三角變換與解三角形考情調(diào)研

☉廣西灌陽縣第二高級中學(xué) 翟輝亮

三角變換與解三角形考情調(diào)研

☉廣西灌陽縣第二高級中學(xué) 翟輝亮

一、考綱透析

1.會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.

2.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.

3.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.

4.能運(yùn)用和與差、二倍角的三角函數(shù)公式進(jìn)行簡單的恒等變換（包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶）.

5.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.

6.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.

二、考向探析

1.三角變換及求值

考情聚焦：①利用兩角和、差的三角函數(shù)公式進(jìn)行三角變換、求值，是高考必考內(nèi)容；②該類問題出題背景選擇面廣，解答題中易出現(xiàn)與新知識的交匯題；③該類題目在選擇、填空、解答題中都有可能出現(xiàn)，屬中、低檔題.

考向鏈接：1.在涉及兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用時(shí)，常用到如下變形：

2.利用兩角和與差的三角函數(shù)公式可解決求值、求角問題，常見有以下三種類型：

（1）“給角求值”，即在不查表的前提下，通過三角恒等變換求三角函數(shù)式的值；

（2）“給值求值”，即給出一些三角函數(shù)值，求與之有關(guān)的其他三角函數(shù)式的值；

（3）“給值求角”，即給出三角函數(shù)值，求符合條件的角.

2.正、余弦定理的應(yīng)用

考情聚焦：①利用正、余弦定理解決涉及三角形的問題，在近三年新課標(biāo)高考中都有出現(xiàn)，預(yù)計(jì)將會成為今后高考的一個熱點(diǎn)；②該類問題多數(shù)是以三角形或其他平面圖形為背景，考查正、余弦定理及三角函數(shù)的化簡與證明；③多以解答題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也在選擇、填空題中出現(xiàn).

考向鏈接：①在三角形中考查三角函數(shù)式變換，是近幾年高考的熱點(diǎn)，它是在新的載體上進(jìn)行的三角變換，因此要時(shí)刻注意它的重要性：一是作為三角形問題，它必然要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，及時(shí)進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，有利于發(fā)現(xiàn)解決問題的思路；其二，它畢竟是三角變換，只是角的范圍受到了限制，因此常見的三角變換方法和原則都是適用的，注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，是使問題獲得解決的突破口.

②在解三角形時(shí)，三角形內(nèi)角的正弦值一定為正，但該角不一定是銳角，也可能為鈍角（或直角），這往往造成有兩解，應(yīng)注意分類討論，但若三角形內(nèi)角的余弦值為正，該角一定為銳角，且有唯一解.因此，在解三角形中，若有求角問題，應(yīng)盡量避免求正弦值.

溫馨提示：

（1）利用正弦定理，實(shí)現(xiàn)角的正弦化為邊時(shí)只能是用a替換sinA，用b替換sinB，用c替換sinC.sinA、sinB、sinC的次數(shù)要相等，各項(xiàng)要同時(shí)替換，反之，用角的正弦替換邊時(shí)也要這樣，不能只替換一部分.

（2）以三角形為背景的題目，要注意三角形的內(nèi)角和定理的使用.