陳珊珊 樓旭陽

江南大學輕工過程先進控制教育部重點實驗室 江蘇 214122

0 引言

眾所周知，二次規(guī)劃是非線性規(guī)劃中比較簡單的一類，由于較容易求解，所以很多方面的實際問題都可以抽象成二次規(guī)劃的模型去求解，例如在運籌學中，它被廣泛用于經濟調度，合理分配，計劃決策等問題。

傳統(tǒng)解決二次規(guī)劃問題的方法過程復雜，計算時間長，使得其在大范圍優(yōu)化中的使用受到限制。神經網絡具有大規(guī)模并行處理和分布式存儲等特性，在高效運算方面具有更多優(yōu)勢。1986年，Hopfield和Tank首先提出將神經網絡用于解決線性規(guī)劃問題。近年來，建立神經網絡來解決二次規(guī)劃問題的研究發(fā)展迅速。Chen和Fang通過使用懲罰參數，提出了解決凸二次規(guī)劃問題的時滯神經網絡，得到了平衡點穩(wěn)定的時滯穩(wěn)定裕度。但是由于使用了懲罰參數，這種神經網絡只能得到近似解。Liu，Cao和Wang提出一種時滯Lagrange網絡來求解二次型規(guī)劃問題，通過確定時滯間隔來保證時滯神經網絡在最優(yōu)點的漸進穩(wěn)定性，但Lagrange乘子的存在，使得狀態(tài)變量有所增加，導致了網絡規(guī)模的擴大。Yang和Cao提出一類用于解決二次規(guī)劃問題的時滯投影神經網絡，這種模型不但沒有包含Lagrange乘子和懲罰參數，而且用來求解二次規(guī)劃問題也十分有效。但是，這種模型只考慮了部分神經元存在時滯的情況。

考慮到時滯的普遍存在性，本文在Yang和Cao的研究基礎之上進行了改進，提出一類所有神經元皆存在時滯的投影神經網絡模型。同時，利用Gronwall不等式和Halanay不等式給出了全局指數穩(wěn)定性的證明。

1 問題描述

考慮如下二次規(guī)劃問題：

其中：Q∈Rn×n為正定或半正定矩陣，q∈Rn，A∈Rm×n為行滿秩矩陣，b∈Rm，且假設可行域Ω=｛x∈Rn｝為非空集合。

文獻【4】提出如下時滯投影神經網絡來解決問題(1)：

其中α＞0恒成立，τ≥0表示傳輸延時。PΩ：Rn→Ω是一個投影算子，其定義如下：

其中

在本文中，我們對模型(2)加以改進，提出一個所有神經元皆存在時滯的投影神經網絡來求解問題(1)：

設Ωe為模型(3)中平衡點的集合，Ω*=Ωe是問題(1)中最優(yōu)解的集合?？梢?，當且僅當x*是模型(3)的平衡點時，x*是模型(2)的平衡點，從而x*是問題(1)的最優(yōu)解。所以，我們就有Ω*=Ωe。為了分析模型(3)的穩(wěn)定性，我們引入下列的定義和引理。

定義1 如果由任意初始點x0出發(fā)的軌跡都滿足：

其中k和η是獨立的恒定常量，那么就稱這個系統(tǒng)在平衡點x*處是全局指數穩(wěn)定的。

引理1(Gronwall不等式)設X(t)和Y(t)在［t0,+∞）上是非負連續(xù)的函數，如果

則

引理2(Halanay不等式) 令a＞b＞0，ν(t)為在［t0-τ,t0］上非負連續(xù)的函數且滿足下列不等式：

其中τ是一個非負常數，則存在常數λ＞0滿足下列不等式：

其中λ是方程λ=a-beλτ的惟一解。

2 主要結果

在這一節(jié)中，我們將討論模型(3)的全局指數穩(wěn)定性。定理1 如果任意給定一個初始值滿足下列關系式：

那么，就存在一個惟一的連續(xù)函數x(t)在區(qū)間［t0,∞）上滿足模型(3)。

證明 令

則模型(3)演化為：

由于函數g(?)，PΩ(?)，T(?)是局部Lipschitz連續(xù)的，由微分方程解的存在性定理得，模型(3)存在一個解x(t)，其在［t0,T0）上滿足x(t0)=φ。

因為x(t)∈Rn，于是我們可以得到：

在區(qū)間［t0,t］（t0＜t）上，對模型(3)中的第一個式子兩邊同時求積分，得到：

且x(t)=φ(t),-τ≤t ≤0。

所以：

根據引理1，可以得到：

因此，解x(t)在[0,T0）上是有界的。

根據微分方程連續(xù)性法則，我們得到模型(3)在區(qū)間［τ0,+∞）上存在惟一連續(xù)解。

定理證畢。

證明 設x*是模型(3)的一個平衡點，則有

x*=PΩ[（I-αQ）x*-αq] ，

從而可得：

兩邊取范數得：

根據引理2，可以得到：

其中λ是方程λ=a-beλτ的唯一解。所以，模型(3)是全局指數穩(wěn)定的。定理證畢。

注：當且僅當x*是模型(3)的平衡點時，x*是問題(1)的最優(yōu)解。也就是說，任意x0∈Ω，模型(3)的解x(t,x0)指數收斂于問題(1)的惟一最優(yōu)解。

3 仿真示例

為了說明所提出的時滯投影神經網絡在解決二次規(guī)劃問題中可行性和有效性，我們給出下面的仿真例子。

考慮如下的二次規(guī)劃問題：

易知該問題對應(1)中的參數如下：

該問題最優(yōu)解為x*=(3.8335,1.1667)T，取τ=0.5，α=1，分別利用模型(2)、模型(3)來求解此二次規(guī)劃問題，在10個隨機初始條件下，所有解的軌跡均收斂至最優(yōu)解x*。仿真結果如圖1、圖2所示。利用模型(3)時，可以算出β=1，滿足全局指數穩(wěn)定的條件。

圖1 利用模型(2)得到的時間響應曲線

圖2 利用模型(3)得到的時間響應曲線

從圖中我們可以看出，模型(2)的1x和2x在接近3秒的時候才趨于穩(wěn)定，而模型(3)在2秒左右就開始趨于穩(wěn)定，即模型(3)比模型(2)的求解速度更快，并且具有很好的穩(wěn)定性。

4 結論

本文提出了一種新型的時滯投影神經網絡，用于解決二次規(guī)劃問題。對所提網絡模型的全局指數穩(wěn)定性進行了詳細的分析。數值實例說明了所提網絡模型具有結構簡單，求解速度快以及便于硬件實現(xiàn)等特點。

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