傅里葉級(jí)數(shù)的起源、發(fā)展與啟示

鄧新蒲，吳 京

(國防科技大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長沙 410073)

在無法進(jìn)行理論證明時(shí)，采用直觀推斷的研究方法在早期的科學(xué)研究中已被廣泛采用［1］。由此帶來了許多重要的發(fā)現(xiàn)，傅里葉級(jí)數(shù)就是其中之一。

傅里葉(H.Fourier，1768-1830)在研究熱傳導(dǎo)方程時(shí)繼承了前人研究天文理論和弦振動(dòng)方程的方法，直觀地?cái)喽恳粋€(gè)周期函數(shù)都可表示為三角級(jí)數(shù)，但他并沒有給出一個(gè)函數(shù)可以展開為三角級(jí)數(shù)的條件，也沒有給出嚴(yán)格的證明。盡管如此，傅里葉將Euler(歐拉，1707-1783)等人在一些特殊情形下應(yīng)用的三角級(jí)數(shù)方法發(fā)展為內(nèi)容豐富的一般理論，從而開創(chuàng)了數(shù)學(xué)物理學(xué)一個(gè)時(shí)代。

1 傅里葉級(jí)數(shù)的起源

1753年，D.Bernoulli(伯努利，1700-1782)提出了采用三角級(jí)數(shù)解弦振動(dòng)方程的方法［2］。1759年，Lagrange(拉格朗日，1736-1813)在給 d'Alembert(達(dá)朗貝爾，1717-1783)的信中稱x2/3可表示為三角級(jí)數(shù)［3］。1777 年，Euler在研究天文問題時(shí)得到［3］

并應(yīng)用了關(guān)系式:

(1)除了因缺少正弦項(xiàng)而只能表示周期為l的偶函數(shù)，Euler得到的三角級(jí)數(shù)與今天我們使用的傅里葉級(jí)數(shù)已經(jīng)沒有區(qū)別。

(2)Euler推出級(jí)數(shù)系數(shù)的方法運(yùn)用了三角函數(shù)的正交性，這正是現(xiàn)在“信號(hào)與系統(tǒng)”課程在推導(dǎo)傅里葉系數(shù)公式時(shí)所采用的方法。

盡管Euler已經(jīng)得到了類似傅里葉級(jí)數(shù)的表達(dá)式，他所采用的推導(dǎo)級(jí)數(shù)系數(shù)的方法我們今天仍在使用。然而，他與Lagrange及d'Alembert卻始終堅(jiān)持這樣的觀點(diǎn):并非是任意的周期函數(shù)都可以表示為三角級(jí)數(shù)。

十九世紀(jì)，傅里葉邁出了重要的一步。傅里葉像他同時(shí)代的科學(xué)家一樣，也從事熱傳導(dǎo)的研究。他在解如下偏微分方程:

時(shí)得到，初始條件 T(x，0)=f(x)必須有［3］

于是，傅里葉面臨這樣的問題:f(x)能表示成三角級(jí)數(shù)嗎?特別是bk能確定嗎?

不妨取l=π，上式簡化為

傅里葉把等式左邊f(xié)(x)和右邊的sin kx展開為冪級(jí)數(shù)，經(jīng)過并不嚴(yán)格的推導(dǎo)得到

然而，這個(gè)結(jié)論卻不為當(dāng)時(shí)大多數(shù)科學(xué)家接受，傅里葉仍堅(jiān)信自己的結(jié)論。隨后他得到了更精確的結(jié)論，即對(duì)于任意周期函數(shù)，在周期區(qū)間(-π，π)上都可以表示為

傅里葉從沒有給出“任意”函數(shù)可以這樣表示的一個(gè)完全的證明，也沒有說出一個(gè)函數(shù)可以展開為三角級(jí)數(shù)所必須滿足的條件，但他對(duì)此是堅(jiān)信的。1807年，傅里葉提交的論文被巴黎科學(xué)院拒絕了，論文評(píng)委之一的Lagrange堅(jiān)決否認(rèn)任意周期函數(shù)都可以展開為三角級(jí)數(shù)，并批評(píng)了該論文缺乏嚴(yán)密性。事實(shí)上，傅里葉始終沒有能在他的論文中對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)理論做出嚴(yán)格的證明。經(jīng)過15年的抗?fàn)?，直到Lagrange離世9年后的1822年，他終于出版了專著《熱的解析理論》，直到此時(shí)人們才勉強(qiáng)地承認(rèn)了他的思想。

我們可以列出傅里葉在方法上存在的缺陷。比如傅里葉在求級(jí)數(shù)系數(shù)時(shí)采用的方法不夠嚴(yán)密，并且比Euler所采用的運(yùn)用三角函數(shù)正交性質(zhì)的方法要復(fù)雜得多。盡管存在一些缺陷，傅里葉得到了正確的結(jié)論。傅里葉的結(jié)論展示了強(qiáng)大的生命力，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展也產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，這是傅里葉本人及其同時(shí)代人都難以預(yù)料到的，而且這種影響至今還在發(fā)展之中。

(1)傅里葉級(jí)數(shù)促進(jìn)了偏微分方程理論的發(fā)展，成功地解決了關(guān)于弦振動(dòng)問題的解的爭論;

(2)傅里葉級(jí)數(shù)促進(jìn)了函數(shù)概念的發(fā)展，傅里葉級(jí)數(shù)理論的先驅(qū)者們認(rèn)為函數(shù)必須由一個(gè)解析表達(dá)式表示;

(3)傅里葉級(jí)數(shù)標(biāo)志著人們從解析函數(shù)或可展成Taylor(泰勒，1685-1731)級(jí)數(shù)的函數(shù)中解放出來。Taylor級(jí)數(shù)僅在函數(shù)的解析點(diǎn)附近表示該函數(shù)，而傅里葉級(jí)數(shù)在一整段上表示一個(gè)函數(shù)。

2 傅里葉級(jí)數(shù)的嚴(yán)密化

隨著數(shù)學(xué)思想的進(jìn)步，傅里葉的成就在后來贏得了廣泛的贊許。但嚴(yán)格地講并不是任意周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)都收斂。關(guān)于收斂條件和收斂證明問題的研究，后繼者 Cauchy(柯西，1789-1857)和Poisson(泊松，1781-1840)的努力沒有結(jié)果，代表性的成果是 Dirichlet(狄利克雷，1805-1859)和 Riemann(黎曼，1826-1866)做出的［4］。

2.1 Dirichlet條件

Dirichlet在1822年至1825年間在巴黎幾次會(huì)見傅里葉之后，對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)產(chǎn)生了興趣。1829年他在論文《關(guān)于三角級(jí)數(shù)的收斂性》中給定并證明了:當(dāng)f(x)滿足下列條件時(shí)其傅里葉級(jí)數(shù)是收斂的，這就是Dirichlet條件:

(1)f(x)是單值有界的;

(2)f(x)是分段連續(xù)的，即在一個(gè)周期內(nèi)只有有限多個(gè)間斷點(diǎn);

(3)f(x)是分段單調(diào)的，即在一個(gè)周期內(nèi)只有有限多個(gè)極值點(diǎn)。

今天的教科書中，條件(1)已放寬為絕對(duì)可積［5，6］，使得工程上所遇到的絕大多數(shù)函數(shù)都滿足Dirichlet條件。條件(2)和(3)排除了無窮間斷點(diǎn)和無窮振蕩的情形。

Dirichlet邁開了傅里葉級(jí)數(shù)嚴(yán)密化的堅(jiān)實(shí)的第一步，以致Riemann尊稱他為傅里葉級(jí)數(shù)理論的真正奠基者。關(guān)于傅里葉級(jí)數(shù)收斂性的研究持續(xù)到今天有很多結(jié)果，但Dirichlet條件在今天“信號(hào)與系統(tǒng)”教科書中使用最為廣泛。

2.2 Riemann 引理

Riemann曾在Dirichlet指導(dǎo)下研究傅里葉級(jí)數(shù)。1854年他在論文《用三角級(jí)數(shù)表示函數(shù)》中證明了:如果 f(x)在周期［-π，π］上有界可積，則有

這就是Riemann引理。進(jìn)一步將定理有界可積條件放寬為 Lebesgue絕對(duì)可積(H.Lebesgue，勒貝格，1875－1941)，該定理稱為 Riemann-Lebesgue引理。Riemann同時(shí)還證明了f(x)在一點(diǎn)的收斂特性只依賴于 f(x)在該點(diǎn)鄰域中的特性［4，7］。

Riemann-Lebesgue引理是證明傅里葉級(jí)數(shù)收斂性的重要工具［7，8］。1880 年 U.Dini(迪尼，1845-1918)給出了另一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)收斂的充分條件:滿足 Lipschitz條件(R.Lipschitz，科普希茨，1932-1903)的函數(shù)f(x)其傅里葉級(jí)數(shù)收斂。對(duì)該定理的證明就采用了Riemann-Lebesgue引理［8］。

2.3 Gibbs現(xiàn)象與一致收斂

1881年 Jordan條件(約當(dāng)，C.Jordan，1838-1922)給出了又一個(gè)Fourier級(jí)數(shù)收斂的充分條件:有界變差函數(shù)f(x)的Fourier級(jí)數(shù)收斂于［f(x+0)+f(x－0)］/2。

1898 年，J.Gibbs(吉布斯，1839-1903)發(fā)表文章證明了有界變差函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)在間斷點(diǎn)的振蕩規(guī)律，因此這一現(xiàn)象稱為Gibbs現(xiàn)象。這一現(xiàn)象展示了傅里葉級(jí)數(shù)在間斷點(diǎn)收斂的不一致性。

記f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)的部分和為SN(x)，級(jí)數(shù)在x0收斂的定義為:;級(jí)數(shù)在周期T上的一致收斂的定義為:關(guān)于函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)一致收斂的一個(gè)充分條件是:f(x)在一個(gè)周期上滿足一致Lipschitz條件。

2.4 連續(xù)函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性

在Dirichlet的研究工作之后的約50年間，人們相信任何連續(xù)周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)都收斂到該函數(shù)。然而在 1873年 P.Reymond(雷蒙德，1831-1889)給出了一個(gè)連續(xù)函數(shù)［9］，其傅里葉級(jí)數(shù)在一點(diǎn)發(fā)散。

1904 年 L.Féjer(費(fèi)耶，1880-1959)證明了可采用算術(shù)平均方法由任何連續(xù)周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)(即使該級(jí)數(shù)發(fā)散)重構(gòu)該函數(shù)［4，7，9］，即任何連續(xù)周期函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在算術(shù)平均和的意義下總是收斂于該函數(shù)。記f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)的部分和為SN(x)，上述結(jié)論用公式表示總是成立。其中，σN(x)=(1/N)［S0(x)+S1(x)+… +SN－1(x)］。

Reymond指出連續(xù)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)在某些點(diǎn)發(fā)散，而Féjer則證明了級(jí)數(shù)在算術(shù)平均和意義下總是收斂于該函數(shù)。關(guān)于連續(xù)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的收斂問題似乎解決了。然而1926年A.Kolmogorov(柯爾莫果洛夫，1903-1987)證明存在Lebesgue可積的周期函數(shù)［9］，它的傅里葉級(jí)數(shù)處處發(fā)散。1966年，J.Kalhane(卡亨，1926-) 和 Y.Katznelson(卡茨納爾松，1934-)指出在任意給定的零測集上，存在連續(xù)周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)在該集合上所有點(diǎn)都發(fā)散［9］。關(guān)于連續(xù)周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性似乎又不樂觀了。

然而在同一年L.Carleson(卡爾松，1928-)發(fā)表文章指出:對(duì)于平方可積的周期函數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)幾乎處處收斂［9］。這是一個(gè)人們預(yù)料之外的好結(jié)果，因?yàn)檫B續(xù)周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)是平方可積的。綜合Carleson和Katznelson的結(jié)果，即連續(xù)周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)只在零測集上發(fā)散，亦即幾乎處處收斂。至此關(guān)于連續(xù)函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性問題就完全清楚了。

3 傅里葉級(jí)數(shù)的Hilbert空間表述

將周期函數(shù)理解為某個(gè)線性空間上的矢量，函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開則可理解為該空間上矢量的正交分解。級(jí)數(shù)展開的這種表述方式使得傅里葉級(jí)數(shù)的公式推導(dǎo)簡明、易于理解。而函數(shù)在更多類型的基上的正交分解，就是廣義傅里葉級(jí)數(shù)的思想。

3.1 傅里葉級(jí)數(shù)的Hilbert空間表述

現(xiàn)設(shè)周期函數(shù)一個(gè)周期為［-π，π］，［-π，π］上平方可積函數(shù)集合記為L2［-π，π］。該集合滿足線性空間的定義，因而構(gòu)成線性空間。在此空間上定義內(nèi)積如下:

則L2［-π，π］構(gòu)成完備內(nèi)積空間，即Hilbert(希爾伯特，1862-1943)空間。函數(shù)集 {ek=eikx，k}是該空間中的完備正交基。在此空間上任意函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)表示為

上述傅里葉級(jí)數(shù)的Hilbert空間表述方法是被Euler運(yùn)用了三角函數(shù)正交性質(zhì)表示三角級(jí)數(shù)方法的理論上完善，也是當(dāng)今工科類“信號(hào)與系統(tǒng)”教科書中所采用的方法。

Carleson證明了平方可積周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)幾乎處處收斂。即對(duì)于L2［-π，π］空間上的任意函數(shù) f(x)，記，則有(x)2|dx=0。這一結(jié)論在工程上理解為，函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)其能量是保持的。

L2［-π，π］空間上的任意函數(shù) f(x)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，則可得到Parseval(帕賽瓦爾，1755-1836)等式成立

上述公式可解釋為，周期信號(hào)的平均功率等于直流分量及各次諧波平均功率之和。

由于 {ek=eikx，k}中元素的兩兩正交性，根據(jù)可得

上式即是Parseval等式的另一種形式。將傅里葉級(jí)數(shù)理解為空間上的正交分解，上式即表示矢量長度平方等于各正交分量長度平方之和，即可理解為勾股定理的推廣。

3.2 關(guān)于廣義傅里葉級(jí)數(shù)

前面已經(jīng)指出，類似于幾何空間上矢量的正交分解，周期函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)展開是在內(nèi)積空間上函數(shù)的正交分解。其正交分解從 {ek=eikx，k}基推廣到Legendre(勒讓特，1775-1837)多項(xiàng)式和Haar(哈爾，1885-1993)小波基等，稱為廣義傅里葉級(jí)數(shù)［8，9］。

除了Legendre多項(xiàng)式外，還有很多正交多項(xiàng)式，如 Hermite(埃爾米特，1882-1901)多項(xiàng)式、Laguerre(拉蓋爾，1834-1886)多項(xiàng)式和 Tchebysheff(切比雪夫，1821-1894)多項(xiàng)式等可構(gòu)成廣義傅里葉級(jí)數(shù)的正交基。函數(shù)在這類基上的級(jí)數(shù)展開在信號(hào)處理中有很多應(yīng)用。小波分析理論則將Haar小波基進(jìn)行了進(jìn)一步推廣，因此在這種意義上講小波理論是傅里葉級(jí)數(shù)發(fā)展的結(jié)果。

4 結(jié)語

傅里葉級(jí)數(shù)是“信號(hào)與系統(tǒng)”課程的核心，也是處理科學(xué)和工程諸多問題不可或缺的理論工具。本文希望通過介紹傅里葉級(jí)數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展過程，帶給讀者這樣一些啟示:

(1)盡管科學(xué)研究必須是嚴(yán)密的，但是我們必須重視和發(fā)揮直覺在科學(xué)研究中的作用。傅里葉從熱傳導(dǎo)方程解的研究中正是憑直覺發(fā)現(xiàn)了傅里葉級(jí)數(shù)，從而開創(chuàng)了數(shù)學(xué)物理學(xué)一個(gè)時(shí)代。

(2)我們要善于歸納問題之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)方法的統(tǒng)一性，從而有助于研究工作的創(chuàng)新。從正交分解的意義上，廣義傅里葉級(jí)數(shù)和小波理論正是傅里葉級(jí)數(shù)理論的統(tǒng)一和發(fā)展。

［1］ Lars Garding，胡作玄譯.數(shù)學(xué)概觀［M］.北京:科學(xué)出版社，2001

［2］ http://acd.ucar.edu/textbook/ch15/Fourier/Fourier.cite1.html

［3］ Morris Kline，朱學(xué)賢等譯.無窮級(jí)數(shù)，《古今數(shù)學(xué)思想》第二冊第20章［M］.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2002

［4］ Morris Kline，鄧東皋等譯.分析中注入嚴(yán)密性，《古今數(shù)學(xué)思想》第四冊第40章［M］.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2002

［5］ M.J.Roberts，Signals and systems［M］.Boston:McGraw Hill Higher Education，2004

［6］ Alan S.Willsky，Signals and systems.MIT open courses，Sept.2003

［7］ 潘文杰.傅里葉分析及其應(yīng)用［M］.北京:北京大學(xué)出版社，2000

［8］ James S.Walker，F(xiàn)ourier series.in“Encyclopedia of Physical Science and Technology”［M］，Salt Lake City:Academic Press，2004

［9］ Pierre Bremaud，Mathematical principles of signal processing-Fourier and wavelet analysis［M］.Newyork:Springer，2001