(shù)

假設(shè)位移為wj=wj(x+sjy)，(j=1，2)，帶入式(1)得到特征方程組為:

這個(gè)方程組中的兩個(gè)方程分別有一對(duì)共軛虛根，取虛部大于零的根記為:

sj=iβj，(j=1，2).其中

由復(fù)變函數(shù)中zj平面的柯西-黎曼方程理論，若記zj=x+sjy=xj+iyj，于是得到xj=x，yj= βjy.則控制方程組可以化為:

這是zj平面的調(diào)和方程組，由方程組(1)選取合適的應(yīng)力函數(shù)如下:

根據(jù)文獻(xiàn)[5-6]，將式(7)和式(8)代入式(3)后再代入邊界邊界條件(2)得到關(guān)于(a1，a2，b1，b2)的四元齊次線性方程組:

要使該齊次線性方程組有一組非零解，則系數(shù)行列式為零，又通過引入φ角，

利用三角函數(shù)公式得到特征方程為:

2.1 非對(duì)稱凸角界面端

圖2 各向同性與正交異性雙材料Ⅲ型凸角界面端Fig.2 The model of isotropic and orthotropic bi-material ModeⅢconvex-angled interface end

以圖2所示情形為例，將θ1=π/4，θ2=-π/2，φ2=-π/2，φ=-π/2.代入特征方程式(11)中，可得:

用三倍角公式展開并且化簡得:

解得:

λ 在(-1，0)之間，

圖3 各向同性與正交異性雙材料Ⅲ型凸角界面端λ隨材料參數(shù)比變化規(guī)律圖Fig.3 The variation chart of λ with the ratio of material parameters

2.2 非對(duì)稱凹角界面端

圖4 各向同性與正交異性雙材料Ⅲ型凹角界面端Fig.4 The model of isotropic and orthotropic bi-material ModeⅢconcave-angled interface end

以圖4所示情形為例，將θ1=π/3，θ2=-π，φ2=-π，φ=-π.代入特征方程中得:

化簡得:

解得:

λ 在(-1，0)之間，因此:

圖5 各向同性與正交異性雙材料Ⅲ型凹角界面端隨材料參數(shù)比變化規(guī)律圖Fig.5 The variation chart of λwith the ratio of material parameters

2.3 斜平面角界面端

當(dāng) 0 ＜ θ1＜ π/2，θ2= θ1- π，φ2=arctan(β2tanθ1)-π，代入特征方程式(11)得:

其中，

圖6 各向同性與正交異性雙材料Ⅲ型斜平面角界面端模型Fig.6 The model of isotropic and orthotropic bi-material ModeⅢoblique-plane-angled interface end

圖7 θ1=π/3，π/4，π/5時(shí)λ隨材料參數(shù)比變化圖Fig.7 The variation chart of with the ratio of material parameters(θ1=π/3，π/4，π/5時(shí) )

(1)當(dāng)分別取定 θ1=π/3，θ2=θ1-π =-2π/3(data1)，θ1= π/4，θ2= θ1- π =-3π/4(data2)和θ1=π/5，θ2=θ1-π =-4π/5(data3)時(shí)，根據(jù)參考文獻(xiàn)[9]中的材料參數(shù)，選取 β2=1.186 3，得到 λ 隨各向同性與正交異性材料參數(shù)比的變化規(guī)律如圖7所示。

(2)根據(jù)文獻(xiàn)[9]，當(dāng)分別取定材料參數(shù)比μ/選取β2=1.186 3，得到λ隨各向同性與正交異性斜平面角界面端角度(0＜θ1＜π/2)的變化規(guī)律如圖8所示。

圖8 λ隨凹角θ1變化Fig.8 The variation chart of λ with θ1

從圖7中可以得出，當(dāng)界面端角度θ1取定三種角度時(shí)，各向同性與正交異性雙材料Ⅲ型斜平面角界面端應(yīng)力場(chǎng)隨參數(shù)比的增大，奇異性增大，奇異指數(shù)介于0到-0.5之間;當(dāng)θ1減小θ2增大，即向材料二正交異性材料傾斜時(shí)，界面端應(yīng)力場(chǎng)奇異性增大。從圖8中可以得出，當(dāng)材料參數(shù)比取定三組數(shù)值時(shí)，各向同性與正交異性雙材料Ⅲ型斜平面角界面端應(yīng)力場(chǎng)奇異性隨界面端角度θ1的增大先增大后減小，當(dāng)θ1=π/2時(shí)，可以推出已有的直角界面端不存在應(yīng)力奇異性的結(jié)果。

同理，當(dāng) π/2 ＜ θ1＜ π，θ2= θ1- π，φ2=arctan(β2tanθ1)時(shí)的斜平面角界面端應(yīng)力奇異指數(shù)變化規(guī)律也可以得到。

3 應(yīng)力場(chǎng)、位移場(chǎng)與應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算

以非對(duì)稱類凸角界面端為例給出應(yīng)力場(chǎng)、位移場(chǎng)、應(yīng)力強(qiáng)度因子，其他情形用同樣方法可得。

其中b2為自由變量，可以由載荷條件求出。

應(yīng)力強(qiáng)度因子:

定義

則

4 結(jié)論

通過對(duì)各向同性與正交異性雙材料Ⅲ型非對(duì)稱凸角、凹角以及斜平面角界面端的討論可知:非對(duì)稱凸角界面端無應(yīng)力奇異性，隨著上下材料常數(shù)比的增長，奇異指數(shù)λ趨于0;非對(duì)稱凹角界面端應(yīng)力具有唯一冪次奇異性，隨著μ/的增長，奇異指數(shù)λ由-0.25逐漸趨于-0.65，并以非對(duì)稱凸角界面端為例給出各向同性與正交異性雙材料Ⅲ型凸角界面端應(yīng)力場(chǎng)、位移場(chǎng)以及應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析表達(dá)式;得到了斜平面角界面端應(yīng)力奇異性變化規(guī)律。

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