☉浙江省諸暨市湄池中學(xué) 毛淑萍
數(shù)形結(jié)合思想是一種很重要的數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)研究的對象是數(shù)量關(guān)系和空間形式,即數(shù)與形兩個方面,把數(shù)量關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究,或者把圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究,這種解決問題過程中“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的研究策略,就是數(shù)形結(jié)合的思想.數(shù)形結(jié)合思想就是要使抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來,使抽象思維與形象思維結(jié)合起來.在使用的過程中,由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化,往往比較明顯,而由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化卻需要轉(zhuǎn)化的意識,因此,數(shù)形結(jié)合思想的使用往往偏重于由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化.在一維空間,實數(shù)與數(shù)軸上的點建立一一對應(yīng)關(guān)系;在二維空間,實數(shù)對與坐標(biāo)平面上的點建立一一對應(yīng)關(guān)系.特別是集合、函數(shù)、不等式、數(shù)列、向量、解析幾何、導(dǎo)數(shù)與積分等能夠用圖形表述的知識點,就要用數(shù)形結(jié)合形象化,高考在選擇題、填空題側(cè)重考查數(shù)到形的轉(zhuǎn)化,在解答題中,考慮推理論證的嚴(yán)密性,突出形到數(shù)的轉(zhuǎn)化.下面談?wù)剶?shù)形結(jié)合思想在2011年高考中的體現(xiàn).
例1(陜西理)函數(shù)f(x)=-cosx在[0,+∞)內(nèi)( ).
A.沒有零點 B.有且僅有一個零點
C.有且僅有兩個零點 D.有無窮多個零點
分析:利用數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行直觀判斷,或根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)(值域、單調(diào)性等)進(jìn)行判斷.
解: 令f(x)=-cosx=0,則.設(shè)函數(shù)y=cosx,它們在[0,+∞)上的圖像如圖1所示,顯然兩函數(shù)的圖像的交點有且只有一個,所以函數(shù)f(x)=在[0,+∞)內(nèi)有且僅有一個零點.應(yīng)選B.
例2(浙江文)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a、b、c∈R),若x=-1為函數(shù)f(x)ex的一個極值點,則下列圖像不可能為y=f(x)的圖像的是( ).
解析:設(shè)F(x)=f(x)ex,則F′(x)=exf′(x)+exf(x)=ex(2ax+b+ax2+bx+c).
由x=-1為f(x)ex的一個極值點,得F′(-1)=e-1(-a+c)=0,即a=c.Δ=b2-4ac=b2-4a2.
當(dāng)Δ=0時,b=±2a,即對稱軸所在直線方程為x=±1;
例3 (陜西文)如圖3,點(x,y)在四邊形ABCD內(nèi)部和邊界上運動,那么2x-y的最小值為________.
分析:本題為線性規(guī)劃問題,采用數(shù)形結(jié)合法解答.解答本題的關(guān)鍵是確定目標(biāo)函數(shù)過哪一個點時取得最小值.
解:目標(biāo)函數(shù)z=2x-y,當(dāng)x=0時,z=-y,所以當(dāng)y取得最大值時,z的值最?。灰苿又本€2x-y=0,當(dāng)直線移動到過點A時,y最大,即z的值最小,此時z=2×1-1=1.
例4 (湖北理)將兩個頂點在拋物線y2=2px(p>0)上,另一個頂點是此拋物線焦點的正三角形的個數(shù)記為n,則( ).
A.n=0 B.n=1 C.n=2 D.n≥3
解析:根據(jù)拋物線的對稱性,正三角形的兩個頂點一定關(guān)于x軸對稱,且過焦點的兩條直線傾斜角分別為30°和150°,這時過焦點的直線與拋物線最多只有兩個交點,如圖4,正三角形的個數(shù)記為n,n=2,所以選C.
當(dāng)然,2011年高考中的數(shù)形結(jié)合問題還有很多,幾乎遍及各個知識點,限于篇幅,不再一一舉例了.