鄭煥坤 常鮮戎 王正輝

（1.華北電力大學電氣與電子工程學院 保定 071003 2.青海省電力設計院 西寧 810008）

1 引言

暫態(tài)穩(wěn)定計算是電力系統(tǒng)基本計算之一。暫態(tài)穩(wěn)定計算方法主要有時域仿真法、直接法和人工智能等方法[1]。時域仿真法作為研究電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定計算的重要手段，具有直觀、信息量豐富、物理概念清晰等優(yōu)點，其難點是既要保證算法具有良好的穩(wěn)定性同時又要具有足夠高精度。1963年Dahlquis引入A穩(wěn)定性概念的同時也提出了限制性的結果：顯式的線性多步法（包括顯式 Runge-Kutta方法）不可能是A穩(wěn)定的；A穩(wěn)定的隱式線性多步法的階數(shù)不能超過2，而所有A穩(wěn)定的2階方法中，梯形公式具有最小的局部截斷誤差常數(shù)[2]。自夏道止教授 1983年將高階 Taylor級數(shù)法引入暫態(tài)穩(wěn)定計算后[9]，基于Taylor級數(shù)的暫態(tài)穩(wěn)定仿真的研究一直沒有中斷。快速高階Taylor級數(shù)法是一種較優(yōu)秀的暫態(tài)穩(wěn)定計算方法，但其數(shù)值穩(wěn)定性較弱[4]。很多學者為了提高其數(shù)值穩(wěn)定性和計算精度做了大量工作，例如引入多步法、隱式方法等。

隱式Taylor級數(shù)法較顯式Taylor級數(shù)法穩(wěn)定域明顯擴大[5]。文獻[6]提出了隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)法，并根據(jù)經(jīng)驗試探性地引入調(diào)諧參數(shù)以改善其穩(wěn)定。本文在其基礎上通過數(shù)學推導，得到具有A穩(wěn)定性的高精度隱式Taylor級數(shù)算法的計算格式。證明了按照本文提出的計算格式設計的隱式高階Taylor級數(shù)在具有高計算精度的同時還可以保持良好的穩(wěn)定性。通過理論推導，證明了該隱式高階Taylor級數(shù)法在達到2N階精度時仍然是A穩(wěn)定的。該方法突破了Dahlquist提出的限制性結果。另外該方法除了適用于電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定計算也適用于電力系統(tǒng)的中長期仿真計算。

2 隱式Taylor級數(shù)法數(shù)值計算精度分析

設式（1）=S，當N為偶數(shù)時易知S為零。當N為奇數(shù)時，有

所以當N為奇數(shù)時，S=1/(N+1)！

與N+1階奇數(shù)情形類似，可證S′=1/K！。

當N為奇數(shù)時

綜上所述，y(1)(x+Δx )的 K階導數(shù)的系數(shù)為1/K！ (K=1,2,??, N)。經(jīng)過以上分析后發(fā)現(xiàn)，展開階數(shù)N與數(shù)值精度之間呈如下關系：當N為偶數(shù)時精度為N階，而N為奇數(shù)時精度為N+1階。

3 隱式Taylor級數(shù)法數(shù)值穩(wěn)定性分析

P階展開時改進隱式Taylor級數(shù)法絕對穩(wěn)定域為

這里λ 為復數(shù)。P＝1時，隱式Taylor級數(shù)法即等價為A穩(wěn)定的隱式梯形法。梯形法是二階的方法，也是A穩(wěn)定的方法中截斷誤差比較小的方法。當P＝1,2,3時，隱式Taylor級數(shù)法在hλ 復平面的左半平面。而當P=4時穩(wěn)定域如圖1中陰影所示。

圖1 P=4時隱式Taylor級數(shù)法穩(wěn)定域Fig.1 Stability domain of implicit Taylor series method

隱式Taylor級數(shù)法較顯式Taylor級數(shù)法穩(wěn)定域明顯擴大，在相同精度下，絕對穩(wěn)定域也要比Runge-Kutta法大[5]。由式（2）可知在P＜4時將穩(wěn)定域的范圍控制在復平面的左半平面即 A穩(wěn)定區(qū)域，當階數(shù)升高（P≥4）時，隱式Taylor級數(shù)法不再具有如此良好的數(shù)值穩(wěn)定性。

4 隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)法迭代格式

為了使高精度的隱式Taylor級數(shù)法具有更強的數(shù)值穩(wěn)定性，引入如下參數(shù)調(diào)節(jié)格式：

式中，ω1, ω2,…,ωn為隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)法調(diào)節(jié)格式中待定系數(shù)。由隱式Taylor級數(shù)法迭代格式可知當展開階數(shù)為N時，其中各調(diào)諧參數(shù)需滿足條件：

以上兩式中 ωi(i=1,2 … N)為N階展開時對應于方程組（3）的解。

對應的隱式Taylor級數(shù)法絕對穩(wěn)定域為

5 隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)法算法穩(wěn)定性分析

經(jīng)過參數(shù)調(diào)節(jié)后所得到的上述迭代算法為A穩(wěn)定的，下面給出證明。以N=4為例，由方程組（3）可知四階展開時隱式 Taylor級數(shù)法可達 8階精度（具體證明見調(diào)諧隱式 Taylor級數(shù)法計算精度分析）。它的穩(wěn)定域為

式（8）只有當x＜0時才成立，故式（5）的解均在復平面的左邊平面。因此，采用這種調(diào)諧方法的隱式Taylor級數(shù)法是A穩(wěn)定的。類似可證N=5,6,??的情形，這里不再贅述。N=5,6階時具體穩(wěn)定域分別在復平面的左半平面。

6 隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)法計算精度分析

由隱式Taylor級數(shù)法數(shù)值計算精度分析可知：對于y=f(x)，當N為偶數(shù)時精度為N階，而N為奇數(shù)時精度為N+1階。對于隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)法，以 N=4為例，由式（3）得到對應參數(shù)并與 y=f(x)隱式泰勒級數(shù)8階展開式相減，可得（具體化簡過程 從略）： y(1)(x +Δ x)-y(0)(x +Δ x)=O(Δ x9)

可見：隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)法與y=f(x)的8階Taylor展開式相減得到的局部截斷誤差為9O(Δx)。因此當隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)法階數(shù)為4時算法精度可達8階。類似可分析其他展開階數(shù)的情形。

7 隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)法計算速度分析

在滿足相同計算精度前提下，顯式Taylor級數(shù)法的計算速度較常規(guī)四階Runge-Kutta法快6倍左右[6]。由隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)法迭代格式，可知若式（4）去掉調(diào)諧因子即為顯式高階 Taylor級數(shù)法的迭代格式。由式（4）和式（5）可知，對于隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)法每步計算約為顯式Taylor級數(shù)法的2倍。由隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)法精度分析可知，當Taylor級數(shù)展開N階時其計算精度為2N階。因此，若保持隱式Taylor級數(shù)法和顯式Taylor級數(shù)法計算精度相同，則相應顯式Taylor級數(shù)法必須展開2N階。而顯式Taylor級數(shù)法，每一步計算量約為[10]

式中，ng為系統(tǒng)發(fā)電機個數(shù)，nf為故障點個數(shù)，N為 Taylor級數(shù)展開的階數(shù)。由式（9）可知，當顯式Taylor級數(shù)法展開階數(shù)由N變?yōu)?N時增加的計算量還與具體系統(tǒng)規(guī)模有關。從本文采用的72機等效系統(tǒng)仿真結果可以看出，隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)至少可以采用2倍于顯式Taylor級數(shù)法的步長進行仿真，即進行相同的暫態(tài)穩(wěn)定計算，隱式調(diào)諧 Taylor級數(shù)法計算步數(shù)僅為顯示Taylor級數(shù)法的一半。由上述分析可知，隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)仿真速度應略快于顯式Taylor級數(shù)法。

仿真時設系統(tǒng)中66號發(fā)電機出口母線0s發(fā)生三相短路故障，隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)法展開5階，仿真步長0.06s，顯式Taylor級數(shù)法展開10階，仿真步長0.03s，進行20s仿真，隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)法實際用時 25.6s，而顯式 Taylor級數(shù)法實際用時27.1s。仿真結果驗證了分析的正確性。

8 仿真計算

本文選用我國某省電力系統(tǒng)的等效 72機系統(tǒng)為實驗系統(tǒng)。分別對顯式Taylor級數(shù)法、隱式Taylor級數(shù)法和隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)法在不同仿真步長下進行計算，并對計算結果進行分析。

8.1 小干擾仿真計算

設系統(tǒng)中14號發(fā)電機母線0.5s投入負荷，負荷等值阻抗Z=10+j10，并在6.2s切除該負荷，所有保護均不動作，仿真步長為0.01s，仿真結果如圖2所示。

圖2 隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)法小干擾14機Pe曲線Fig.2 The Pe curve of No.14 generator with implicit tuned Taylor method when small disturbance

針對時域數(shù)值積分方法對擾動比較敏感的問題，對隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)法進行小干擾仿真。從圖2可以看出，在系統(tǒng)投入小負荷時發(fā)生功率振蕩，并在5s時達到新穩(wěn)定值1.353，切除負荷后最后穩(wěn)定在未投切負荷時的1.351，未發(fā)生局部窗口失真或數(shù)值穩(wěn)定性問題。利用該方法進行了大量小干擾仿真均未發(fā)現(xiàn)局部窗口失真或數(shù)值穩(wěn)定性問題。

8.2 系統(tǒng)三相接地故障暫態(tài)仿真計算

設系統(tǒng)中66號發(fā)電機出口母線0s發(fā)生三相短路故障，0.1s故障清除，所有保護均不動作。圖 3為仿真步長為 0.01s時顯式 Taylor級數(shù)法、隱式Taylor級數(shù)法以及隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)法的仿真曲線。圖4、圖5中仿真步長均為0.03s。圖6和圖7中仿真步長為0.06s。

圖3 顯式、隱式和隱式調(diào)諧法66號機Pe曲線Fig.3 The Pe curve of No.66 generator with explicit,implicit and implicit tuned method

圖4 顯式Taylor級數(shù)法66號機Pe曲線Fig.4 The Pe curve of No.66 generator with explicit method

圖5 調(diào)諧與非調(diào)諧Taylor級數(shù)法66號機Pe曲線Fig.5 The Pe curve of No.66 generator with implicit and implicit tuned method

圖6 隱式非調(diào)諧Taylor級數(shù)法66號機Pe曲線Fig.6 The Pe curve of No.66 generator with implicit method

圖7 隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)法66號機Pe曲線Fig.7 The Pe curve of No.66 generator with implicit tuned method

由算例結果可以看出，顯式Taylor級數(shù)法的數(shù)值穩(wěn)定性較差，在取小步長時算法是穩(wěn)定的，而當取較大步長時會出現(xiàn)“誤差淹沒真值”的現(xiàn)象，使計算無法繼續(xù)。從圖 3中可以看出，當步長均為0.01s時顯式 Taylor級數(shù)法比隱式 Taylor級數(shù)法和隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)法振蕩的幅值大，振蕩時間長。當積分步長增長到0.03s時顯式Taylor級數(shù)法失去穩(wěn)定，隱式Taylor級數(shù)法和隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)法均能保持穩(wěn)定；繼續(xù)增加步長，當步長為 0.06s時隱式Taylor級數(shù)法也失去穩(wěn)定，而隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)法仍可以維持穩(wěn)定。從圖5中可以看出在相同步長情況下，隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)法振蕩幅值要小于隱式非調(diào)諧Taylor級數(shù)法?？梢娬{(diào)諧Taylor級數(shù)法在保證較高計算精度情況下還具有很大的穩(wěn)定域。

8.3 系統(tǒng)中長期動態(tài)仿真

對系統(tǒng)進行中長期仿真，設系統(tǒng)中243號母線0s投入負荷，負荷等值阻抗為Z=0.3+j0.8，并在30s切除該負荷，所有保護均不動作，仿真步長為0.06s，仿真結果如圖8所示。

圖8 隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)法66號機Pe曲線Fig.8 The Pe curve of No.66 generator with implicit tuned method

從圖8中可以看出隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)法可以進行大步長、長時間動態(tài)仿真，因而可用于中長期的仿真。

9 結論

在隱式Taylor級數(shù)法[5]基礎上，引入了隱式調(diào)諧 Taylor級數(shù)法迭代格式，通過數(shù)學推導得出了具有A穩(wěn)定性的高精度隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)法的計算格式。解決了原隱式算法高精度時數(shù)值穩(wěn)定性較差的問題。當 N=2,3時調(diào)諧后即保持了原有的 A穩(wěn)定性，同時又將穩(wěn)定精度擴大為 2N階。N≥4時既把穩(wěn)定域擴大為A穩(wěn)定同時又將計算精度提高為 2N階。該方法突破了 Dahlquist提出的限制性結果，即隱式高階Taylor級數(shù)算法通過調(diào)諧以后也可以在高階保持A穩(wěn)定。另外在仿真中可以使用較大的積分步長，能夠適應較長動態(tài)過程仿真計算。

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