周 偉，田紅旗

(中南大學軌道交通安全教育部重點實驗室，湖南 長沙 410075)

金屬絞線由多股金屬絲絞捻而成，其應用場合依絞線的金屬材料不同而不同:鋼絞線結構廣泛應用于鐵路橋梁、公路橋梁、房屋建筑等預應力結構;銅合金絞線在鐵路電氣化系統(tǒng)中用作接觸網(wǎng)的重要承載部件［1］，如接觸懸掛結構的承力索、吊弦、彈性吊索和中心錨結繩等。金屬絞線產(chǎn)品從設計、加工到應用，其結構的力學行為預測及精確數(shù)值模擬一直是工程領域關注的重點和難點。隨著計算機技術的發(fā)展和計算機性能的不斷提高，通過有限元法可實現(xiàn)對金屬絞線力學行為的精確模擬。然而，在整體結構分析中，作為子部件若將絞線結構采用空間實體單元精細離散，數(shù)值求解規(guī)模勢必會驚人，傳統(tǒng)做法一般將絞線截面折合成單圓勻質(zhì)桿件進行計算，而實際上絞線為柔性結構，其截面慣性矩要比等截面積勻質(zhì)圓桿?。?］，且同等載荷水平下絞線中心股線與纏繞股線的應力各不相同，因此，有必要對金屬絞線的力學特性進行深化研究，以構造一種既能精確模擬絞線力學行為，又能最大程度減縮求解自由度的有限元模型。

國內(nèi)外對絞線力學行為分析和數(shù)值仿真技術研究有很多報導。Jiang［3－7］等通過精確模擬相鄰層絞線邊界條件，提出了一種綜合考慮拉伸、剪切、彎曲和扭轉(zhuǎn)效應的有限元模型，分析結果與Constello［8］理論計算結果較吻合;Ghoreishi等［9］采用三維有限元法對承受靜態(tài)軸向載荷的七芯絞線彈性行為進行了研究;Stanova等［10－11］提出了基于可變參數(shù)方程的任意多股絞線模型自動生成算法，通過六面體單元結構網(wǎng)格離散和線間面－面接觸定義對模型進行了有限元分析;Usabiaga等［12］基于Love彈性細桿理論和絲間無相對滑移假設，提出了拉伸和扭轉(zhuǎn)載荷作用下的新型絞線建模及分析方法;Elata等［13］充分考慮絞線各絲的雙螺旋結構導致相關絞線絲應力水平對整體承載水平的影響，構造的模型可用于估計絲間相互作用力、絞線剛度和強度等參數(shù);王應軍等［14］引入形狀系數(shù)的概念，從理論上對鋼絞線的彈性模量表達式進行了推導，并分析了鋼絞線彈性模量的影響因素。針對有限元分析特點，本文略去絞線結構的CAD建模過程，采用分段等間距截面軌跡節(jié)點掃略和滾動節(jié)點—梁單元映射直接生成絞線有限元拓撲模型，基于彈性理論和幾何協(xié)調(diào)分別對拉伸和彎曲載荷作用下單股絞線結構纏繞股線節(jié)點和中心股線節(jié)點的位移約束方程進行了推演和推廣，并通過具體算例對擴展模型進行驗證。

1 模型建立

金屬絞線從結構上可分為中心股線和螺旋纏繞股線2部分。中心股線軸線與絞線軸線重合，纏繞股線則以一定的螺旋角纏繞在其內(nèi)層股線外側，相鄰層股線左右螺旋方向相反，以抵消同向纏繞給絞線帶來的單向扭轉(zhuǎn)。金屬絞線通常以股數(shù)、股徑及捻距等參數(shù)來區(qū)分，常見的絞線類型有單股1×7絞線、雙股1×19絞線和3股1×37絞線。本文以單股1×7絞線作為研究對象，并將研究結論推廣到多股絞線模型。

定義纏繞股線軸心螺旋軌跡線為纏繞邊絲，中心股線軸心軌跡線為中心絲，同時定義中心股線上某點處的法向平面為絞線結構在該點處的法向面?？紤]1個捻距的絞線結構，采用足夠密集的等間距絞線法向面截取各絲，可獲得中心絲和各纏繞邊絲的軌跡點，將這些軌跡點定義為有限元離散節(jié)點，并在相鄰截面的相應軌跡節(jié)點之間創(chuàng)建圓形截面梁單元，所得到的節(jié)點－梁單元模型即為絞線結構的有限元分析模型，該模型能夠精確模擬絞線的幾何特征，如圖1所示。

圖1 絞線模型的分段軌跡節(jié)點掃略和節(jié)點－梁單元映射Fig.1 Sectional path－node sweeping and node－beam mapping

記單股絞線捻距為p，中心股線直徑為dc，纏繞股線直徑為dh1，纏繞股數(shù)為m=6，擬合軌跡節(jié)點截面數(shù)為n。以絞線端部中心絲節(jié)點為原點建立總體笛卡爾坐標系，oz軸沿中心絲軸向，O－xy平面與端部截面相重合，如圖2所示。

圖2 1×7絞線模型幾何參數(shù)Fig.2 Geometrical parameters of seven－wire strand model

初始化端部截面內(nèi)各絲軌跡節(jié)點的極坐標值，中心絲節(jié)點坐標為(0，0)，邊絲節(jié)點坐標為 (r，φj)，其中r為纏繞股線軸心圓柱半徑，且r=(dc+dh1)/2。

纏繞邊絲j在第k(k=1～n)個截面內(nèi)的軌跡節(jié)點坐標可表示為:

由于纏繞邊絲節(jié)點與中心絲節(jié)點無幾何約束，受力狀態(tài)下必定會呈現(xiàn)兩者變形的不相關，因此，必須建立不同受力狀態(tài)下纏繞邊絲與中心絲軌跡節(jié)點的幾何約束方程，以準確描述絞線結構的力學特性及幾何協(xié)調(diào)性。子約束方程的施加對象為纏繞邊絲節(jié)點、同截面及相鄰截面中心絲節(jié)點，為保證節(jié)點、單元及相應節(jié)點約束方程的一一對應，有限元模型必須采取滾動映射的方式生成，流程如下。

(1)參數(shù)初始化。捻距p、中心股線直徑dc、纏繞股線直徑dh1、擬合截面數(shù)n等。

(2)端部截面定義。端部截面軌跡節(jié)點坐標初始化并創(chuàng)建該節(jié)點及其子約束方程。

(3)遍歷截面i=2～n，同時建立該截面中心絲軌跡節(jié)點，并定義該節(jié)點與第(i－1)截面對應節(jié)點之間的梁單元。

(4)遍歷各纏繞邊絲j=1～6。計算截面i內(nèi)纏繞邊絲軌跡節(jié)點坐標(xj(k)，yj(k)，zj(k))并創(chuàng)建相應節(jié)點及其子約束方程，定義該節(jié)點與第(i－1)截面對應節(jié)點之間的梁單元。

(5)截面遍歷是否結束，否則，轉(zhuǎn)到第(3)步。

對多股絞線結構，式(1)中第i層纏繞股線的參數(shù)r取該股線軸心圓柱半徑，并對其軌跡節(jié)點x、y坐標的角度變量取反即可保證相鄰層股線螺旋方向相反。

絞線結構有限元分析模型建立的難點是相鄰層股線之間幾何約束方程的準確描述，下面將對此展開論述。

2 約束條件

絞線股間幾何約束方程的推導基于以下假設:絞線整體承受軸向拉伸載荷時，絞線相對其軸線不發(fā)生相對扭轉(zhuǎn)，摩擦條件下股線之間無自由滑移;絞線整體承受純彎曲載荷時，同一截面纏繞邊絲節(jié)點與中間絲節(jié)點相對位置保持不變，摩擦條件下股線間無自由滑移，股間絞線變形滿足位移協(xié)調(diào)。

下面將分別對軸向和彎曲變形情況下單股絞線股間幾何約束方程進行推導，并將結論直接推廣至多股絞線結構。

2.1 軸向變形股間幾何約束方程

在同等軸向拉伸載荷作用下，絞線各股將互不干擾地沿其軸線方向伸長。由于材料的泊松效應，中心股線和纏繞股線的分布圓柱直徑以及絞線總體直徑均會發(fā)生變化，且兩者的軸向應變滿足線性關系。

假定各股線材料泊松比v均相同，中心股線軸向應變?yōu)棣與，纏繞股線軸向應變?yōu)棣舎1，幾何參數(shù)定義與前文同。根據(jù)泊松比定義，絞線受力后中心股線和纏繞股線的直徑分別變?yōu)?1－vεc)·dc和(1－vεh1)·dh1，纏繞股線變形前后的長度分別為:

纏繞股線的軸向應變可表示為:

由式(2)和(3)得:

其中:兩者的應變比系數(shù)kh1為:

以絞線端部截面中心點為原點建立總體笛卡爾坐標系，oz軸沿中心股線軸向，O－xy平面與端部截面重合，同時在該坐標系原點處建立極坐標系，兩坐標系坐標軸重合。節(jié)選1個捻距的中心股線和單根纏繞股線，取纏繞邊絲某節(jié)點 P(rP，θP，zP)、同截面中心絲節(jié)點Ok(0，0，zP)及相鄰截面中心絲節(jié)點 Ok－1(0，0，zk－1)為分析對象，如圖 3 所示。

圖3 拉伸變形下坐標系定義及分析對象選取Fig.3 Coordinate system and analytical targets in axial tension

根據(jù)假設，對象節(jié)點的極坐標位移向量分別記為 P(ΔrP，ΔθP，ΔzP)，Ok(0，0，Δzk) 和 Ok－1(0，0，Δzk－1)，則節(jié)點 P 的極點位移為:

中心股線軸向應變可表示為:

結合式(4)，節(jié)點P的極坐標位移可表示為:

通過坐標轉(zhuǎn)換，節(jié)點P的總體位移向量為:

式(6)即為軸向變形下單股絞線股間幾何約束方程。對多股絞線結構，記第i層纏繞股線直徑為dhi，捻距為pi，該層纏繞股線與中心股線的應變比系數(shù)記為khi，該層纏繞股線軸心圓柱直徑記為:

修正應變比系數(shù)khi，得:

第i層纏繞股邊絲節(jié)點、同截面與相鄰截面中心絲節(jié)點的位移約束方程與式(6)形式相同，僅需對系數(shù)Cax修正如下:

2.2 彎曲變形股間幾何約束方程

在絞線純彎曲狀態(tài)下，中心股線的變形滿足初等力學平面截面假設，纏繞股線的變形必須與中心股線相協(xié)調(diào)，單股絞線股間幾何約束關系也是基于這一原則進行推導。

選取絞線端部截面中心點建立總體笛卡爾坐標系，坐標軸方向定義與前面的相同。取纏繞邊絲某節(jié)點P、同截面及相鄰截面中心絲節(jié)點I和J為分析對象，在繞x軸彎矩Mx作用下，各節(jié)點位置分別記為P'、I'及J'，絞線彎曲曲率中心記為Ol，曲率半徑記為ρ，如圖4所示。

根據(jù)假設及幾何協(xié)調(diào)條件，純彎曲下節(jié)點P'、I'與曲率中心點ol在同一直線上，且節(jié)點P'與I'相對位置保持不變。

圖4 純彎曲狀態(tài)下絞線的幾何協(xié)調(diào)Fig.4 Geometrical compatibility of wire strand under bending

以曲率中心ol為原點建立局部坐標系ol－ylzl，olP'與olzl軸夾角記為α，節(jié)點I'、J'所在直線與oz軸夾角記為β，擬合截面數(shù)n足夠大的情況下可以認為節(jié)點I'和J'所在直線為彎曲弧在點I'處的切線，因此，有 α +β =90°。

記節(jié)點P的總體坐標為(xP，yP，zP)，則節(jié)點I'，P'的局部坐標分別為:

在自然狀態(tài)下，有:

由于總體坐標系與局部坐標系平行，對象節(jié)點的局部位移關系可直接轉(zhuǎn)換到總體坐標系，由式(7)～(8)得:

另一方面，點I'處切線與oz軸夾角β滿足

事實上，相鄰截面中心絲節(jié)點的位移差要遠小于相鄰截面距離，即ΔzI?ΔzJ＜＜ p/(n–1)，加之絞線小位移變形情況下β為極小角，故有:

結合式(9)和(10)，并考慮節(jié)點P在x方向的位移，可得純彎曲變形下單股絞線股間幾何約束方程為:

其中:

若彎矩載荷繞y軸方向，則約束方程僅需調(diào)換式(11)中變量’x’和’y’即可。對多股絞線結構，記第i層纏繞股線捻距為pi，擬合截面數(shù)為ni，該層纏繞股線節(jié)點位移約束方程與(11)形式相同，僅需對系數(shù)Cbd修正如下:

3 算例分析

本文的模型算法及求解分析均在大型有限元分析軟件ANSYS11.0中進行。由于絞線模型采用分段截面梁單元模擬，足夠擬合精度下相鄰截面之間的梁單元均具有大徑跨比，因此，單元類型選擇基于經(jīng)典Timoshenko梁理論的Beam188單元，該單元綜合考慮了剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量，并對撓度與截面轉(zhuǎn)角各自獨立插值［15］。

將模型各節(jié)點子約束方程進行組集，可得到整體模型的多自由度系統(tǒng)約束方程Au=b。為施加約束條件，引入拉格朗日乘子λ構造變分，形成泛函:

其中:K為結構總體剛度矩陣;f為總體載荷列陣。

泛函L(u，λ)分別對函數(shù)u和λ取極值，得到系統(tǒng)求解方程的矩陣形式為:

通過求解方程(13)，即可得到不同載荷工況下各節(jié)點位移。

為驗證本文方法，模型的選取參照文獻［8］，軸向拉伸工況分析對象為雙股1×19絞線，水平彎曲工況分析對象為單股1×7絞線，分析對象的材料及幾何參數(shù)與文獻［8］的相同，如表1所示。

表1 不同工況絞線材料及幾何參數(shù)定義Table 1 Material and geometry parameters definition

雙股1×19絞線內(nèi)外層纏繞股以相反螺旋纏繞，兩層纏繞股線捻距相同，采用分段截面軌跡節(jié)點掃略和滾動單元映射，創(chuàng)建一個捻距長度的雙股絞線三維有限元模型如圖5所示。

圖5 單捻距長度雙股絞線有限元模型Fig.5 Finite element model of 1 × 19 strand of a pitch length

軸向拉伸計算工況下，對雙股絞線端部截面節(jié)點施加全約束，并在他端中心節(jié)點處施加軸向拉伸力T;水平彎曲計算工況下，對單股絞線兩端中心節(jié)點施加垂向約束，并在絞線中部截面中心絲節(jié)點處施加垂向集中力。端部軸向拉伸力T從50～400 kN變化，雙股絞線的軸向伸長量變化如圖6(a)所示;中部垂向集中力Fy從100～1000 N變化，中部垂向撓度變化如圖6(b)所示。

圖6 分析結果與Costello理論計算值的比較Fig.6 Analytical results comparison;the suggested FEA model，theory of Costello

端部軸向拉伸力T=400 kN時，雙股絞線的軸向伸長量為1.3728 mm，Costello理論計算值為1.3969mm，兩者相對誤差為1.72%;中部垂向集中力Fy=1000 N時，單股絞線中部垂向撓度為6.326 mm，Costello理論計算值為 6.745 mm，兩者相對誤差為6.21%。不同計算工況下兩者的變形情況如圖7所示。

圖7 端部軸向拉伸和水平彎曲計算工況下絞線變形圖Fig.7 Deformation map of wire strand in axial tension and pure bending

4 結論

(1)采用分段截面軌跡節(jié)點掃略和滾動梁單元映射構造了多股絞線有限元分析模型的自動生成算法。

(2)基于材料彈性理論和幾何協(xié)調(diào)創(chuàng)建了軸向拉伸和水平彎曲變形情況下單股絞線的股間幾何約束方程，并推廣到了多股絞線結構。

(3)基于Timoshenko梁理論和Lagrange乘子法對單捻距雙股和單股絞線結構進行了多工況有限元分析，并與Costello理論值進行了比較，橫向拉伸和水平彎曲變形下兩者相對誤差分別為1.72%和6.21%。結果表明，該有限元分析模型能夠精確模擬多股絞線的力學特性，為接觸網(wǎng)承力索等金屬絞線結構的力學分析提供了一種簡單有效的理論模型和方法。

(4)純彎曲情況下絞線股間幾何約束方程基于小變形假設而創(chuàng)建，因此有必要在下一步工作中對大位移變形下的絞線股間幾何協(xié)調(diào)機制進行深入研究。

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