劉正權 孫耀杰 林燕丹

(復旦大學信息科學與工程學院光源與照明工程系，上海 200433)

1 引言

LED具有環(huán)保節(jié)能等優(yōu)點，在道路照明、汽車前照燈、投影儀設備和掃描打印等領域得到了廣泛的應用。為了解決LED光源發(fā)光不均勻的問題，需要根據(jù)LED光源特性和預期光度分布要求進行二次配光設計［1～2］。按照設計對象劃分，現(xiàn)在基于LED光源的非成像光學設計主要有自由曲面反射器和自由曲面透鏡，其設計思想都是通過光學器件對光源光線的調制以達到在被照面上形成預期的照度分布的目的［3～5］。在非成像光學設計中邊緣光線理論是基本理論［6］。針對LED的自由曲面光學設計主要有以下幾種方法:2002年Ries等使用三維自由曲面裁剪法設計光學曲面，這個方法通過裁剪光學曲面控制波前方向，最終將光學曲面模型抽象為求解一組非線性偏微分方程，其缺點是不能根據(jù)指定的光學曲面進行設計［7～10］。另一種方法是網格法，這種方法具有直觀的優(yōu)點，設計方法是根據(jù)光源與被照面之間的能量映射關系進行光線設計，通過迭代求解得到光學曲面的坐標點以確定透鏡或者反射器的外形［11～12］。第三種方法是基于微分幾何的光學設計方法，丁毅等基于折射定律和光通守恒定律建立了自由曲面透鏡的偏微分方程組，并使用數(shù)值計算的方法求解反射器的面型，這個方法的優(yōu)點是目的性強且花費時間短，缺點是需要求解一組偏微分方程，求解與編程一般比較困難［13］。

為了解決上述問題，本文根據(jù)LED配光特性和矩形照度分布要求，基于微分幾何理論和能量守恒原理建立自由曲面反射器模型，使用一階偏微分方程描述自由曲面反射器，并將該設計流程與算法編譯成自由曲面反射器設計軟件，通過簡單的交互操作就可以設計出符合要求的反射器，簡化了設計步驟并降低了自由曲面反射器設計難度。

2 軟件算法

2.1 光線與自由曲面一般作用關系

我們在球坐標下研究自由曲面，假定自由曲面是一階連續(xù)且正則。我們首先討論自由曲面的法線、切線及其與光線的相互作用關系。如圖1所示，自由曲面上任意一點 P，矢徑 可記為 ρ(ρsinθcosφ，ρsinθsinφ，ρcosθ)，其中 θ和 φ分別為天頂角和方位角，ρ為矢徑 長度。

圖1 球坐標下自由曲面與光線相互作用

如圖1所示，入射光線和折射光線的單位矢量分別為I和I'，入射光線與折射光線所在空間介質折射率分別為n1和 n2。根據(jù)折射定律定律，有

2.2 光源與被照面能量拓撲關系

以矩形照度分布為例分析光源與被照面能量拓撲關系，如圖2和圖3所示［15］。光線全部照射到矩形被照面上且照度均勻分布，根據(jù)能量守恒定律，有

其中I(θ，φ)為LED光源光強分布，E(x，y)為矩形被照面上照度分布，為常數(shù)。矩形被照面長度和寬度分別為l和w，LED近似為朗伯光源，配光I(θ，φ)取I0cosθ，計算得到

即理想情況下，路面照度為E=πI0/wl。

圖2 LED光源與被照面能量拓撲示意圖

圖3 立體角微元與面積微元之間能量拓撲示意圖

如圖3所示，對于不同的θ范圍內，有

其中X和Y分別表示對應第一象限矩形被照面頂點坐標且滿足X/Y=l/w。計算得到

在第一象限，當0≤y＜Y時，即x=X=(l/2)sinθ，(y/Y)=φ/(π/4)，有 y=(4φ/π)Y=(2φw/π)sinθ;當y=Y時，x=(4X/π) × ［(π/2) －φ］=(2l sinθ/π) × ［(π/2) － φ］，y=w sinθ。綜上所2述，第一象限內LED發(fā)光面上方位角為 (θ，φ)的出射光線照射到路面上點 Q的坐標 (x，y，z)為

軟件中使用Runge-Kutta法求解第一個邊界條件得到ρ(θ，π/2)，再使用Lax-Friedrichs格式求解一階偏微分方程［16］。

圖4 自由曲面反射器設計軟件主界面

3 軟件算法驗證

如圖4所示為自由曲面反射器設計軟件主界面，其主要包括參數(shù)設置、幾何模型和照度分布三個功能區(qū)域。其中參數(shù)設置功能區(qū)域主要用來設置被照面照度分布形狀，有矩形、圓形和正多邊形三種形狀供選擇，并可以分別設置被照面的幾何尺寸。對于LED光源配光可以選擇朗伯配光，也可以自定義配光數(shù)據(jù)導入軟件。另外，設計過程中還需要設置反射器中心與LED光源的垂直距離。在設置好上述參數(shù)后，運行軟件就可以計算出反射器面型，并在右面的幾何模型界面中顯示出反射器的外形，包括三維視圖和二維投影視圖。設計軟件導出的反射器模型可以導入光學追跡軟件進行光學仿真以驗證設計效果。本軟件中也提供了被照面照度分布分析。

為了驗證軟件算法的效率和可靠性，使用矩形和圓形照度分布自由曲面反射器設計實例來進行驗證。對于圓形照度分布自由曲面反射器，其參數(shù)設置為被照面半徑1000mm，LED與反射器中心距離30mm，LED與被照面距離2000mm。將軟件計算得到的反射器導入光學仿真軟件進行追跡驗證設計準確性，反射器外形光線追跡和照度分布分別如圖5和圖6所示。

圖5 圓形照度分布自由曲面反射器外形與光線追跡圖

圖6 圓形被照面照度分布

從圖6可以看到，圓形被照面的照度均勻度為0.92，設計結果與預期一致，算法設計是合理的。對于矩形照度分布反射器，參數(shù)設置為LED與反射器中心距離30mm，矩形被照面長度2000mm，寬度為3500mm，矩形被照面與LED中心距離2000mm。矩形照度分布反射器外形和照度分布分別如圖7和圖8所示。

圖7 矩形照度分布自由曲面反射器外形圖

圖8 矩形被照面照度分布

從圖8可以看到，矩形被照面照度基本呈矩形分布，照度分布均勻，其縱向照度均勻度為0.8，橫向照度均勻度為0.9。另外，被照面的照度分布不是嚴格的矩形分布，這個誤差主要是數(shù)值求解和曲面擬合建模過程中引入的;數(shù)值求解差分格式的穩(wěn)定性和步長影響了求解精度，三維模型軟件使用樣條曲面擬合曲面上離散數(shù)據(jù)，也引入了誤差。另外，從被照面照度分布可以看到，在矩形對角線上的照度較高，這是由對角線部分的反射器表面不平滑引起。

4 結論

針對LED光源配光建立了自由曲面反射器設計模型，根據(jù)設計模型分別設計了數(shù)值計算和光線追跡算法，并編譯成可操作的GUI界面。和使用有限差分法求解得到了自由曲面反射器面型并使用光學軟件進行了分析驗證，被照面縱向和橫向照度均勻度分別達到了0.8和0.9。該軟件適用于道路照明燈具設計和汽車前照燈設計等領域?？梢酝ㄟ^優(yōu)化軟件算法提高計算效率和精度，降低反射器面型誤差，進一步提高反射器光學性能。

［1］史永勝，買迪，寧磊．實現(xiàn)道路均勻照明的led自由曲面透鏡設計方法綜述［J］．照明工程學報，2010，21:73～77．

［2］陳巧云，朱向冰，倪建等．一種實現(xiàn)均勻照明的led反射器設計 ［J］．照明工程學報，2011，22(71～74，80)．

［3］Fournier F，Rolland J．Design methodology for high brightness projectors［J］．Journal of Display Technology，2008，4(1):86～91．

［4］Minano JC，Benitez P，Santamaria A．Free-form optics for illumination ［J］．Optical Review，2009，16(2):99～102．

［5］Wu R，Li H，Zheng Z，et al．Freeform lens arrays for offaxis illumination in an optical lithography system ［J］．Appl Opt，2011，50(5):725 ～732．

［6］Ries H，Rabl A．Edge-Ray Principle of Nonimaging Optics［J］．Journal of the Optical Society of America a-Optics Image Science and Vision， 1994，11(10):2627～2632．

［7］Ries H，Muschaweck J．Tailored freeform optical surfaces［J］．Journal of the Optical Society of America a-Optics Image Science and Vision，2002，19(3):590～595．

［8］Schruben JS．Formulation of a Reflector-Design Problem for a Lighting Fixture［J］．Journal of the Optical Society of America，1972，62(12):1498～1501．

［9］Zheng ZR，Hao X，Liu X．Freeform surface lens for LED uniform illumination ［J］．Applied Optics，2009，48(35):6627～6634．

［10］Guan PF，Wang XJ．On a Monge-Ampere equation arising in geometric optics ［J］．Journal of Differential Geometry，1998，48(2):205～223．

［11］Wang K，Liu S，Chen F，et al．Freeform LED lens for rectangularly prescribed illumination［J］．Journal of Optics a-Pure and Applied Optics，2009，11(10)

［12］Wang K，Chen F，Liu ZY，et al．Design of compact freeform lens for application specific light-emitting diode packaging［J］．Optics Express，2010，18(2):413～425．

［13］Ding Y，Liu X，Zheng ZR，et al．Freeform LED lens for uniform illumination ［J］．Optics Express，2008，16(17):12958～12966．

［14］Struik DJ． Lectures on Classical Differential Geometry［M］．Dover Publications，1988．

［15］Fournier FR，Cassarly WJ，Rolland JP．Fast freeform reflector generation using source-target maps［J］．Optics Express，2010，18(5):5295～5304．

［16］Thomas JW．Numerical Partial Differential Equations:Finite Difference Methods［M］．Springer，1995．