申朝文，禹思敏

(①廣東工業(yè)大學 自動化學院，廣東 廣州 510006；②仲愷農業(yè)工程學院 信息學院，廣東 廣州 510225)

0 引言

近年來，隨著混沌系統理論的不斷完善，越來越多的研究表明，超混沌系統與一般混沌系統相比具有更為復雜的拓撲結構和動力學行為，它能在混沌保密通信和混沌信息加密上提供更為可靠的保證，具有較好的工程應用前景。因此，越來越多的研究者在現有混沌系統上進行改造，提出了一系列的超混沌系統[1-5]，以及如何構建超混沌系統的方法。可見對超混沌的研究已經成為了混沌應用領域中一個重要的研究熱點。

1 新的四維超混沌系統

文獻[6]給出了一個新的三維二次多項式自治系統，其無量綱方程為：

當a=20，b=5，c=10，d=7時，系統(1)處于混沌狀態(tài)。3個Lyapunov指數分別為：，系統的3個平衡點為：平衡點O的特征值為：= 10,= 10,= -5，平衡點 E1和 E2處的特征值為=-1 8.2601，=-1.63±10.3379i。因此，系統(1)具有一個鞍點和兩個穩(wěn)定的鞍焦平衡點。

要產生超混沌系統必須滿足兩個必要條件：①對于自治系統而言，至少是四維；②至少有兩個正的Lyapunov指數且所有Lyapunov指數之和小于零。根據以上兩個條件，在系統(1)的基礎上引入一個反饋控制器u，令u的變化速率為d/dueyτ=-，并把控制器u反饋到系統(1)的第二個方程中，構造出一個可產生超混沌現象的四維自治系統，其狀態(tài)方程為

當 a = 20，b =5，c = 10，d =7，e = 13.5，系統(2)的4個 Lyapunov指數分別為=2.2259，=0.2069，=0，=-34.9259，有兩個正的Lyapunov指數，系統處于超混沌狀態(tài)，對應的幾個典型的超混沌吸引子相圖如圖1所示。

圖1 超混沌吸引子相圖

2 新超混沌系統的動力學分析

2.1 系統的耗散性

2.2 平衡點分析

令 系 統(2)的 每 一 個 方 程dx/dτ =dy/dτ =得系統平衡狀態(tài)方程為：

由式(3)計算得，系統(2)有唯一平衡點)0000(，，，O，它與系統參數的取值無關，在平衡點O處線性化系統(2)，得到對應的Jacobian矩陣為：

取系統(2)參數 a = 5 0,b = 7 .5,c = 2 5,d = 7 .5,e =13.5時，計算出平衡點O處的特征值為= 0.5522，= 24.4478，=-50，= -7.5，因此O是一個不穩(wěn)定的鞍點。

2.3 Lyapunov指數譜圖與分岔圖分析

隨著系統參數的改變，系統平衡點的穩(wěn)定性將會發(fā)生變化，從而系統也將處于不同的狀態(tài)。固定參數 a =50， b=7.5，c=25，d =7.5，使參數e在(0，90]之間變化，系統初始值取(1，2，500，4)，隨參數e變化的Lyapunov指數譜和變量x的分岔圖分別如圖2和圖3所示。需要說明，圖2中并未給出始終處于最大負值的Lyapunov指數。

從圖2可以看出，當e∈(0，0.3)時，系統的Lyapunov指數都小于或等于零，系統處在周期態(tài)或擬周期態(tài)。e ∈ [0 .3，0.7)時，系統存在一個正的Lyapunov指數，系統處于混沌狀態(tài)；而e∈[0.7，50.4]時，系統有兩個正的 Lyapunov指數，系統處于超混沌狀態(tài)。當e∈(5 0.4，74.3]時，系統至少有一個正的Lyapunov指數，系統在混沌態(tài)和超混沌態(tài)來回轉換，形成復雜的動力學行為。當 e ∈(7 4.3，79.7]時，系統有一個正的Lyapunov指數或者最大的Lyapunov指數為零，系統處在混沌態(tài)或復雜周期態(tài)。當e∈(79.7，90]時，系統處在擬周期態(tài)或周期態(tài)。隨著e的繼續(xù)增加，最大Lyapunov指數趨近于零，意味著系統的解最終演化為一個周期軌。

圖2 Lyapunov指數譜

圖3 系統分岔

3 超混沌系統的電路設計與實現

根據式(2)設計實現該四維超混沌系統功能的實際電路[7-8]，采用線性電阻，線性電容，運算放大器為AD712，由于系統存在非線性項，可選用乘法器AD633實現。必須注意的是，變量 x , y ,z,u各自的動態(tài)范圍大約[-4000,4000],[-1 00,100],[100,3200],[-2 50,320]。遠大于運算放大器的飽和電壓，故必須進行變量比例壓縮變換，才便于電路實現。對系統(2)進行非均勻變量比例壓縮變換，令x, y ,z,u 壓縮到原來的 1 / 1000，1/20，1/1000，1/100，由于系統變量的變換不影響系統的狀態(tài)及性能，從而系統(2)可變?yōu)椋簩?a =50， b=7.5，c=25，d =7.5,e =13.5代入式(5)，并作時間尺度變換，令 τ =，= 100，得：

對式(6)進行模塊化電路設計，如圖4所示。

圖4 超混沌電路設計

電路的狀態(tài)方程為：

圖5 電路實現超混沌吸引子相圖

4 結語

通過對一個三維二次自治系統中引入一個變量反饋控制器，構造出一個新的超混沌系統，對系統的動力學特性進行了相關的理論分析與數值仿真，可以得出該系統與其他超混沌系統相比[9-10]，具有較大的正李雅普諾夫指數，且在較廣的動態(tài)參數范圍內存在超混沌軌道。最后設計并實現了該超混沌系統的硬件電路，給出了相關電路的實驗結果，證實該超混沌系統具有較為復雜的拓撲結構，在混沌保密通信等領域具有潛在的應用前景。

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